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2022-2023学年四川省凉山州宁南中学高二上学期期末考试数学（文）试题含解析
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这是一份2022-2023学年四川省凉山州宁南中学高二上学期期末考试数学（文）试题含解析，共14页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．采用系统抽样方法，从个体数为1001的总体中抽取一个容量为40的样本，则在抽取过程中，每个个体被抽到的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由于系统抽样是等可能抽样，故每个个体在抽样过程中得到的概率是相等的，故每个个体被抽到的概率都是样本容量除以总体容量.
【详解】由于系统抽样是等可能抽样，故每个个体在抽样过程中得到的概率是相等的.
所以在整个抽样过程中每个个体被抽到的概率为.
故选：A
2．若过两点的直线的倾斜角为，则y等于（ ）
A．B．C．D．1
【答案】C
【分析】由倾斜角与斜率关系有，即可求结果.
【详解】由题设，可得.
故选：C
3．已知R，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
【详解】若，则，则成立．
而当且时，满足，但不成立；
“”是“”的充分不必要条件．
故选：．
4．下列说法中错误的是（ ）
A．对于命题p：存在，使得，则：任意，均有
B．两个变量线性相关性越强，则相关系数就越接近1
C．在线性回归方程中，当变量x每增加一个单位时，平均减少0.5个单位
D．某7个数的平均数为4，方差为2，现加入一个新数据4，此时这8个数的方差不变
【答案】D
【分析】A选项，存在量词命题的否定是全称量词命题，把存在改为任意，把结论否定；
B选项，相关系数就越接近1，则两个变量线性相关性越强；
C选项，根据线性回归方程的解析式中的系数得到结论；
D选项，计算出添加新数据4后的方程，作出判断.
【详解】存在，使得，的否定是：任意，均有，A正确；
两个变量线性相关性越强，则相关系数就越接近1，B正确；
在线性回归方程中的系数为，当变量x每增加一个单位时，平均减少0.5个单位，C正确；
某7个数的平均数为4，方差为2，则，
现加入一个新数据4，则平均数不变，仍为4，此时这8个数的方差变为，故D错误.
故选：D
5．在校园篮球赛中，甲、乙两个队10场比赛的得分数据整理成如图所示的茎叶图，下列说法正确的是（ ）
A．乙队得分的中位数是38.5
B．甲、乙两队得分在分数段频率相等
C．乙队的平均得分比甲队的高
D．甲队得分的稳定性比乙队好
【答案】D
【分析】根据茎叶图，对数据的中位数、频率、平均数和稳定性对选项逐一分析，由此确定正确选项.
【详解】对于A选项，乙队得分的中位数是，故A选项错误.
对于B选项，甲队得分在分数段频率为，乙队得分在分数段频率为，所以B选项错误.
对于C选项，甲队平均分为，
乙队平均分为，两队得分平均分相等，所以C选项错误.
对于D选项，由于两队得分的平均分相等，而甲队的得分较为集中，乙队的得分比较分散，所以甲队得分的稳定性比乙队好.
故选：D
【点睛】本小题主要考查根据茎叶图进行数据分析，属于基础题.
6．执行如图所示的程序框图，输出的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】按照程序框图执行程序，直到不满足时，输出结果即可.
【详解】按照程序框图执行程序，输入，，
则，满足，进入循环；
则，，满足，进入循环；
则，，满足，进入循环；
则，，满足，进入循环；
则，，不满足，终止循环，输出.
故选：B.
7．直线3x＋4y－5＝0与圆2x2＋2y2―4x―2y＋1＝0的位置关系是．
A．相离B．相切
C．相交但直线不过圆心D．相交且直线过圆心
【答案】D
【分析】圆心为半径为直线3x+4y-5=0的距离为
故选D
【详解】请在此输入详解！
8．椭圆上的点到一个焦点的距离为，是的中点，则点到椭圆中心的距离为．
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由三角形的中位线的性质得，再由椭圆的定义得，由此可求得答案.
