专题07 分式方程及其应用（考点解读）（全国通用）

                    专题07  分式方程及其应用（考点解读）

分式方程及其应用是中考的必考内容之一,一般着重考查解分式方程及列分式方程解应用题,并要求会用增根的意义解题,考题常以解答透折考纲题的形式出现,有时也会出现在选择题和填空题中.

1．能确定分式有意义、无意义和分式的值为零时的条件．

2．能熟练应用分式的基本性质进行分式的约分和通分．

3．能熟练进行分式的四则运算及其混合运算，并会解决与之相关的化简、求值问题.

考点1：分式方程的解法

解分式方程的一般步骤：

（1）方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：当分母是多项式时，先分解因式，再找出最简公分母）；

（2）解这个整式方程，求出整式方程的解；

（3）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解.

考点3：分式方程应用

列分式方程解应用题的一般步骤：

（1）审：即审题：根据题意找出已知量和未知量，并找出等量关系.

（2）设：即设未知数，设未知数的方法有直接设和间接设，注意单位要统一，选择一个未知量用未知数表示，并用含未知数的代数式表示相关量. （3）列：即列方程，根 据等量关系列出分式方程. （4）解：即解所列的分式方程，求出未知数的值.

（5）验：即验根，要检验所求的未知数的值是否适合分式方程，还要检验此解是否符合实际意义.

（6）答：即写出答案，注意答案完整.

【典例1】（2021秋•金山区期末）下列关于x的方程中，不是分式方程的是（　　）

A． B． C． D．

【典例2】（2022•内蒙古）某班学生去距学校10km的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20min后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，设骑车学生的速度为xkm/h，下列方程正确的是（　　）

A．﹣＝20 B．﹣＝20 

C．﹣＝ D．﹣＝

【典例3】（2022•西宁）解方程：﹣＝0．

【典例4】（2022•贵港）为了加强学生的体育锻炼，某班计划购买部分绳子和实心球．已知每条绳子的价格比每个实心球的价格少23元，且84元购买绳子的数量与360元购买实心球的数量相同．

（1）绳子和实心球的单价各是多少元？

（2）如果本次购买的总费用为510元，且购买绳子的数量是实心球数量的3倍，那么购买绳子和实心球的数量各是多少？

【典例5】（2022•聊城）为了解决雨季时城市内涝的难题，我市决定对部分老街道的地下管网进行改造．在改造一段长3600米的街道地下管网时，每天的施工效率比原计划提高了20%，按这样的进度可以比原计划提前10天完成任务．

（1）求实际施工时，每天改造管网的长度；

（2）施工进行20天后，为了减少对交通的影响，施工单位决定再次加快施工进度，以确保总工期不超过40天，那么以后每天改造管网至少还要增加多少米？

1．（2022•营口）分式方程＝的解是（　　）

A．x＝2 B．x＝﹣6 C．x＝6 D．x＝﹣2

2．（2022•黑龙江）已知关于x的分式方程﹣＝1的解是正数，则m的取值范围是（　　）

A．m＞4 B．m＜4 C．m＞4且m≠5 D．m＜4且m≠1

3．（2022•玉林）解方程：＝．

4．（2022•梧州）解方程：1﹣＝．

5．（2022•阜新）我市某区为30万人接种新冠疫苗，由于市民积极配合这项工作，实际每天接种人数是原计划的1.2倍，结果提前20天完成了这项工作．设原计划每天接种x万人，根据题意，所列方程正确的是（　　）

A．﹣＝20 B．﹣＝1.2 

C．﹣＝20 D．﹣＝1.2

6．（2022•朝阳）八年一班学生周末乘车去红色教育基地参观学习，基地距学校60km，一部分学生乘慢车先行，出发30min后，另一部分学生乘快车前往，结果同时到达．已知快车的速度是慢车速度的1.5倍，求慢车的速度．设慢车每小时行驶xkm，根据题意，所列方程正确的是（　　）

A．﹣＝ B．﹣＝ 

C．﹣＝30 D．﹣＝30

7．（2022•丽水）某校购买了一批篮球和足球．已知购买足球的数量是篮球的2倍，购买足球用了5000元，购买篮球用了4000元，篮球单价比足球贵30元．根据题意可列方程＝﹣30，则方程中x表示（　　）

A．足球的单价 B．篮球的单价 C．足球的数量 D．篮球的数量

8．（2022•鞍山）某加工厂接到一笔订单，甲、乙车间同时加工，已知乙车间每天加工的产品数量是甲车间每天加工的产品数量的1.5倍，甲车间加工4000件比乙车间加工4200件多用3天．设甲车间每天加工x件产品，根据题意可列方程为 　      　．

9．（2022•贵阳）国发（2022）2号文发布后，贵州迎来了高质量快速发展，货运量持续增加．某物流公司有两种货车，已知每辆大货车的货运量比每辆小货车的货运量多4吨，且用大货车运送80吨货物所需车辆数与小货车运送60吨货物所需车辆数相同．每辆大、小货车货运量分别是多少吨？

                    专题07  分式方程及其应用（考点解读）

分式方程及其应用是中考的必考内容之一,一般着重考查解分式方程及列分式方程解应用题,并要求会用增根的意义解题,考题常以解答透折考纲题的形式出现,有时也会出现在选择题和填空题中.

