2022-2023学年四川省凉山州西昌市高二上学期期末检测数学（理）试题含解析

这是一份2022-2023学年四川省凉山州西昌市高二上学期期末检测数学（理）试题含解析，共13页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．圆的圆心为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据给定的圆的方程，直接求出圆心坐标作答.
【详解】圆，即，
所以圆的圆心为.
故选：C
2．设命题，则为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】利用存在量词命题的否定可得出命题.
【详解】由题意可知，命题为存在量词命题，所以，命题为“”.
故选：D.
3．已知直线l过点，且与直线平行，则直线l的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】通过平行可设直线l的方程为，再把点代入即可解得即可求出结果
【详解】设与直线即平行的直线l的方程为，
把点代入可得，解得．
因此直线l的方程为
故选：D
4．一支拉拉队有男队员72人，女队员36人．若用分层抽样的方法从该队的全体拉拉队队员中抽取一个容量为21的样本，则抽取的女队员的人数为（ ）
A．7B．14C．20D．21
【答案】A
【分析】根据分层抽样的概念求解即可.
【详解】一支拉拉队有男队员72人，女队员36人，则男女人数比为，
若用分层抽样的方法从该队的全体拉拉队队员中抽取一个容量为21的样本，则女队员人数为.
故选：A.
5．是直线与圆相切的（ ）
A．充分必要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】判断“”和“直线与圆相切”之间的逻辑推理关系，可得答案.
【详解】当时，直线为，
则的圆心到直线的距离为，
故此时直线和圆相切；
当直线与圆相切时，则，
解得或，推不出一定是，
故是直线与圆相切的充分不必要条件，
故选：B
6．抛物线的方程为，抛物线上一点P的横坐标为，则点P到抛物线的焦点的距离为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【分析】根据给定条件，求出抛物线上点P的纵坐标，再结合抛物线定义求解作答.
【详解】依题意，抛物线的准线方程为，而点在抛物线上，则，
所以点P到抛物线焦点的距离为.
故选：B
7．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的的值为（ ）
A．9B．12C．15D．18
【答案】C
【分析】模拟执行程序即可计算出输出值.
【详解】解：开始，，
，，不满足，
，，不满足，
，，不满足，
，，不满足，
，，满足，输出.
故选：C
8．若双曲线的渐近线方程为则双曲线的离心率为（ ）
A．B．或
C．D．或
【答案】D
【分析】由双曲线的渐近线方程为，得到或求解.
【详解】解：因为双曲线的渐近线方程为，
所以或，
所以或，
故选：D
9．全面推进乡村振兴是继脱贫攻坚取得全面胜利后三农工作重心历史性转移重要时刻．西昌市大石板村真正意义上实现了从脱贫攻坚到乡村振兴的无缝衔接．下图是大石板村从年开始人均年收入（万元）与时间第年的五组数据，并由组数据利用最小二乘法求得与的线性回归方程为，由于工作失误第五组数据被污损，则被污损的数据为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】设被污损的数据为，求出、，将样本中心点的坐标代入回归直线方程，可求得实数的值，即为所求.
【详解】设被污损的数据为，则，，
将点的坐标代入回归直线方程可得，解得.
故选：C.
10．若命题为假命题，则实数m的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由命题为真命题求解.
【详解】解：因为命题为假命题，
所以命题为真命题，
所以，
故选：A
11．在平面内若曲线上存在点，使到平面内两点，距离之和为，则称曲线为“美好曲线”，以下曲线是“美好曲线”的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据椭圆的定义求出动点的轨迹方程，则问题转化为椭圆与所给曲线有交点，从而一一判断即可.
