2022-2023学年福建省莆田第二十五中学高二上学期期中考试数学试题含解析

这是一份2022-2023学年福建省莆田第二十五中学高二上学期期中考试数学试题含解析，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．是直线与直线互相平行的（ ）条件
A．必要而不充分B．充分而不必要
C．充要D．既不充分也不必要
【答案】B
【分析】求出直线与平行的等价条件，再利用充分条件、必要条件的定义判断作答.
【详解】由解得或，当时，与平行，
当时，与平行，
则直线与直线平行等价于或，
所以是直线与直线互相平行的充分而不必要条件.
故选：B
2．一束光线从点处射到y轴上一点后被y轴反射，则反射光线所在直线的方程是
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】由反射定律得点A关于y轴的对称点，又因为B点也在直线上，根据截距式可得直线方程．
【详解】由题得点关于y轴的对称点在反射光线所在的直线上，再根据点也在反射光线所在的直线上，由截距式求得反射光线所在直线的方程为，即，故选B.
【点睛】本题直线方程可由两点式或截距式求出，找到点A的对称点是突破口，属于基础题．
3．设数列中，（且），则（ ）
A．B．C．2D．
【答案】A
【分析】根据递推关系求前4项，易知数列周期为3，进而求.
【详解】由已知得：，可求，
∴数列周期为3，
，
故选：A．
4．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见初行行里数，请公仔细算相还”其意思是“有一个人走378里，第一天健步行走，从第二天起因为脚痛每天走的路程是前一天的一半，走了6天到达目的地.”则此人第一天走了（ ）
A．192里B．148里C．132里D．124里
【答案】A
【分析】根据题意结合等比数列的前n项和公式即可得到答案.
【详解】由题意可得这个人每天走的路程成等比数列，且公比，，，
故，解得.
故选：A．
5．若点在圆的外部，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由于点在圆的外部，所以，从而可求出的取值范围
【详解】解：由题意得，解得，
故选：C．
6．点M为圆：上任意一点，直线过定点P，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先把定点P坐标求出来，，最大值为，，三点共线，且位于与之间，求解方法为连接定点与圆心的线段长加上半径即可.
【详解】整理为：
令 ，解得：，所以定点P坐标为，代入圆的方程中，，所以在圆外，因为点M为圆：上任意一点，设圆C的半径为r=2，所以的最大值应该为，由两点间距离公式：，所以的最大值为
故选：B
7．从1，2，3，…，7这7个数中任取两个数，其中：
①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；
②至少有一个是奇数和两个都是奇数；
③至少有一个是奇数和两个都是偶数；
④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数.
上述事件中，是对立事件的是（ ）
A．①B．②④C．③D．①③
【答案】C
【分析】列举出从1~7中任取两个数根据取到数的奇偶性可共有三件事件：“两个都是奇数”“一奇一偶”“两个都是偶数”，再由对立事件的定义即可得出选项.
【详解】解析：③中“至少有一个是奇数”即“两个奇数或一奇一偶”，
而从1~7中任取两个数根据取到数的奇偶性可认为共有三件事件：
“两个都是奇数”“一奇一偶”“两个都是偶数”，
故“至少有一个是奇数”与“两个都是偶数”是对立事件，其余都不是对立事件.
故选：C
8．过定点A的直线与过定点的直线交于点与不重合），则面积的最大值为（ ）
A．B．C．2D．4
【答案】C
【分析】根据方程可得定点A、B，并且可判断两直线垂直，然后利用基本不等式可得.
【详解】动直线化为，可知定点，
动直线化为，可知定点，
又
所以直线与直线垂直，为交点，
.
则，当且仅当时，等号成立.
即面积的最大值为2.
故选：C.
二、多选题
9．下列结论错误的是（ ）
A．过点，的直线的倾斜角为
B．若直线与直线平行，则
C．直线与直线之间的距离是
D．已知，，点在轴上，则的最小值是5
【答案】AC
【分析】对于A，即可解决；对于B，由题意得即可解决；对于C，平行线间距离公式解决即可；对于D，数形结合即可.
【详解】对于A，，即，故A错误；
对于B，直线与直线平行，所以，解得，故B正确；
对于C，直线与直线（即）之间的距离为，故C错误；
对于D，已知，，点在轴上，如图
取关于轴的对称点，连接交轴于点，此时，
所以的最小值是5，故D正确；
故选：AC.
10．口袋里装有2红，2白共4个形状相同的小球，从中不放回的依次取出两个球，事件“取出的两球同色”，“第一次取出的是红球”，“第二次取出的是红球”，“取出的两球不同色”，下列判断中正确的（ ）
A．A与B相互独立.B．A与D互为对立.C．B与C互斥.D．B与D相互独立；
【答案】ABD
【分析】根据古典概型的概率公式求出所对应的事件的概率，再根据相互独立事件的定义判断AD，根据对立事件，互斥事件的定义可判断BC.
【详解】由题可得，，，
，，
所以，，
所以 A 与 B 相互独立，B 与 D 相互独立，故AD正确；
对于B，由题意知，取出两个球要么颜色相同，要么颜色不同，即 A 与 D 互为对立事件，故B正确；
对于C， “第1次取出的是红球”，“第2次取出的是红球”， C 与 D 可能同时发生，故C错误.
故选：ABD.
11．已知数列前项和为.且，(为非零常数)测下列结论中正确的是（ ）
A．数列为等比数列B．时，
C．当时，D．
【答案】AC
【分析】由已知条件求出，当时，，从而可得，进而可判断数列为等比数列，可求出，然后对各选项分析即可
【详解】由，，得，
时，，相减可得，
又，数列为首项为，公比为的等比数列，故A正确；
由A可得时，，故B错误；
由A可得等价为，可得，故C正确；
，，
则，即D不正确；
故选：AC.