1．能确定分式有意义、无意义和分式的值为零时的条件．

2．能熟练应用分式的基本性质进行分式的约分和通分．

3．能熟练进行分式的四则运算及其混合运算，并会解决与之相关的化简、求值问题.

考点1：分式方程的解法

解分式方程的一般步骤：

（1）方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：当分母是多项式时，先分解因式，再找出最简公分母）；

（2）解这个整式方程，求出整式方程的解；

（3）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解.

考点3：分式方程应用

列分式方程解应用题的一般步骤：

（1）审：即审题：根据题意找出已知量和未知量，并找出等量关系.

（2）设：即设未知数，设未知数的方法有直接设和间接设，注意单位要统一，选择一个未知量用未知数表示，并用含未知数的代数式表示相关量. （3）列：即列方程，根 据等量关系列出分式方程. （4）解：即解所列的分式方程，求出未知数的值.

（5）验：即验根，要检验所求的未知数的值是否适合分式方程，还要检验此解是否符合实际意义.

（6）答：即写出答案，注意答案完整.

【典例1】（2021秋•金山区期末）下列关于x的方程中，不是分式方程的是（　　）

A． B． C． D．

【答案】B

【解答】解：A、分母中含有未知数，是分式方程，故本选项不符题意；

B、分母中不含有未知数，是整式方程，故本选项符合题意；

C、分母中含有未知数，是分式方程，故本选项不符题意；

D、分母中含有未知数，是分式方程，故本选项不符题意．

故选：B．

【典例2】（2022•内蒙古）某班学生去距学校10km的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20min后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，设骑车学生的速度为xkm/h，下列方程正确的是（　　）

A．﹣＝20 B．﹣＝20 

C．﹣＝ D．﹣＝

【答案】D

【解答】解：∵骑车学生的速度为xkm/h，且汽车的速度是骑车学生速度的2倍，

∴汽车的速度为2xkm/h．

依题意得：﹣＝，

即﹣＝．

故选：D

【典例3】（2022•西宁）解方程：﹣＝0．

【解答】解：方程两边同乘以x（x+1）（x﹣1）得：

4（x﹣1）﹣3（x+1）＝0．

去括号得：

4x﹣4﹣3x﹣3＝0，

移项，合并同类项得：

x＝7．

检验：当x＝7时，x（x+1）（x﹣1）≠0，

∴x＝7是原方程的根．

∴x＝7．

【典例4】（2022•贵港）为了加强学生的体育锻炼，某班计划购买部分绳子和实心球．已知每条绳子的价格比每个实心球的价格少23元，且84元购买绳子的数量与360元购买实心球的数量相同．

（1）绳子和实心球的单价各是多少元？

（2）如果本次购买的总费用为510元，且购买绳子的数量是实心球数量的3倍，那么购买绳子和实心球的数量各是多少？

【解答】解：（1）设绳子的单价为x元，则实心球的单价为（x+23）元，

根据题意，得，

解得x＝7，

经检验可知x＝7是所列分式方程的解，且满足实际意义，

∴x+23＝30，

答：绳子的单价为7元，实心球的单价为30元．

（2）设购买实心球的数量为m个，则购买绳子的数量为3m条，

根据题意，得7×3m+30m＝510，

解得m＝10，

∴3m＝30，

答：购买绳子的数量为30条，购买实心球的数量为10个

【典例5】（2022•聊城）为了解决雨季时城市内涝的难题，我市决定对部分老街道的地下管网进行改造．在改造一段长3600米的街道地下管网时，每天的施工效率比原计划提高了20%，按这样的进度可以比原计划提前10天完成任务．