【详解】∵椭圆方程为，∴，得，
∵中，、分别为和的中点，∴，
∵点在椭圆上，得，
∴，
由此得，
故选：．
9．已知，为双曲线的两个焦点，点P在双曲线上且满足，那么点P到x轴的距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】设，由双曲线的性质可得的值，再由，根据勾股定理可得的值，进而求得，最后利用等面积法，即可求解
【详解】设，，为双曲线的两个焦点，
设焦距为，，点P在双曲线上，，，
，，
，的面积为，
利用等面积法，设的高为，则为点P到x轴的距离，
则，
故选：D
【点睛】本题考查双曲线的性质，难度不大.
10．过抛物线的焦点作斜率为的直线，与抛物线在第一象限内交于点，若，则
A．2B．1C．D．4
【答案】A
【分析】过A作AB⊥x轴于B点，Rt△ABF中，作斜率为的直线，由∠AFB且|AF|＝4，得|BF|＝2，从而求得A的横坐标．再由抛物线的焦半径公式可得p的值即可．
【详解】解：过A作AB⊥x轴于B点，过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F作斜率为的直线，
则在Rt△ABF中，∠AFB，|AF|＝4，
∴|BF||AF|＝2，
则xA＝2，
∴|AF|＝xA2+p＝4，得p＝2．
故选A．
【点睛】本题考查了抛物线的标准方程和简单几何性质等知识，属于中档题．
11．已知，，直线：，：，且，则的最小值为（ ）
A．2B．4C．8D．9
【答案】C
【分析】由，可求得，再由，利用基本不等式求出最小值即可.
【详解】因为，所以，即，
因为，，所以，当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值为8.
故选：C.
【点睛】本题考查垂直直线的性质，考查利用基本不等式求最值，考查学生的计算求解能力，属于中档题.
12．椭圆的左，右焦点分别为，，直线过点交椭圆于，两点，，，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】在中，利用椭圆定义及已知，结合余弦定理可得，再利用定义可得，从而得到e.
【详解】由①
得：代入，，
整理得：，
代入①式得：，
不妨设：，，，，
则，
故点为椭圆顶点，.
故选：A.
【点睛】本题考查了椭圆的离心率的求法，考查了椭圆定义的应用及焦点三角形的周长，涉及到余弦定理的应用，属于中档题.
二、填空题
13．某校调查了200名学生每周的自习时间（单位:小时），制成了如图所示的的频率分布直方图，根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数为：_____．
【答案】140
【分析】求出这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的频率，即可求得答案.
【详解】由频率分布直方图得：这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的频率为:
,
这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数为：，
故答案为：140.
14．从800名同学中，用系统抽样的方法抽取一个20人的样本，将这800名同学按进行随机编号，若第一组抽取的号码为3，则第五组抽取的号码为__________.
【答案】163
【分析】根据系统抽样的知识求得正确答案.
【详解】组距为，
所以第五组抽取的号码是.
故答案为：
15．若椭圆 的离心率为，则实数的值等于__________．
【答案】或
【分析】分类讨论，确定，利用椭圆的离心率公式，即可求出的值．
【详解】设椭圆的长半轴和短半轴长分别为 ，
由离心率为，可得 ，
当时， ，则 ，；
当 时，，则 ，，
故答案为：或
16．数学中有许多美丽的曲线，它蕴藏于特有的抽象概念，公式符号，推理论证，思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美.如曲线，（如图所示），给出下列三个结论
①曲线关于直线对称；
②曲线上任意一点到原点的距离都小于；
③曲线围成的图形的面积是.
其中，正确结论的序号是_________.
【答案】①③
【分析】根据点的对称性可判断①，由曲线方程知曲线关于原点，，轴对称，当，时，可得，可得，所以可得曲线为为圆心，为半径的半圆，由此可作出曲线的图象，从而通过运算可判断命题②③的真假．
【详解】设点在曲线上，则，关于直线对称的点，将代入曲线中得，因此在曲线上，故①正确，
曲线可知曲线关于原点，，轴对称，
当，时，可得，可得，所以可得曲线为为圆心，为半径的半圆，曲线上任意点到原点的距离的最大值为，曲线上任意一点到原点的距离都小于或等于，故命题②错误；
根据对称性可知曲线围成的图形的面积为4个半圆的面积加上边长为的正方形的面积，即，故命题③正确；
故答案为：①③
三、解答题
17．已知直线.
（1）若直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程；
（2）当点到直线l距离最大时，求直线l的方程.
