2022-2023学年山东省聊城市高一上学期期末数学试题含解析

2022-2023学年山东省聊城市高一上学期期末数学试题

一、单选题

1．已知集合，，则等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据补集、交集的定义计算可得.

【详解】解：因为，所以，

又，所以.

故选：D

2．已知命题p：，，，则（    ）

A．p是假命题，p否定是，，

B．p是假命题，p否定是，，

C．p是真命题，p否定是，，

D．p是真命题，p否定是，，

【答案】A

【分析】根据存在量词命题的否定的知识确定正确答案.

【详解】由于是整数，是偶数，所以是假命题.

原命题是存在量词命题，

其否定是全称量词，注意到要否定结论，

所以的否定是“，，”.

故选：A

3．“”是“函数与x轴只有一个交点”的（    ）

A．充要条件 B．必要不充分条件

C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】根据函数与x轴的交点转换为方程得实根，从而可分类得的值，故可判断两个条件之间的关系.

【详解】解：若函数与x轴只有一个交点，即方程只有一个实根

则或，所以或，

因此“”是“函数与x轴只有一个交点”的充分不必要条件.

故选：B.

4．已知角x的终边上一点的坐标为(sin，cos)，则角x的最小正值为(　　)

A．  B．

C．  D．

【答案】B

【分析】先根据角终边上点的坐标判断出角的终边所在象限，然后根据三角函数的定义即可求出角的最小正值．

【详解】因为，，所以角的终边在第四象限，根据三角函数的定义，可知

，故角的最小正值为．

故选：B．

【点睛】本题主要考查利用角的终边上一点求角，意在考查学生对三角函数定义的理解以及终边相同的角的表示，属于基础题．

5．已知函数且，在上的最大值与最小值之差为，则的值为（     ）

A． B．2 C．或2 D．或3

【答案】B

【解析】由参数的不确定性，分类讨论进一步确定函数最值，进而求解

【详解】当时，为增函数，

解得；

当时，为减函数，

，此时无解；

综上所述，

故选：B

【点睛】本题考查由指数、对数的增减性求解具体参数值，属于中档题

6．已知实数，满足，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】利用作差法，可判断A、B，利用指数函数和幂函数的单调性判断C，根据对数函数的单调性判断D.

【详解】由知 ，故，所以，故A错误；

由得，，

所以，即，故B错误；

因为指数函数为单调减函数，故，

由幂函数 为单调增函数知 ，故，故C错误；

根据对数函数、为单调减函数，

故，故D正确，

故选：D

7．如图，动点P从点M出发，按照路径运动，四边形ABCD是边长为2的正方形，弧DM以A为圆心，AD为半径，设点P的运动路程为x，的面积为y，则函数的图象大致是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】求得在上的解析式，由此确定正确答案.

【详解】弧长为，

当时，，排除AC选项.

当时，，排除D选项.

故选：B

8．已知函数，以下说法错误的是（    ）

A．使得的偶函数

B．若的定义域为R，则

C．若在区间上单调递增，则

D．若的值域是，则

【答案】C

【分析】利用特殊值判断A，当恒成立时函数的定义域为，得到，从而判断B，令，则在上单调递减且大于恒成立，求出参数的值，即可判断C，由求出，即可判断D.

【详解】对于A：令，则，此时函数的定义域为，

且，即为偶函数，故A正确；

对于B：因为的定义域为，则恒成立，

即，解得，即，故B正确；

对于C：令，因为在定义域上单调递减，

要使函数在区间上单调递增，则在上单调递减且大于恒成立，

所以，即，解得，故C错误；

对于D：因为函数的值域是，所以，

所以，即，解得，即，故D正确；

故选：C

二、多选题

9．如图①是某条公共汽车线路收支差额y关于乘客量x的函数的图象．由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两种建议，如图②③所示．（图②中实线与虚线平行），则下列说法正确的有（    ）

A．图②的建议：提高成本，并提高票价

B．图②的建议：降低成本，并保持票价不变

C．图③的建议：提高票价，并保持成本不变

D．图③的建议：提高票价，并降低成本

【答案】BC

【分析】根据图像反应了收支差额与乘客量的变化情况，即直线的斜率说明票价问题，当时的点说明公司的成本情况，再结合图像进行分析可得答案．

【详解】由（2）直线平行，即票价不变，直线向上平行移动时说明当乘客量为0时，收入为0，

但是支出的变少了，即说明了此建议是降低成本而保持票价不变；

（3）当乘客量为0时，支出不变，但是倾斜角变大，即相同的乘客量时收入变大，

即票价提高了说明此建议是提高票价而保持成本不变．

故选：BC

10．下列说法正确的是（    ）

A．在范围内，与角终边相同的角是

B．已知4弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长是

C．不等式的解集为

D．函数的定义域是

【答案】ABD

【分析】根据终边相同角的表示判断A，由锐角三角函数求出圆的半径，再由弧长公式，即可判断B，根据正弦函数的性质解不等式，即可判断C，根据正切函数的性质求出函数的定义域，即可判断D.

