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人教B版 (2019)选择性必修 第一册1.2.1 空间中的点、直线与空间向量评优课ppt课件
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这是一份人教B版 (2019)选择性必修 第一册1.2.1 空间中的点、直线与空间向量评优课ppt课件，共54页。PPT课件主要包含了平面的法向量，常考题型，变式训练，解题方法，直线的方向向量等内容，欢迎下载使用。
重点：直线的方向向量，平行关系的论证，用向量运算求证两条直线垂直或求两条直线所成的角，平面法向量的概念及应用，正射影的概念，三垂线定理及其逆定理难点：直线的方向向量的选取及其表示，平面法向量的灵活运用，三垂线定理的证明及三垂线定理的应用
1.理解直线的方向向量. 2.会用向量的方法证明线线平行.3.会用向量证明两条直线垂直，会用向量求两条直线所成的角.4.理解平面的法向量的概念，会求平面的法向量.5.会用平面的法向量、直线的方向向量证明直线与平面、平面与平面平行、垂直.6.理解并会应用三垂线定理及其逆定理证明有关垂直的问题.
1.空间中的点、直线与空间向量
2.空间中两条直线所成的角
4.三垂线定理及其逆定理
三垂线定理 如果平面内的一条直线与平面的一条斜线在该平面内的射影垂直，则它也和这条斜线垂直.三垂线定理的逆定理 如果平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直，则它也和这条斜线在该平面内的射影垂直.
一 空间中的点、直线与空间向量<1>求点的位置向量、直线的一个方向向量
在空间直角坐标系中，已知点A（2，3，0），B（1，2，3），P是直线AB上一点，且满足AP∶PB＝1∶2.试求直线AB的一个方向向量和点P的位置向量.
如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P是DD1的中点，以C1为起点，指出直线AP的一个方向向量.
求直线的一个方向向量的两种方法1.找两点：直接在直线上找两点，构成方向向量.2.找直线：根据已知图形中线与线的位置关系找到与已知直线平行的直线，在平行直线上取两点构成方向向量.
<2>利用直线的方向向量，求解直线与直线的平行问题
如图，在长方体OAEB-O1A1E1B1中，OA＝3，OB＝4，OO1＝2，点P在棱AA1上，且AP＝2PA1，点S在棱BB1上，且SB1＝2BS，点Q，R分别是O1B1，AE的中点，求证：PQ∥RS.
二 空间中两条直线所成的角<1>用向量法求异面直线所成的角
1. ［2020·吉林四平高二检测］如图，在空间四边形OABC中，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，则异面直线OA与BC的夹角的余弦值为 .
2. ［2020·浙江嘉兴一中高二检测］如图所示，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点M在线段PQ上，E，F分别为AB，BC的中点.设异面直线EM与AF所成的角为θ，则cs θ的最大值为 .
<2>用向量法证明直线与直线垂直、直线与平面垂直例4
如图，已知正方体ABCD-A′B′C′D′，CD′与DC′相交于点O，连接AO，AC′，B′C，B′D′.求证：（1）AO⊥CD′；（2）AC′⊥平面B′CD′.
2.［2020·山东聊城高三模拟］如图所示，已知直三棱柱ABC -A1B1C1中，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，且AB＝AA1，D，E，F分别为B1A，C1C，BC的中点.求证：（1）DE∥平面ABC；（2）B1F⊥平面AEF.
用向量法证明垂直关系的基本思路1.若证明直线与直线垂直，则只要证明两直线的方向向量的数量积等于零；2.若证明直线与平面垂直，则根据线面垂直的判定定理，只要证明直线的方向向量与平面内的两条相交向量的数量积都等于零；3.若证明平面与平面垂直，则根据面面垂直的判定定理，只要通过证明一个平面内的一条直线的方向向量与平面内的两条相交向量的数量积都等于0，以证明一个平面内的一条直线垂直于另一个平面，归结于证明直线与平面垂直.
三 异面直线与空间向量
已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，求B1C与BD间的距离.
四 平面的法向量<1>平面的法向量的求法
<2>已知线面位置关系，用向量法求参数
<3>已知线面位置关系，用向量法证明平行、垂直关系
已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别是BB1，DD1的中点.求证：（1）FC1∥平面ADE；（2）平面ADE∥平面B1C1F.
例9 如图所示，正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点.求证：AB1⊥平面A1BD.
用向量法证明空间中垂直关系的基本策略1.若证明两条直线垂直，则只需证两直线的方向向量垂直：设直线l1，l2的方向向量分别为a，b，则要证l1⊥l2，只需证a⊥b，即a·b＝0.2.若证明直线与平面垂直，则（1）只需证明直线的方向向量与平面的法向量平行.（2）只需证明直线的方向向量与平面内两个不共线向量垂直.3.若证明两个平面垂直，则（1）只需证两平面的法向量相互垂直.（2）可与面面垂直的判定定理相结合证明.
五 三垂线定理及其逆定理
如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，连接BD1，AC，CB1，B1A，求证：BD1⊥平面AB1C.
例10 如图，四面体P-ABC中，PA⊥BC，PB⊥AC，求证：PC⊥AB.
【证明】 过点P作PH⊥平面ABC，连接AH并延长交BC于点E，连接BH并延长交AC于点F.因为PH⊥平面ABC，所以PA在平面ABC内的射影为AH.又PA⊥BC，由三垂线定理的逆定理知BC⊥AH.同理可证BF⊥AC，则H为△ABC的垂心.连接CH并延长交AB于点G，于是CG⊥AB，而CH是PC在平面ABC内的射影，故PC⊥AB.