【答案】（1）或（2）
【解析】（1）先求出直线l在两坐标轴上的截距，根据题意，列出方程，解方程即可；
（2）根据直线的点斜式方程可以确定直线恒过的定点，然后根据直线l与垂直时，点到直线l距离最大，最后求出的值，进而求出直线的方程.
【详解】（1）直线，取，
取，
即，解得或，
故直线方程为或
（2）变换得到，
故过定点
当直线l与垂直时，距离最大.
，故，解得，
故所求直线方程为
【点睛】本题考查了直线的截距的定义，考查了直线过定点的判断，考查了已知点到直线的距离的最大值求参数问题，考查了数学运算能力.
18．已知命题； 命题.
(1)若p是q的充分条件，求m的取值范围；
(2)当时，已知是假命题，是真命题，求x的取值范围.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）解不等式组即得解；
（2）由题得p、q一真一假，分两种情况讨论得解.
【详解】（1）解：由题意知p是q的充分条件，即p集合包含于q集合，
有；
（2）解：当时，有，
由题意知，p、q一真一假，
当p真q假时，，
当p假q真时，，
综上，x的取值范围为
19．已知某绿豆新品种发芽的适宜温度在6℃~22℃之间，一农学实验室研究人员为研究温度（℃）与绿豆新品种发芽数（颗）之间的关系，每组选取了成熟种子50颗，分别在对应的8℃~14℃的温度环境下进行实验，得到如下散点图：
(1)由折线统计图看出，可用线性回归模型拟合与的关系，请用相关系数加以说明；
(2)建立关于的回归方程，并预测在19℃的温度下，种子发芽的颗数.
参考数据：，，，.
参考公式：相关系数，回归直线方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为
，.
【答案】(1)答案见解析；
(2)44.
【分析】（1）直接套公式求出系数r，即可判断；（2）套公式求出回归方程，把代入，即可求解.
【详解】（1）由题意可知：.
.又，所以相关系数.
因为相关系数，所以与的线性相关性较高，可以利用线性回归模型拟合与的关系.
（2）由（1）知，，，.
所以,
所以.
所以与的回归直线为.
当时，.即在19℃的温度下，种子发芽的颗数为44.
20．已知点，，动点满足．
(1)求动点的轨迹的方程；
(2)直线 经过点且与曲线只有一个公共点，求直线 的方程．
【答案】(1)；
(2)或．
【分析】（1）设，根据两点间距离公式结合条件即得；
（2）由题可知直线与圆相切，分斜率存在和不存在讨论，结合点到直线的距离公式即得.
【详解】（1）设，因为点，，动点满足，
所以，
整理得，即，
所以曲线方程为；
（2）由，可知曲线为圆心为，半径为4的圆，
所以直线 与圆相切，
当直线的斜率不存在时，直线，满足题意；
当直线的斜率存在时，设直线，即，
则，解得，
所以直线的方程为，即，
综上，直线的方程为或．
21．已知双曲线C：( a >0， b >0）的离心率为，且双曲线的实轴长为2．
(1)求双曲线 C 的方程；
(2)已知直线x－y + m =0与双曲线C交于不同的两点A、B，且线段AB中点在圆x2＋y2 =17上，求m的值．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（1）由实轴长求得，再由离心率得，从而求得得双曲线方程；
（2）直线方程与双曲线方程联立方程组，消元后应用韦达定理求得中点坐标，代入圆方程可求得值．
【详解】（1）由已知，，又，所以，，
所以双曲线方程为；
（2）由，得，恒成立，
设，，中点为，
所以，，，
又在圆x2＋y2 =17上，
所以，．
22．已知椭圆C：(a＞b＞0)的离心率e为，点在椭圆上．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若A、B为椭圆的左右顶点，过点(1，0)的直线交椭圆于M、N两点，设直线AM、BN的斜率分别为，求证为定值．
【答案】(1)；
(2)证明见解析．
【分析】(1)根据题意列出关于a、b、c的方程组求出a、b、c即可得椭圆方程；
(2)设直线的方程为，，，，，联立直线方程利用韦达定理即可求为定值．
【详解】（1）；
（2）由椭圆方程可知，，，
设直线的方程为，，，，，
联立得，
∴，，则，
∵，，
∴，
把及代入可得：
﹒
一、单选题
1．采用系统抽样方法，从个体数为1001的总体中抽取一个容量为40的样本，则在抽取过程中，每个个体被抽到的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由于系统抽样是等可能抽样，故每个个体在抽样过程中得到的概率是相等的，故每个个体被抽到的概率都是样本容量除以总体容量.