【详解】对于A：与角终边相同的角为，

令，此时，故A正确；

对于B：设圆的半径为，则，所以，

所以弧长为，故B正确；

对于C：不等式，则，

即不等式的解集为，故C错误；

对于D：对于函数，则，解得，

即函数的定义域为，故D正确；

故选：ABD

11．下列说法正确的是（    ）

A．已知，则的最小值为3

B．当时，的最小值为4

C．已知，，，则的取值范围是

D．已知，，，则的最小值为8

【答案】AC

【分析】利用基本不等式判断A、C、D，根据对勾函数的性质判断B.

【详解】对于A：因为，所以，所以，

当且仅当，即时取等号，故A正确；

对于B：因为，所以，又函数在上单调递减，

所以当时取得最小值，故B错误；

对于C：因为，且，

所以，

即，解得或（舍去），

所以，当且仅当时取等号，即的取值范围是，故C正确；

对于D：因为，且，所以，

所以，

当且仅当，即时取等号，故D错误；

故选：AC

12．已知函数，函数的四个零点分别为，，，，且，则下列结论正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BCD

【分析】根据函数解析式画出函数图形，依题意可知与有四个交点，结合图象求出的取值范围，即可判断A，根据二次函数的对称性判断B，结合图象得到，再利用基本不等式判断C，又，结合二次函数的性质判断D.

【详解】解：因为，则函数图象如下所示：

当时，对称轴为，

因为函数的四个零点，，，，且，

即有四个解，即与有四个交点，

结合图象可知，所以，故A错误；

由图可知、关于对称，所以，故B正确；

当时，令，则，

所以或，即或，

所以或（舍去），

所以，

又，即，即，

所以，即，所以，故C错误；

又，

所以，

令，则，，

令，，函数的对称轴为，

所以函数在上单调递减，所以，

即，所以，故D正确；

故选：BCD

三、填空题

13．已知函数，则________．

【答案】7

【分析】根据的解析式求得正确答案.

【详解】.

故答案为：

14．已知，则__________．

【答案】##

【分析】由题设，利用同角平方关系、诱导公式求目标式的值.

【详解】因为 ,且,

所以 ,且，

所以.

故答案为：

15．声音通过空气传播时会引起区域性的压强值改变，称为“声压”，用P表示（单位：Pa（帕））；“声压级”S（单位:dB（分贝））表示声压的相对大小，已知．两个不同声源的声压，，叠加后的总声压．现有两个声压级为的声源，叠加后的声压级是________dB（参考数据：取）．

【答案】63

【分析】根据已知条件以及对数运算求得正确答案.

【详解】由，整理得，则，

叠加后的总声压为，

所以叠加后的声压级是

.

故答案为：

16．已知奇函数的定义域为，且有，，若对，，都有，则不等式的解集为________．

【答案】

【分析】通过构造函数法，结合函数的单调性求得不等式的解集.

【详解】构造函数，

依题意，的定义域是，是奇函数，

所以，所以是偶函数，

由于对，，都有，

所以在上单调递增，则在上单调递减.

，

由得，即，

所以或，

所以不等式的解集为.

故答案为：

【点睛】本题的关键点是熟练掌握函数单调性的定义及其变型.任取定义域内的两个数，且，通过计算的符合来判断的单调性，也可以利用的符号来判断的单调性.

四、解答题

17．求解下列问题：

(1)已知，，求的值．

(2)求的值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据同角三角函数的基本关系式、诱导公式求得正确答案.

（2）利用对数、根式运算求得正确答案.

【详解】（1）∵，

∴，

∴，

∴或，∴或，

又∵，∴，

∴．

（2）原式

．

18．记函数定义域为，定义域为.

（1）求；

（2）若，求实数的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）根据使函数解析式有意义的原则，构造关于x的不等式，解不等式可以求出x的取值范围，即集合A；

（2）根据对数函数真数大于0的原则，我们可以求出集合B，进而根据A⊆B，构造关于m的不等式，解不等式即可求出实数m的取值范围．

【详解】（1）2≥0，得0，﹣1＜x≤2，即A＝（﹣1，2].

