1.2.5 空间中的距离
基础巩固
1.在空间直角坐标系中，点A（1，1，2）与点B关于x轴对称，点B与点C关于xOy平面对称，则|AC|＝（）
A. 2 B. 2 C. 4 D. 25
2.如图所示，
在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝2，E，F分别是平面A1B1C1D1，平面BCC1B1的中心，则E，F两点间的距离为（）
A. 1 B. 52 C. 62 D. 32
3.在空间直角坐标系中，点M在z轴上，且点M到点A（1，-3，1）与点B（1，0，2）的距离相等，则M点坐标为（）
A.（0，1，-3） B.（0，0，-3） C.（-1，0，-3） D.（0，0，3）
4.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，点E是A1B1的中点，则点A到直线BE的距离是（）
A. 655 B. 455 C. 255 D. 55
5.直线l过定点A（2，3，1），且n＝（0，1，1）为其一个方向向量，则点P（4，3，2）到直线l的距离为（）
A. 322 B. 22 C. 102 D. 2
6.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，O是A1C1的中点，则点O到平面ABC1D1的距离为（）
A. 32 B. 24 C. 12 D. 33
7.如图，
已知长方体ABCD-A1B1C1D1中，A1A＝5，AB＝12，则直线B1C1到平面A1BCD1的距离是（）
A. 5 B. 8 C. 6013 D. 132
8.如图，在四棱锥P-ABCD中，AC∩BD＝O，底面ABCD为菱形，边长为2，PC⊥BD，PA＝PC，且∠ABC＝60°，异面直线PB与CD所成的角为60°.
（1）求证：PO⊥平面ABCD；
（2）若E是线段OC的中点，求点E到直线BP的距离.
拓展提升
9.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥底面ABCD，E是AB上一点，PD＝2，AD＝32，CD＝2，AE＝12.
（1）求二面角E-PC-D的大小；
（2）求点B到平面PEC的距离.

10.如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的边长为2，E是线段AB的中点.
（1）证明：BD⊥平面AA1C1C；
（2）若P是线段BC上的动点，求点P到平面B1DE的距离的取值范围.

课时把关练
1.2 空间向量在立体几何中的应用
1.2.5 空间中的距离
参考答案
1. B 2. C 3. B 4.B 5. A 6.B 7.C
8. （1）证明：∵ 四边形ABCD是菱形，∴ AC⊥BD.∵ PC⊥BD，PC∩AC＝C，∴ BD⊥平面APC.
∵ PO⊂平面APC，∴ BD⊥PO.∵ PA＝PC，O为AC的中点，∴ PO⊥AC.又AC∩BD＝O，∴ PO⊥平面ABCD.
（2）解：以O为原点，向量OB，OC，OP的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系（图略）.
∵ AB∥CD，∴ ∠PBA为异面直线PB与CD所成角，∴ ∠PBA＝60°.
在菱形ABCD中，AB＝2.∵ ∠ABC＝60°，∴ OA＝1，OB＝3.
设PO＝a，则PA＝a2+1，PB＝a2+3.
在△PBA中，由余弦定理得PA2＝BA2+BP2-2BA·BP·cs∠PBA，
∴ a2+1＝4+a2+3-2×2×a2+3×12，解得a＝6，
∴ A（0，-1，0），B（3，0，0），C（0，1，0），P（0，0，6），
E0,12,0，∴BE＝−3,12,0，BP＝（-3，0，6），
∴ |BE|＝132，|BP|＝3，
∴ 点E到直线BP的距离为d＝BE2−BE·BPBP2＝134−1＝32.
9. 解：（1）以D为原点，向量DA，DC，DP的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示，
则E32,12,0，C（0，2，0），P（0，0，2），所以PE＝32,12,−2，EC＝−32,32,0.
设平面PEC的一个法向量为n＝（x，y，z）.
由n·PE=0,n·EC=0,得&32x+12y−2z=0,&−32x+32y=0,令y＝1，则x＝3，z＝2，所以n＝（3，1，2）.
取平面PCD的一个法向量为m＝（1，0，0），设二面角E-PC-D的大小为θ，由图可知θ为锐角，
所以cs θ＝m·nmn＝22，所以θ＝π4，即二面角E-PC-D的大小为π4.
（2）由（1）知平面PEC的一个法向量为n＝（3，1，2），
又B32,2,0，所以BE＝0,−32,0，
所以点B到平面PEC的距离d＝BE·nn＝64.
10. （1）证明：因为四边形ABCD是正方形，所以BD⊥AC.
因为AA1⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以AA1⊥BD.
因为AC∩AA1＝A，AC，AA1⊂平面AA1C1C，所以BD⊥平面AA1C1C.
（2）解：如图，建立空间直角坐标系，则D（0，0，0），E（2，1，0），B1（2，2，2）.
设P（a，2，0）（0≤a≤2），
则DP＝（a，2，0），DE＝（2，1，0），DB1＝（2，2，2）.
设平面B1DE的一个法向量为n＝（x，y，z），
由DE⊥n,DB1⊥n,得DE · n=0,DB1 · n=0,则&2x+y=0,&2x+2y+2z=0.
令x＝1，则y＝-2，z＝1，所以n＝（1，-2，1）.
设点P与平面B1DE的距离为h，
则h＝DP · nn＝a−46＝66（4-a）∈63,263，
所以点P到平面B1DE的距离的取值范围是63,263.