（1）求实际施工时，每天改造管网的长度；

（2）施工进行20天后，为了减少对交通的影响，施工单位决定再次加快施工进度，以确保总工期不超过40天，那么以后每天改造管网至少还要增加多少米？

【解答】解：（1）设原计划每天改造管网x米，则实际施工时每天改造管网（1+20%）x米，

由题意得：﹣＝10，

解得：x＝60，

经检验，x＝60是原方程的解，且符合题意．

此时，60×（1+20%）＝72（米）．

答：实际施工时，每天改造管网的长度是72米；

（2）设以后每天改造管网还要增加m米，

由题意得：（40﹣20）（72+m）≥3600﹣72×20，

解得：m≥36．

答：以后每天改造管网至少还要增加36米．

1．（2022•营口）分式方程＝的解是（　　）

A．x＝2 B．x＝﹣6 C．x＝6 D．x＝﹣2

【答案】C

【解答】解：＝，

方程两边都乘x（x﹣2），得3（x﹣2）＝2x，

解得：x＝6，

检验：当x＝6时，x（x﹣2）≠0，

所以x＝6是原方程的解，

即原方程的解是x＝6，

故选：C．

2．（2022•黑龙江）已知关于x的分式方程﹣＝1的解是正数，则m的取值范围是（　　）

A．m＞4 B．m＜4 C．m＞4且m≠5 D．m＜4且m≠1

【答案】C

【解答】解：方程两边同时乘以x﹣1得，2x﹣m+3＝x﹣1，

解得x＝m﹣4．

∵x为正数，

∴m﹣4＞0，解得m＞4，

∵x≠1，

∴m﹣4≠1，即m≠5，

∴m的取值范围是m＞4且m≠5．

故选：C．

3．（2022•玉林）解方程：＝．

【解答】解：方程两边同乘2（x﹣1），得2x＝x﹣1，

解得：x＝﹣1，

检验，当x＝﹣1时，2（x﹣1）＝﹣4≠0，

所以原分式方程的解为x＝﹣1．

4．（2022•梧州）解方程：1﹣＝．

【解答】解：去分母得：x﹣3+2＝4，

解得：x＝5，

当x＝5时，x﹣3≠0，

∴x＝5是分式方程的根．

5．（2022•阜新）我市某区为30万人接种新冠疫苗，由于市民积极配合这项工作，实际每天接种人数是原计划的1.2倍，结果提前20天完成了这项工作．设原计划每天接种x万人，根据题意，所列方程正确的是（　　）

A．﹣＝20 B．﹣＝1.2 

C．﹣＝20 D．﹣＝1.2

【答案】A

【解答】解：∵实际每天接种人数是原计划的1.2倍，且原计划每天接种x万人，

∴实际每天接种1.2x万人，

又∵结果提前20天完成了这项工作，

∴﹣＝20．

故选：A．

6．（2022•朝阳）八年一班学生周末乘车去红色教育基地参观学习，基地距学校60km，一部分学生乘慢车先行，出发30min后，另一部分学生乘快车前往，结果同时到达．已知快车的速度是慢车速度的1.5倍，求慢车的速度．设慢车每小时行驶xkm，根据题意，所列方程正确的是（　　）

A．﹣＝ B．﹣＝ 

C．﹣＝30 D．﹣＝30

【答案】A

【解答】解：设慢车每小时行驶xkm，则快车每小时行驶1.5xkm，

根据题意可得：﹣＝．

故选：A．

7．（2022•丽水）某校购买了一批篮球和足球．已知购买足球的数量是篮球的2倍，购买足球用了5000元，购买篮球用了4000元，篮球单价比足球贵30元．根据题意可列方程＝﹣30，则方程中x表示（　　）

A．足球的单价 B．篮球的单价 C．足球的数量 D．篮球的数量

【答案】D

【解答】解：设篮球的数量为x个，足球的数量是2x个．

根据题意可得：＝﹣30，

故选：D．

8．（2022•鞍山）某加工厂接到一笔订单，甲、乙车间同时加工，已知乙车间每天加工的产品数量是甲车间每天加工的产品数量的1.5倍，甲车间加工4000件比乙车间加工4200件多用3天．设甲车间每天加工x件产品，根据题意可列方程为 　﹣＝3　．

【解答】解：∵甲车间每天加工x件产品，乙车间每天加工的产品数量是甲车间每天加工的产品数量的1.5倍，

∴乙车间每天加工1.5x件产品，

又∵甲车间加工4000件比乙车间加工4200件多用3天，

∴﹣＝3．

故答案为：﹣＝3．

9．（2022•贵阳）国发（2022）2号文发布后，贵州迎来了高质量快速发展，货运量持续增加．某物流公司有两种货车，已知每辆大货车的货运量比每辆小货车的货运量多4吨，且用大货车运送80吨货物所需车辆数与小货车运送60吨货物所需车辆数相同．每辆大、小货车货运量分别是多少吨？

【解答】解：设每辆小货车的货运量是x吨，则每辆大货车的货运量是（x+4）吨，

依题意得：＝，

解得：x＝12，

经检验，x＝12是原方程的解，且符合题意，

∴x+4＝12+4＝16．

答：每辆大货车的货运量是16吨，每辆小货车的货运量是12吨．