2022-2023学年河南省商开大联考高一上学期期末考试数学试题含解析

这是一份2022-2023学年河南省商开大联考高一上学期期末考试数学试题含解析，共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年河南省商开大联考高一上学期期末考试数学试题 一、单选题1．已知集合，，则（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据对数函数的单调性化简集合，逐一判断各选项即可.【详解】由，解得，所以，又，对于A：不成立，A错；对于B：不成立，B错；对于C：不成立，C错；对于D：，D正确．故选：D2．（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用两角差的余弦公式即可求解.【详解】．故选：A.3．已知，则的值为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题意，利用同角三角函数之间的关系即可求得结果.【详解】由，分子分母同时除以，可得：.故选：B.4．方程的解所在的一个区间是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】令，由零点存在定理判断区间【详解】令，则单调递增，由，，∴方程的解所在一个区间是．故选：C．5．函数①；②，；③，中，奇函数的个数为（    ）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】根据奇函数的定义，对选项逐一判断即可.【详解】根据奇函数定义，②中违背了定义域要关于原点对称这一要求，所以排除②；对于①，，是奇函数；对于③，，是偶函数．故选：B．6．已知函数的定义域为R，且，当时，，则（    ）A． B． C．1 D．【答案】A【分析】根据题意得到的周期为1，从而，代入求解即可.【详解】因为，所以，函数的周期为1，所以．故选：A．7．已知使不等式成立的任意一个x，都不满足不等式，则实数a的取值范围为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】由得，因为使不等式成立的任意一个x，都不满足不等式，所以不等式的解集是的子集．讨论解出不等式的解集，从而利用集合的包含关系即可求解【详解】由得，因为使不等式成立的任意一个x，都不满足不等式，所以不等式的解集是的子集．由，得，当，，符合题意；当，，则，；当，，符合题意，综上所述，实数a的取值范围为．故选：D．8．阻尼器是一种以提供阻力达到减震效果的专业工程装置．我国第一高楼上海中心大厦的阻尼器减震装置，被称为“定楼神器”，如图1．由物理学知识可知，某阻尼器的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移和时间的函数关系为，如图2，若该阻尼器在摆动过程中连续三次到达同一位置的时间分别为，，，且，，则在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移大于0.5m的总时间为（    ）A． B． C．1s D．【答案】C【分析】先根据周期求出，再解不等式，得到的范围即得解.【详解】因为，，，所以，又，所以，则，由可得，所以，，，所以在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移大于0.5m的总时间为1s．故选：C． 二、多选题9．已知，，则下列不等式一定成立的是（    ）A． B． C． D．【答案】ABD【分析】本题考查了不等式的性质，利用不等式的同向可加性、同向同正可乘性、传递性即可求解.【详解】由不等式的同向可加性知选项A正确；因为，，所以，，所以，故选项B正确；因为，，所以，故选项C错误；因为，所以，，所以，故选项D正确．故选：ABD．10．（多选）下列三角函数值中符号为负的是（    ）A． B． C． D．【答案】BCD【分析】根据各交所在象限判断三角函数的正负情况.【详解】因为，所以角是第二象限角，所以；因为，角是第二象限角，所以；因为，所以角是第二象限角，所以；；故选：BCD．11．将函数的图象向左平移个单位长度后，所得图象关于原点对称，则的值可以是（    ）A． B． C． D．【答案】AD【分析】根据三角函数图象的平移变换求出变换后的解析式，再根据所得图象关于原点对称，即可求出答案.【详解】将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象，该图象关于原点对称，所以，即，所以的值可以是，．故选：AD．12．某同学用“五点法”画函数在一个周期内的图象时，列表并填入的部分数据如下表：x   02000 则下列说法正确的是（    ）A．都有成立B．的解集为C．的图象关于点中心对称D．