（2）由（x﹣m﹣2）（x﹣m）＞0，得B＝（﹣∞，m）∪（m+2，+∞），

∵A⊆B∴m＞2或m+2≤﹣1，即m＞2或m≤﹣3

故当B⊆A时，实数a的取值范围是（﹣∞，﹣3]∪（2，+∞）．

【点睛】本题考查的知识点是函数定义域及其求法，集合关系中的参数取值问题，其中根据使函数解析式有意义的原则，构造不等式求出函数的定义域是解答本题的关键．

19．已知函数的最小正周期为．

(1)求的单调递增区间；

(2)当时，求的值域．

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）根据函数的周期求出的值，即可得到函数解析式，再根据正弦函数的性质计算可得；

（2）由的取值范围，求出的范围，再根据正弦函数的性质计算可得；

【详解】（1）解：∵的最小正周期为，∴，∴，∵，∴，

∴，

令，，得

，，，，

所以的单调递增区间为，．

（2）解：∵，∴，∴，

∴，∴，∴的值域为．

20．用水清洗一堆蔬菜上的农药，设用个单位量的水清洗一次以后，蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为，且．已知用个单位量的水清洗一次，可洗掉本次清洗前残留农药量的，用水越多洗掉的农药量也越多，但总还有农药残留在蔬菜上．

(1)求是，的值；

(2)现用个单位量的水可以清洗一次，也可以把水平均分成两份后清洗两次，问用哪种方案清洗后蔬菜上残留的农药量较少，并说明理由．

【答案】(1)

(2)答案见解析

【分析】（1）依题意可得，即可得到方程组，解得即可；

（2）设清洗前残留的农药量为，若清洗一次，设清洗后蔬菜上残留的农药量为，则，再表示出分次清洗后蔬菜上残留的农药量，比较与的大小，只需判断与的大小关系，利用作差法及分类讨论计算可得.

【详解】（1）解：由题意，即，解得.

（2）解：由（1）知，设清洗前残留的农药量为，

若清洗一次，设清洗后蔬菜上残留的农药量为，

则，则．

若把水平均分成份后清洗两次，

设第一次清洗后蔬菜上残留的农药量为，则．

设第二次清洗后蔬菜上残留的农药量为，则，得．

比较与的大小：．

①当，即时，，

即，由不等式的性质可得，

所以把水平均分成份后清洗两次蔬菜上残留的农药量较少；

②当，即时，，

两种方案清洗后蔬菜上残留的农药量一样多；

③当，即时，由不等式的性质可得，

所以清洗一次后蔬菜上残留的农药量较少．

综上，当时，把水平均分成2份后清洗两次蔬菜上残留的农药量较少；

当时，两种方案清洗后蔬菜上残留的农药量一样多；

当时，清洗一次后蔬菜上残留的农药量较少．

21．已知函数．

(1)当时，用单调性的定义证明是增函数；

(2)当是偶函数时，的图像在函数图像下方，求b的取值范围．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）利用定义法，按照设元、作差、变形、判断符号、下结论的步骤完成即可；

（2）由偶函数的性质求出参数的值，函数的图像在图像下方，等价于，参变分离可得恒成立，再求出的取值范围，即可得解．

【详解】（1）证明：当时，，

设，，且，

则，

∵，∴，∴，

∴，∴，所以当时是增函数，

（2）解：由，得，

整理得，

则对任意恒成立，所以．

所以，

函数的图像在图像下方，

等价于，即恒成立．

∵，∴，∴，∴，∴，

即，∴，所以，即的取值范围是．

22．若在函数的定义域内存在区间，使得在上单调，且函数值的取值范围是（是常数），则称函数具有性质．

(1)当时，函数否具有性质?若具有，求出，；若不具有，说明理由；

(2)若定义在上的函数具有性质，求的取值范围．

【答案】(1)函数具有性质M，

(2)．

【分析】（1）首先求出函数的定义域与单调性，依题意可得，解得即可；

（2）首先将写出分段函数，再分和两种情况讨论，结合函数的单调性得到方程组，当时，得到在上有两个不等实根，再构造函数，结合二次函数的性质求出参数的取值范围.

【详解】（1）解：因为在上单调递增，

所以在上的函数值的取值范围是，即，

显然，所以，

故函数具有性质．

（2）解：，

因为在上单调递减，在上单调递增，

当时，单调递减，

∴，得，整理得，

∵与矛盾，∴当时，不合题意．

当时，在单调递增，

∴，知在上有两个不等实根，

即在上有两个不等实根，

令，，

由，，，知，

综上可得的取值范围是．