【详解】由于系统抽样是等可能抽样，故每个个体在抽样过程中得到的概率是相等的.
所以在整个抽样过程中每个个体被抽到的概率为.
故选：A
2．若过两点的直线的倾斜角为，则y等于（ ）
A．B．C．D．1
【答案】C
【分析】由倾斜角与斜率关系有，即可求结果.
【详解】由题设，可得.
故选：C
3．已知R，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
【详解】若，则，则成立．
而当且时，满足，但不成立；
“”是“”的充分不必要条件．
故选：．
4．下列说法中错误的是（ ）
A．对于命题p：存在，使得，则：任意，均有
B．两个变量线性相关性越强，则相关系数就越接近1
C．在线性回归方程中，当变量x每增加一个单位时，平均减少0.5个单位
D．某7个数的平均数为4，方差为2，现加入一个新数据4，此时这8个数的方差不变
【答案】D
【分析】A选项，存在量词命题的否定是全称量词命题，把存在改为任意，把结论否定；
B选项，相关系数就越接近1，则两个变量线性相关性越强；
C选项，根据线性回归方程的解析式中的系数得到结论；
D选项，计算出添加新数据4后的方程，作出判断.
【详解】存在，使得，的否定是：任意，均有，A正确；
两个变量线性相关性越强，则相关系数就越接近1，B正确；
在线性回归方程中的系数为，当变量x每增加一个单位时，平均减少0.5个单位，C正确；
某7个数的平均数为4，方差为2，则，
现加入一个新数据4，则平均数不变，仍为4，此时这8个数的方差变为，故D错误.
故选：D
5．在校园篮球赛中，甲、乙两个队10场比赛的得分数据整理成如图所示的茎叶图，下列说法正确的是（ ）
A．乙队得分的中位数是38.5
B．甲、乙两队得分在分数段频率相等
C．乙队的平均得分比甲队的高
D．甲队得分的稳定性比乙队好
【答案】D
【分析】根据茎叶图，对数据的中位数、频率、平均数和稳定性对选项逐一分析，由此确定正确选项.
【详解】对于A选项，乙队得分的中位数是，故A选项错误.
对于B选项，甲队得分在分数段频率为，乙队得分在分数段频率为，所以B选项错误.
对于C选项，甲队平均分为，
乙队平均分为，两队得分平均分相等，所以C选项错误.
对于D选项，由于两队得分的平均分相等，而甲队的得分较为集中，乙队的得分比较分散，所以甲队得分的稳定性比乙队好.
故选：D
【点睛】本小题主要考查根据茎叶图进行数据分析，属于基础题.
6．执行如图所示的程序框图，输出的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】按照程序框图执行程序，直到不满足时，输出结果即可.
【详解】按照程序框图执行程序，输入，，
则，满足，进入循环；
则，，满足，进入循环；
则，，满足，进入循环；
则，，满足，进入循环；
则，，不满足，终止循环，输出.
故选：B.
7．直线3x＋4y－5＝0与圆2x2＋2y2―4x―2y＋1＝0的位置关系是．
A．相离B．相切
C．相交但直线不过圆心D．相交且直线过圆心
【答案】D
【分析】圆心为半径为直线3x+4y-5=0的距离为
故选D
【详解】请在此输入详解！
8．椭圆上的点到一个焦点的距离为，是的中点，则点到椭圆中心的距离为．
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由三角形的中位线的性质得，再由椭圆的定义得，由此可求得答案.
【详解】∵椭圆方程为，∴，得，
∵中，、分别为和的中点，∴，
∵点在椭圆上，得，
∴，
由此得，
故选：．
9．已知，为双曲线的两个焦点，点P在双曲线上且满足，那么点P到x轴的距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】设，由双曲线的性质可得的值，再由，根据勾股定理可得的值，进而求得，最后利用等面积法，即可求解
【详解】设，，为双曲线的两个焦点，
设焦距为，，点P在双曲线上，，，
，，
，的面积为，
利用等面积法，设的高为，则为点P到x轴的距离，
则，
故选：D
【点睛】本题考查双曲线的性质，难度不大.