12．已知三条直线不能构成三角形，则实数的取值可以是（ ）
A．B．C．D．2
【答案】ABC
【分析】由已知，设出直线，先求解出直线的交点坐标，然后再分；；经过点三种情况分别计算即可完成求解.
【详解】由已知，设，，，
由可知，直线相交于点，
直线恒过定点，
因为三条直线不能构成三角形，所以；；经过点；
①当时，，，所以，解得；
②当时，，，所以，解得；
③当经过点时，，
所以实数的取值集合为.
故选：ABC.
三、填空题
13．已知直线l经过点P（0，1）且一个方向向量为（2，1），则直线l的方程为______．
【答案】
【分析】根据方向向量可得直线的斜率，进而根据点斜式求解方程即可.
【详解】因为直线l的一个方向向量为（2，1），所以其斜率为，所以直线l的方程为，即．
故答案为：
14．若点在函数的图像上，当时，则的取值范围是___________.
【答案】
【分析】由目标式表示在上点与所成直线的斜率范围，应用数形结合法及两点斜率公式求范围即可.
【详解】由题设，表示上对应点与所成直线的斜率范围，
如图，，则，，故的取值范围是.
故答案为：
15．袋子中有四个小球，分别写有“中､华､民､族”四个字，有放回地从中任取一个小球，直到“中”“华”两个字都取到才停止.用随机模拟的方法估计恰好抽取三次停止的概率，利用电脑随机产生0到3之间取整数值的随机数，分别用代表“中､华､民､族”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数：
由此可以估计，恰好抽取三次就停止的概率为____________.
【答案】
【分析】利用古典概型的随机数法求解.
【详解】由随机产生的随机数可知恰好抽取三次就停止的有，共4组随机数，
所以恰好抽取三次就停止的概率约为，
故答案为：
16．在各项均为正数的等比数列中，，则的最大值是__．
【答案】
【分析】根据题意，将变形可得，又由基本不等式的性质可得，计算可得答案.
【详解】根据题意，在各项均为正数的等比数列中，，
即，
∴，当且仅当，即公比为1时等号成立，
故的最大值是.
故答案为：.
四、解答题
17．已知直线的方程为，若在轴上的截距为，且.
（1）求直线和的交点坐标；
（2）已知直线经过与的交点，且在轴上截距是在轴上的截距的2倍，求的方程.
【答案】（1）交点为；（2）的方程为或
【分析】（1）根据两直线垂直的关系，以及直线在轴上的截距，可得方程，联立方程，可得结果.
（2）利用（1）的结论，采用分类讨论的方法，可假设直线的截距式，利用（1）的结论，可得结果.
【详解】（1）由直线的方程为且
可得直线的斜率为：2，
又在轴上的截距为，即过点
所以直线方程：
即，
联立方程，得：
，
故交点为
（2）依据题意可知：
直线在轴上截距是在轴上的截距的2倍，
且直线经过与的交点
当直线原点时，方程为：
当直线不过原点时，设方程为
则，故方程为：，
即
综上所述：
的方程为或
【点睛】本题主要考查直线方程的求法，灵活假设直线方程，理清题意，细心计算，属中档题.
18．已知直线，直线经过点且与直线平行，设直线分别与x轴，y轴交于A，B两点.
(1)求点A和B的坐标；
(2)若圆C经过点A和B，且圆心C在直线上，求圆C的方程.
【答案】(1)，；
(2).
【分析】（1）由直线平行及所过的点，应用点斜式写出直线方程，进而求A、B坐标.
（2）由（1）求出垂直平分线方程，并联立直线求圆心坐标，即可求圆的半径，进而写出圆C的方程.
【详解】（1）由题设，的斜率为，又直线与直线平行且过，
所以直线为，即，
令，则；令，则.
所以，.
（2）由（1）可得：垂直平分线为，即，
联立，可得，即，故圆的半径为，
所以圆C的方程为.
19．在①，；②；③，是与的等比中项，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目.
已知为等差数列的前项和，若________.
（1）求；
（2）记，求数列的前项和.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）若选择条件①，由得出，根据得出，最后两式联立，即可得出结果；若选择条件②，可根据得出结果；若选择条件③，由得出，根据是与的等比中项得出，然后两式联立，通过计算即可得出结果；
（2）本题首先可根据得出，然后通过裂项相消法求和即可得出结果.
【详解】（1）选择条件①：设等差数列的公差为，
则，解得，故 ；
选择条件②：，
当时，，
即，
当时，，也适合上式，
故；
选择条件③：设等差数列的公差为，则，
解得、或、（不合题意），故.
（2）因为，
所以，
故
.
【点睛】本题考查数列通项公式的求法以及裂项相消法求和，考查等差数列通项公式以及等差数列前项和公式的灵活应用，考查等比中项公式以及数列的项与其前项和之间的关系，考查计算能力，考查化归与转化思想，是中档题.
20．已知△ABC中，BC边上的高所在的直线方程为，∠A的平分线所在的直线方程为y=0，点C的坐标为(1，2).
（1）求点A和点B的坐标；
（2）过点C作直线l与x轴、y轴的正半轴分别交于点M、N，求△MON（O为坐标原点）的面积最小值及此时直线l的方程.
【答案】（1），；（2）的面积最小值为4，此时直线l的方程是.
【分析】（1）根据题意求出直线AB，BC的方程，再求出交点坐标即可；
（2）由题意斜率存在，设直线l的方程为y-2=k(x-1)(k