1.2.3 直线与平面的夹角
基础巩固
1.［多选题］下列命题中正确的是（）
A. 直线与平面的夹角不是锐角就是直角
B. 斜线和它在平面内的射影所成的角是锐角
C. 直线与平面的夹角的范围是0,π2
D. 直线l的方向向量s与平面的法向量n的夹角一定是直线和平面的夹角
2.如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1中，BC1与对角面BB1D1D所成的角是（）
A. ∠C1 BB1 B. ∠C1 BD C. ∠C1 BD1 D. ∠C1 BO

3. 在正三棱锥P-ABC中，AB＝3，PA＝2，则直线PA与平面ABC所成角的大小为（）
A.30° B.45° C.60° D.75°
4.如图，
设A为平面α上一点，过点A的直线AO在平面α上的射影为AB，AC为平面α内的一条直线，令∠OAC＝θ，∠OAB＝θ1，∠BAC＝θ2，则这三个角存在一个余弦关系：cs θ＝cs θ1cs θ2（其中θ1和θ2只能是锐角），称为最小张角定理.直线l与平面α所成的角是π4，若直线l在α内的射影与α内的直线m所成的角为π4，则直线l与直线m所成的角是（）
A. π6 B. π4 C. π3 D. π2
5. OA，OB，OC是由点O出发的三条射线，两两夹角为60°，则OC与平面OAB所成角的余弦值为（）
A. 13 B. 33 C. 12 D. 32
6.已知向量a＝（2，-3，3）是直线l的方向向量，向量n＝（1，0，0）是平面α的一个法向量，则直线l与平面α的夹角为（）
A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°
7.已知长方体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是边长为4的正方形，长方体的高为AA1＝3，则BC1与对角面BB1D1D的夹角的正弦值等于（）
A. 45 B. 35 C. 225 D. 325
8.如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AA1＝AC＝BC＝4，∠ACB＝90°，若E是CC1的中点，则直线AB与平面A1BE所成角的正弦值是 .
9.如图，直角梯形ABCD与矩形ABEF所在平面互相垂直，AD⊥AB，DC＝12AB＝AD＝AF＝2，DC∥AB， M为BF的中点.
（1）证明：CM∥平面DAF ；
（2）求CE 与平面CMB所成角的正弦值.
拓展提升
10.如图所示，在四棱锥P-ABCD中，ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD.若∠PBC＝60°，则直线PB与平面ABCD所成角的大小为 .
11.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，∠ABC＝∠BAD＝90°，AD＝AP＝4，AB＝BC＝2，M为PC的中点.
（1）求异面直线PD与BM所成角的余弦值.
（2）点N在线段AD上，当AN为何值时，直线MN与平面PCD所成角的正弦值为33？
课时把关练
1.2 空间向量在立体几何中的应用
1.2.3 直线与平面的夹角
参考答案
1. BC 2. D 3. A 4.C 5. B 6. A 7. C 8. 33
9. （1）证明：如图，取AF的中点N，连接MN，ND，可得DC∥AB∥MN，且DC＝12AB＝MN，
所以DC∥MN且DC＝MN，所以四边形DCMN为平行四边形，
所以DN∥CM.因为DN⊂平面DAF，CM⊂平面DAF，所以CM∥平面DAF.
（2）解：如图所示，
分别以AF，AB，AD所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，
可得E（2，4，0），M（1，2，0），B（0，4，0），C（0，2，2），
则CE＝（2，2，-2），BC＝（0，-2，2），BM＝（1，-2，0）.
设平面CMB的一个法向量为n＝（x，y，z），
则n · BC=0,n · BM=0,即−2y+2z=0,x−2y=0,令x＝2，可得y＝1，z＝1，所以n＝（2，1，1）.
设CE与平面CMB所成角为θ，可得sin θ＝|cs〈CE，n〉|＝CE · nCE · n＝423 ×6＝23，
即CE与平面CMB所成角的正弦值为23.
10. 45°
11. 解：（1）∵ PA⊥平面ABCD，且AB，AD⊂平面ABCD，
∴ PA⊥AB，PA⊥AD.又∵ ∠BAD＝90°，∴ PA，AB，AD两两互相垂直.分别以AB，AD，AP所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图，
则由AD＝AP＝4，AB＝BC＝2，
可得A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，4，0），P（0，0，4）.
又∵ M为PC的中点，∴ M（1，1，2），∴PD＝（0，4，-4），BM＝（-1，1，2），
∴ cs〈PD，BM〉＝PD·BMPDBM＝0×−1+4×1+−4×242×6＝-36，∴ 异面直线PD，BM所成角的余弦值为36.
（2）设AN＝λ（0≤λ≤4），则N（0，λ，0），
∴MN＝（-1，λ-1，-2），CD＝（-2，2，0），PC＝（2，2，-4）.
设平面PCD的一个法向量为m＝（x，y，z），则m·CD=0,m·PC=0,即−2x+2y=0,2x+2y−4z=0,
令x＝1，则y＝1，z＝1，∴ m＝（1，1，1）.
∵ 直线MN与平面PCD所成角的正弦值为33，
∴ |cs 〈MN，m〉|＝MN·mMNm＝−1+λ−1−25+λ−12·3＝33，
解得λ＝53∈［0，4］，∴ 当AN为53时，直线MN与平面PCD所成角的正弦值为33.