10．过抛物线的焦点作斜率为的直线，与抛物线在第一象限内交于点，若，则
A．2B．1C．D．4
【答案】A
【分析】过A作AB⊥x轴于B点，Rt△ABF中，作斜率为的直线，由∠AFB且|AF|＝4，得|BF|＝2，从而求得A的横坐标．再由抛物线的焦半径公式可得p的值即可．
【详解】解：过A作AB⊥x轴于B点，过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F作斜率为的直线，
则在Rt△ABF中，∠AFB，|AF|＝4，
∴|BF||AF|＝2，
则xA＝2，
∴|AF|＝xA2+p＝4，得p＝2．
故选A．
【点睛】本题考查了抛物线的标准方程和简单几何性质等知识，属于中档题．
11．已知，，直线：，：，且，则的最小值为（ ）
A．2B．4C．8D．9
【答案】C
【分析】由，可求得，再由，利用基本不等式求出最小值即可.
【详解】因为，所以，即，
因为，，所以，当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值为8.
故选：C.
【点睛】本题考查垂直直线的性质，考查利用基本不等式求最值，考查学生的计算求解能力，属于中档题.
12．椭圆的左，右焦点分别为，，直线过点交椭圆于，两点，，，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】在中，利用椭圆定义及已知，结合余弦定理可得，再利用定义可得，从而得到e.
【详解】由①
得：代入，，
整理得：，
代入①式得：，
不妨设：，，，，
则，
故点为椭圆顶点，.
故选：A.
【点睛】本题考查了椭圆的离心率的求法，考查了椭圆定义的应用及焦点三角形的周长，涉及到余弦定理的应用，属于中档题.
二、填空题
13．某校调查了200名学生每周的自习时间（单位:小时），制成了如图所示的的频率分布直方图，根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数为：_____．
【答案】140
【分析】求出这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的频率，即可求得答案.
【详解】由频率分布直方图得：这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的频率为:
,
这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数为：，
故答案为：140.
14．从800名同学中，用系统抽样的方法抽取一个20人的样本，将这800名同学按进行随机编号，若第一组抽取的号码为3，则第五组抽取的号码为__________.
【答案】163
【分析】根据系统抽样的知识求得正确答案.
【详解】组距为，
所以第五组抽取的号码是.
故答案为：
15．若椭圆 的离心率为，则实数的值等于__________．
【答案】或
【分析】分类讨论，确定，利用椭圆的离心率公式，即可求出的值．
【详解】设椭圆的长半轴和短半轴长分别为 ，
由离心率为，可得 ，
当时， ，则 ，；
当 时，，则 ，，
故答案为：或
16．数学中有许多美丽的曲线，它蕴藏于特有的抽象概念，公式符号，推理论证，思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美.如曲线，（如图所示），给出下列三个结论
①曲线关于直线对称；
②曲线上任意一点到原点的距离都小于；
③曲线围成的图形的面积是.
其中，正确结论的序号是_________.
【答案】①③
【分析】根据点的对称性可判断①，由曲线方程知曲线关于原点，，轴对称，当，时，可得，可得，所以可得曲线为为圆心，为半径的半圆，由此可作出曲线的图象，从而通过运算可判断命题②③的真假．
【详解】设点在曲线上，则，关于直线对称的点，将代入曲线中得，因此在曲线上，故①正确，
曲线可知曲线关于原点，，轴对称，
当，时，可得，可得，所以可得曲线为为圆心，为半径的半圆，曲线上任意点到原点的距离的最大值为，曲线上任意一点到原点的距离都小于或等于，故命题②错误；
根据对称性可知曲线围成的图形的面积为4个半圆的面积加上边长为的正方形的面积，即，故命题③正确；
故答案为：①③
三、解答题
17．已知直线.
（1）若直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程；
（2）当点到直线l距离最大时，求直线l的方程.
