第六章-6.3 利用导数解决实际问题（课件PPT）

第六章6.3利用导数解决实际问题 学习目标核心素养：数学建模、数学运算1.通过用料最省、利润最大、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的应用，会利用导数解决简单的实际生活中的优化问题.2.进一步培养分析问题、解决问题的能力，提高对函数思想的认识.3.优化问题的数学建模及求解.新知学习利用导数解决最优化问题在生活中，人们经常会遇到最优化的问题.例如，在铺设管道或者公路时，怎样使得花费最少？在制作容器时，怎样使得用料最少？经济活动中，怎样使得经营成本最小？等等.这些问题都需要寻求相应的最佳方案或最佳策略，因此数学上都称为最优化问题. 因为利用导数可以求得最值，所以可以利用导数来求解最优化问题.下面我们从用料最省、利润最大、效率最高等方面举例说明.一、用料最省如图所示，海中有一座油井A，其离岸的距离AC＝1.2 km，岸是笔直的，岸上有一座炼油厂B，且BC＝1.6 km.现要用输油管将油井A与炼油厂B连接起来，且输油管既可以铺设在水下，也可以铺设在陆地上，还可以一部分铺设在水下另一部分铺设在陆地上.已知水下的铺设成本为每千米50万元，陆地的铺设成本为每千米30万元.那么，铺设输油管的最少花费是多少？提示：分别计算下列两种铺法的铺设成本，然后尝试给出最优的铺设方案.（1）先沿AC铺设再沿CB铺设；（2）直接沿着线段AB铺设. 总结归纳 解决优化问题的注意点利用导数解优化问题，往往转化为求函数的最大值或最小值问题，解题时要特别注意以下几点：（1）当问题涉及多个变量时，应根据题意分析它们的关系，找出变量之间的关系式；（2）确定函数关系式中自变量的取值范围；（3）所得的结果要符合问题的实际意义. 解题提示 （1）根据利润＝销售额-成本，写出总利润y（元）与销售价x（元/件）的函数关系式；（2）根据（1）中的函数关系式在每一段上讨论函数的最大值，从而求出整个函数的最大值. （1）求解利润最大问题，首先应理解相应的概念，如成本、利润、单价、销售量、边际利润、边际成本等.（2）若求利润最大值，首先应将利润表示成某个变量的函数，然后利用导数或函数知识解决.（3）掌握常用的计算公式：①利润＝收入-成本；②总利润＝每件产品的利润×销售件数；③收入＝单价×销售量.规律总结三、效率最高如图所示，某海岛码头O离岸边最近点B的距离是150 km，岸边的医药公司A与点B的距离为300 km，现有一批药品要尽快送达海岛码头.已知A与B之间有一条公路，现要用海陆联运的方式运送这批药品，若汽车时速为130 km，快艇时速为50 km.试在岸边选一点C，先将药品用汽车从A送到C，再用快艇从C运到海岛码头，则点C选在何处可使运输时间最短？ 解决最优化问题的基本思路利用导数解最优化问题的一般步骤（1）设相关自变量，并用自变量表示相应量，即抽象出实际问题的数学模型，列出函数关系式y＝f（x），标明自变量的取值范围.（2）求函数f（x）的导数f ′（x），并解方程f ′（x）＝0，即求函数可能的极值点.（3）比较函数f（x）在区间端点处的函数值和可能极值点处的函数值的大小，得出函数f（x）的最大值或最小值.（4）根据实际问题的意义给出答案.规律总结随堂小测1.某粮库拟建一个储粮仓，如图6-3-1所示，其下部是高为2的圆柱，上部是母线长为2的圆锥，现要设计其底面圆的半径和上部圆锥的高.设圆锥的高AO为x，储粮仓的体积为y.（1）求y关于x的函数关系式；（圆周率用π表示）（2）求AO为何值时，储粮仓的体积最大.   课堂小结知识清单：利用导数解决实际中最优化问题方法归纳：常见误区：忽视变量的范围是否符合实际意义.谢 谢！