【详解】依题意，所以点在以，为焦点的椭圆上，且，
所以、，则，所以动点的轨迹方程为；
则问题转化为椭圆与所给曲线有交点，
对于A：表示圆心为，半径的圆，显然椭圆在圆内，故A错误；
对于B：双曲线的顶点坐标为，显然，
所以点在椭圆内部，则两曲线有交点，故B正确；
对于C：双曲线顶点坐标为，因为，
即点在椭圆外部，则两曲线没有交点，故C错误；
对于D：椭圆的顶点坐标为、，
显然、，则椭圆在椭圆内部，两曲线无交点，故D错误；
故选：B
12．已知椭圆，离心率为．点为椭圆C上一动点（其中，），点，为椭圆C左右焦点，直线与直线在一象限交于点，则线段长度为（ ）
A．2B．C．1D．4
【答案】A
【分析】有椭圆的离心率可求得，则椭圆方程为，结合和，可得直线的方程为，在再联立方程组，求出，利用两点间距离公式即可求解.
【详解】椭圆的离心率为，
，则，
椭圆，此时，则直线的方程为，
又点在椭圆C上，则有，
设，联立，解得，则
，
由得：，代入上式得：.
故选：A.
二、填空题
13．若与垂直，则______．
【答案】3
【分析】根据两直线垂直的条件.列出等式,求出即可.
【详解】因为与垂直，
所以，解得
故答案为：3
14．张华和李明两名同学参加数学竞赛的预选赛，他们分别同时进行了5次模拟测试，测试成绩如下表（单位：分）
如果希望在张华、李明两人中选发挥比较稳定的1人入选，则入选的最佳人选应是______．
【答案】张华
【分析】计算出张华、李明成绩的平均分和方差，比较方差即可
【详解】张华成绩的平均分为：，
方差为：，
李明成绩的平均分为：，
方差为：，
因为，所以张华、李明两人中选发挥比较稳定的是张华，
故答案为：张华
15．给出命题若，则.则命题的逆命题，否命题和逆否命题中，真命题有______个．
【答案】
【分析】利用幂函数的单调性解不等式，可判断命题及其逆否命题的真假，写出命题的逆命题，可判断出命题的逆命题与否命题的真假，由此可得出结论.
【详解】因为函数为上的增函数，
由可得，解得，
故命题为假命题，其逆否命题为假命题，
命题的逆命题为：若，则.该命题为真命题，
故命题的否命题也为真命题.
因此，命题的逆命题，否命题和逆否命题中，真命题的个数为.
故答案为：.
16．蒙日圆涉及几何学中的一个重要定理，该定理的内容是：椭圆上任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，该圆的圆心是椭圆的中心，这个圆称为椭圆的蒙日圆．已知焦点在x轴上的椭圆的离心率为，它的蒙日圆的方程是，则该椭圆的方程为______．
【答案】
【分析】设椭圆方程为，取椭圆的右顶点和上顶点作椭圆的两条切线，求出交点坐标，又因为在圆上，代入求出，然后根据椭圆的离心率和的关系即可求解.
【详解】设椭圆方程为，则椭圆的右顶点为，上顶点，过作椭圆的切线，则交点坐标为，
因为椭圆上任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，所以在圆上，则，
又因为，，
所以，则椭圆方程为，
故答案为：.
三、解答题
17．已知，．
(1)若命题为真命题，求实数x的取值范围；
(2)若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）记，，根据为真，由求解；
（2）根据p是q必要不充分条件，由求解.
【详解】（1）解：记集合，，
当时，，
∵为真，
∴；
（2）∵p是q必要不充分条件，
∴，
∴，
∴.
18．已知圆，直线．
(1)证明：直线l与圆C都相交；
(2)当直线l被圆C截得的弦长最小时，求直线l的方程．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）先求出直线l恒过定点的坐标，再证明该定点在圆内；
（2）由平面几何的知识知：当该定点是弦的中点时弦长最短，据此求解.
【详解】（1）圆C的标准方程为： ， ；
直线l的方程为： ，即 当 时上方程总是成立的，
即直线l恒过定点 ，又 ， 点P在圆C的内部，
直线l与圆C始终有交点；
（2）由平面几何知识知：当点P是直线l被圆C截得的弦的中点时，弦长最短，
此时 ，求直线l的斜率 ： ，即 ，
，此时直线l的方程为： ；
综上，直线l的方程为 .