【答案】（1）或（2）
【解析】（1）先求出直线l在两坐标轴上的截距，根据题意，列出方程，解方程即可；
（2）根据直线的点斜式方程可以确定直线恒过的定点，然后根据直线l与垂直时，点到直线l距离最大，最后求出的值，进而求出直线的方程.
【详解】（1）直线，取，
取，
即，解得或，
故直线方程为或
（2）变换得到，
故过定点
当直线l与垂直时，距离最大.
，故，解得，
故所求直线方程为
【点睛】本题考查了直线的截距的定义，考查了直线过定点的判断，考查了已知点到直线的距离的最大值求参数问题，考查了数学运算能力.
18．已知命题； 命题.
(1)若p是q的充分条件，求m的取值范围；
(2)当时，已知是假命题，是真命题，求x的取值范围.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）解不等式组即得解；
（2）由题得p、q一真一假，分两种情况讨论得解.
【详解】（1）解：由题意知p是q的充分条件，即p集合包含于q集合，
有；
（2）解：当时，有，
由题意知，p、q一真一假，
当p真q假时，，
当p假q真时，，
综上，x的取值范围为
19．已知某绿豆新品种发芽的适宜温度在6℃~22℃之间，一农学实验室研究人员为研究温度（℃）与绿豆新品种发芽数（颗）之间的关系，每组选取了成熟种子50颗，分别在对应的8℃~14℃的温度环境下进行实验，得到如下散点图：
(1)由折线统计图看出，可用线性回归模型拟合与的关系，请用相关系数加以说明；
(2)建立关于的回归方程，并预测在19℃的温度下，种子发芽的颗数.
参考数据：，，，.
参考公式：相关系数，回归直线方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为
，.
【答案】(1)答案见解析；
(2)44.
【分析】（1）直接套公式求出系数r，即可判断；（2）套公式求出回归方程，把代入，即可求解.
【详解】（1）由题意可知：.
.又，所以相关系数.
因为相关系数，所以与的线性相关性较高，可以利用线性回归模型拟合与的关系.
（2）由（1）知，，，.
所以,
所以.
所以与的回归直线为.
当时，.即在19℃的温度下，种子发芽的颗数为44.
20．已知点，，动点满足．
(1)求动点的轨迹的方程；
(2)直线 经过点且与曲线只有一个公共点，求直线 的方程．
【答案】(1)；
(2)或．
【分析】（1）设，根据两点间距离公式结合条件即得；
（2）由题可知直线与圆相切，分斜率存在和不存在讨论，结合点到直线的距离公式即得.
【详解】（1）设，因为点，，动点满足，
所以，
整理得，即，
所以曲线方程为；
（2）由，可知曲线为圆心为，半径为4的圆，
所以直线 与圆相切，
当直线的斜率不存在时，直线，满足题意；
当直线的斜率存在时，设直线，即，
则，解得，
所以直线的方程为，即，
综上，直线的方程为或．
21．已知双曲线C：( a >0， b >0）的离心率为，且双曲线的实轴长为2．
(1)求双曲线 C 的方程；
(2)已知直线x－y + m =0与双曲线C交于不同的两点A、B，且线段AB中点在圆x2＋y2 =17上，求m的值．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（1）由实轴长求得，再由离心率得，从而求得得双曲线方程；
（2）直线方程与双曲线方程联立方程组，消元后应用韦达定理求得中点坐标，代入圆方程可求得值．
【详解】（1）由已知，，又，所以，，
所以双曲线方程为；
（2）由，得，恒成立，
设，，中点为，
所以，，，
又在圆x2＋y2 =17上，
所以，．
22．已知椭圆C：(a＞b＞0)的离心率e为，点在椭圆上．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若A、B为椭圆的左右顶点，过点(1，0)的直线交椭圆于M、N两点，设直线AM、BN的斜率分别为，求证为定值．
【答案】(1)；
(2)证明见解析．
【分析】(1)根据题意列出关于a、b、c的方程组求出a、b、c即可得椭圆方程；
(2)设直线的方程为，，，，，联立直线方程利用韦达定理即可求为定值．
【详解】（1）；
（2）由椭圆方程可知，，，
设直线的方程为，，，，，
联立得，
∴，，则，
∵，，
∴，
把及代入可得：
﹒
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