在区间上单调递增【答案】AD【分析】首先求出. 可以化简证明选项A正确；解不等式得，故选项B错误；求出函数图象的对称中心，即得选项C错误；求出函数的单调递增区间即得选项D正确．【详解】由题意得，解得，，，所以．对于A，，故A正确；对于B，由，得，所以，得，故B错误；对于C，令，解得，所以函数的对称中心为，当时，，不满足题意，故C错误；对于D，，所以，所以是函数的一个单调递增区间，又，，因此函数在上单调递增，故D正确．故选：AD． 三、填空题13．计算：______．【答案】0【分析】直接利用指数对数的运算法则求解.【详解】因为，，，所以.故答案为：014．已知，，请写出一个使为假命题的实数的值，______．【答案】0（答案不唯一）【分析】利用命题的否定来找到一个满足条件即可.【详解】由题意，，为真命题，当时，恒成立，满足题意，故答案为：0（答案不唯一）.15．若，则______．【答案】【分析】化，从而平方即可.【详解】因为，所以，两边平方得，即，．故答案为： 四、双空题16．记表示不超过x的最大整数，例如，，已知函数则______；若函数恰有3个零点，则实数a的取值范围是______．【答案】     0     【分析】直接代入可求得；有3个零点方程有3个不同的实数根，即的图象与函数的图象有3个交点，数形结合可求.【详解】；有3个零点方程有3个不同的实数根，即的图象与函数的图象有3个交点，由题可知当，显然不成立，所以，做出与的图象如图．两函数图象在y轴的左侧只有1个交点，故y轴右边有2个交点，则，解得．故答案为：0； 五、解答题17．（1）求的值；（2）求的值．【答案】（1）；（2）【分析】（1）利用诱导公式利两角和的正切公式计算即可；（2）换元法及二倍角公式化简求值即可.【详解】（1）．（2）设，则，即，解得，又，所以．18．已知，．(1)若q是p的必要非充分条件，求实数a的取值范围；(2)若，且p，q至少有一个成立，求x的取值范围．【答案】(1)(2) 【分析】（1）解出集合A，由p，q的推断关系得集合A，B的关系，得a的取值范围.（2）求出p，q都不成立时a的取值范围，其补集即为所求.【详解】（1）设，，因为q是p的必要非充分条件，所以A是B的真子集，则，所以实数a的取值范围为．（2）当时，，，当p，q都不成立时，或，且或同时成立，解得或，故p，q至少有一个成立时，x的取值范围为．19．证明下列不等式，并讨论等号成立的条件．(1)若，则；(2)若，则．【答案】(1)答案见解析(2)答案见解析 【分析】（1）利用基本不等式即可证明；（2）讨论和两种情况，脱掉绝对值符号，结合基本不等式证明即可.【详解】（1）证明：因为，所以，，所以，当且仅当，即时，等号成立．（2）证明：因为，当时，，当且仅当时等号成立．当时，，当且仅当时等号成立．综上，若，则成立，当且仅当时等号成立．20．已知．(1)求函数的解析式；(2)若函数，求的单调区间．【答案】(1)(2)单调增区间为，单调递减区间为 【分析】（1）由配凑法或换元法即可求；（2）由复合函数单调性判断.【详解】（1）因为，设，则，所以．（2），由或，设，则，当时，，因为其对称轴为，则此时单调递减，单调递增，所以在单调递减；当时，单调递增，单调递增，所以在单调递增．所以的单调增区间为，单调递减区间为．21．已知函数（，且），对，．(1)求a的值；(2)若，关于x的不等式恒成立，求实数m的取值范围．【答案】(1)或1(2) 【分析】（1）根据题意代入运算求解；（2）利用换元法结合基本不等式可得，题意转化为当时恒成立，根据恒成立问题结合函数单调性分析运算.【详解】（1）由题意可得：，，∵，即，得，则，且不恒为0，则，解得，故实数a的值为或1．（2）因为，所以，则，，令，则，当且仅当，即时，等号成立，∵恒成立，等价于当时恒成立，等价于当时恒成立，令，对，且，因为一次函数与反比例函数在上都是增函数，则，可得，即，所以在上单调递增，则，即当时，取最小值1，所以，即实数m的取值范围为．【点睛】结论点睛：1.恒成立问题：，，等价于；，，等价于.2．存在性问题：，，等价于；，，等价于.22．已知函数的最小正周期为．(1)求的解析式；(2)若关于x的方程在区间上有相异两解求：①实数a的取值范围；②的值．【答案】(1)(2)①，② 【分析】（1）根据三角恒等变换公式将化简，然后由的最小正周期为，解得，即可得到函数的解析式；（2）将方程有两解转化为函数图像有两个交点，然后结合图像即可求得的范围，然后由正弦函数的对称性即可得到的值.【详解】（1）．因为的最小正周期为，所以，解得．所以．（2）①，即．关于x的方程在区间上有相异两解，，也即函数与的图像在区间上有两个交点，由，得，在上单调递增，在上单调递减，且，做出在上的图像如图，由图可知，要使函数与的图像在区间上有两个交点，则有，所以实数a的取值范围为．②由（1）和正弦函数的对称性可知与关于直线对称，则有，所以，所以的值为．