如图，BC是Rt△ABC的斜边，过点A作△ABC所在平面α的垂线AP，连接PB，PC，过点A作AD⊥BC于点D，连接PD，那么图中的直角三角形共有（ ）A.4个B.6个 C.7个D.8个
利用三垂线定理证明线线垂直的思路.
重点：直线的方向向量，平行关系的论证，用向量运算求证两条直线垂直或求两条直线所成的角，平面法向量的概念及应用，正射影的概念，三垂线定理及其逆定理难点：直线的方向向量的选取及其表示，平面法向量的灵活运用，三垂线定理的证明及三垂线定理的应用
1.理解直线的方向向量. 2.会用向量的方法证明线线平行.3.会用向量证明两条直线垂直，会用向量求两条直线所成的角.4.理解平面的法向量的概念，会求平面的法向量.5.会用平面的法向量、直线的方向向量证明直线与平面、平面与平面平行、垂直.6.理解并会应用三垂线定理及其逆定理证明有关垂直的问题.
1.空间中的点、直线与空间向量
2.空间中两条直线所成的角
4.三垂线定理及其逆定理
三垂线定理 如果平面内的一条直线与平面的一条斜线在该平面内的射影垂直，则它也和这条斜线垂直.三垂线定理的逆定理 如果平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直，则它也和这条斜线在该平面内的射影垂直.
一 空间中的点、直线与空间向量<1>求点的位置向量、直线的一个方向向量
在空间直角坐标系中，已知点A（2，3，0），B（1，2，3），P是直线AB上一点，且满足AP∶PB＝1∶2.试求直线AB的一个方向向量和点P的位置向量.
如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P是DD1的中点，以C1为起点，指出直线AP的一个方向向量.
求直线的一个方向向量的两种方法1.找两点：直接在直线上找两点，构成方向向量.2.找直线：根据已知图形中线与线的位置关系找到与已知直线平行的直线，在平行直线上取两点构成方向向量.
<2>利用直线的方向向量，求解直线与直线的平行问题
如图，在长方体OAEB-O1A1E1B1中，OA＝3，OB＝4，OO1＝2，点P在棱AA1上，且AP＝2PA1，点S在棱BB1上，且SB1＝2BS，点Q，R分别是O1B1，AE的中点，求证：PQ∥RS.
二 空间中两条直线所成的角<1>用向量法求异面直线所成的角
1. ［2020·吉林四平高二检测］如图，在空间四边形OABC中，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，则异面直线OA与BC的夹角的余弦值为 .
2. ［2020·浙江嘉兴一中高二检测］如图所示，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点M在线段PQ上，E，F分别为AB，BC的中点.设异面直线EM与AF所成的角为θ，则cs θ的最大值为 .
<2>用向量法证明直线与直线垂直、直线与平面垂直例4
如图，已知正方体ABCD-A′B′C′D′，CD′与DC′相交于点O，连接AO，AC′，B′C，B′D′.求证：（1）AO⊥CD′；（2）AC′⊥平面B′CD′.
2.［2020·山东聊城高三模拟］如图所示，已知直三棱柱ABC -A1B1C1中，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，且AB＝AA1，D，E，F分别为B1A，C1C，BC的中点.求证：（1）DE∥平面ABC；（2）B1F⊥平面AEF.
用向量法证明垂直关系的基本思路1.若证明直线与直线垂直，则只要证明两直线的方向向量的数量积等于零；2.若证明直线与平面垂直，则根据线面垂直的判定定理，只要证明直线的方向向量与平面内的两条相交向量的数量积都等于零；3.若证明平面与平面垂直，则根据面面垂直的判定定理，只要通过证明一个平面内的一条直线的方向向量与平面内的两条相交向量的数量积都等于0，以证明一个平面内的一条直线垂直于另一个平面，归结于证明直线与平面垂直.
三 异面直线与空间向量
已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，求B1C与BD间的距离.
四 平面的法向量<1>平面的法向量的求法
<2>已知线面位置关系，用向量法求参数
<3>已知线面位置关系，用向量法证明平行、垂直关系
已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别是BB1，DD1的中点.求证：（1）FC1∥平面ADE；（2）平面ADE∥平面B1C1F.
例9 如图所示，正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点.求证：AB1⊥平面A1BD.
用向量法证明空间中垂直关系的基本策略1.若证明两条直线垂直，则只需证两直线的方向向量垂直：设直线l1，l2的方向向量分别为a，b，则要证l1⊥l2，只需证a⊥b，即a·b＝0.2.若证明直线与平面垂直，则（1）只需证明直线的方向向量与平面的法向量平行.（2）只需证明直线的方向向量与平面内两个不共线向量垂直.3.若证明两个平面垂直，则（1）只需证两平面的法向量相互垂直.（2）可与面面垂直的判定定理相结合证明.
五 三垂线定理及其逆定理
如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，连接BD1，AC，CB1，B1A，求证：BD1⊥平面AB1C.
例10 如图，四面体P-ABC中，PA⊥BC，PB⊥AC，求证：PC⊥AB.
【证明】 过点P作PH⊥平面ABC，连接AH并延长交BC于点E，连接BH并延长交AC于点F.因为PH⊥平面ABC，所以PA在平面ABC内的射影为AH.又PA⊥BC，由三垂线定理的逆定理知BC⊥AH.同理可证BF⊥AC，则H为△ABC的垂心.连接CH并延长交AB于点G，于是CG⊥AB，而CH是PC在平面ABC内的射影，故PC⊥AB.
如图，BC是Rt△ABC的斜边，过点A作△ABC所在平面α的垂线AP，连接PB，PC，过点A作AD⊥BC于点D，连接PD，那么图中的直角三角形共有（ ）A.4个B.6个 C.7个D.8个
利用三垂线定理证明线线垂直的思路.
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