19．西昌邛海湿地马拉松比赛是四川省内最专业的国际马拉松赛事，公里，每一步都来之不易，每一个向前奔跑的脚步，汇聚成永不停歇的力量，点亮这座城市的精彩．为积极参与马拉松比赛，某校决定从名学生随机抽取名学生进行体能检测，这名学生进行了公里的马拉松比赛，比赛成绩（分钟）的频率分布直方图如图所示，其中成绩分布区间是、、、、．
(1)求图中的值；
(2)根据频率分布直方图，估计这名学生比赛成绩的中位数（结果精确到）；
(3)根据样本频率分布直方图，估计该校名学生中约有多少名学生能在分钟内完成公里马拉松比赛？
【答案】(1)
(2)
(3)人
【分析】（1）由频率分布直方图中所有矩形的面积之和为可求得实数的值；
（2）设中位数为，根据中位数的定义可得出关于的等式，解之即可；
（3）样本中分钟之频率，乘以可得结果.
【详解】（1）解：由频率分布直方图中所有矩形的面积之和为可得
，解得.
（2）解：前两个矩形的面积之和为，
前三个矩形的面积之和为，
所以，中位数，所以，，解得.
（3）解：样本中分钟之前频率为，
因此，估计该校名学生中能在分钟内完成公里马拉松比赛的学生人数为.
20．2022年卡塔尔世界杯开幕式在美丽的海湾球场举行，中国制造在这届世界杯中闪亮登场，由中国铁建承建的卢赛尔球场是全球首个在全生命周期深入应用建筑信息模型技术的世界杯主场馆项目．场馆的空调是我们国家的海信空调，海信空调为了了解市场情况，随机调查了某个销售点五天空调销售量y（单位：台）和销售价格x（单位：百元）之间的关系，得到如下的统计数据：
(1)通过散点图发现销售量y与销售价格x之间有较好的线性相关关系，求出y关于x的线性回归方程．
(2)若公司希望每天的销售额到达最大，请你利用所学知识帮公司制定一个销售价格（注：销售额=销售价格×销售量）．
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，．
【答案】(1)
(2)35百元
【分析】（1）根据已知求得回归方程的系数，即可得回归方程；
（2）利用销售额的公式可得到，利用二次函数的性质即可求解
【详解】（1），，
，
，
∴y关于x的线性回归方程为
（2）设销售额为，，
当百元时，此时销售额到达最大，该值为百元
21．已知抛物线的焦点为F，点P为抛物线上动点，点为抛物线内的一个定点，已知最小值为5．
(1)求抛物线E的标准方程；
(2)已知的三个顶点都在抛物线E上，顶点，重心恰好是抛物线E的焦点F．求所在的直线方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用抛物线的定义和三角不等式即可求解；
（2）设，，根据题意和重心的性质即可求解.
【详解】（1）过P作抛物线准线的垂线，垂足为M，
，
∴抛物线方程为：.
（2）设，，
由重心坐标公式得，所以，
∴中点坐标为，
由两式相减可得，
所以方程：，
，
∴方程：.
22．平面内动点与两定点、连线斜率之积为．
(1)求动点的轨迹的方程；
(2)过点的直线与点的轨迹交于、两点，直线与轴交于点，求四边形的面积取值范围（其中为坐标原点）．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设动点，根据斜率公式以及已知条件化简可得出动点的轨迹的方程；
（2）设点、，分析可知直线不与轴重合，设直线方程为，将直线的方程与曲线的方程联立，列出韦达定理，求出的表达式，利用对勾函数的单调性可求得的取值范围.
【详解】（1）解：设动点，则，
化简整理得.
因此，动点的轨迹的方程为.
（2）解：设、，
若直线与轴重合，则直线与曲线无公共点，不合乎题意，
设直线方程为，联立可得，
，
由韦达定理可得，，
所以，，
令，，
因为函数在上单调递增，所以，，
故，当且仅当即时取等号，
因此，四边形面积的取值范围是.
【点睛】方法点睛：圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略：
（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；
（2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；
（3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
（4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
（5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.
年份
时间
人均收入（万元）
■
张华
100
80
90
90
90
李明
100
100
70
90
90
销售价格x
24
28
30
32
36
销售量y
340
330
300
270
260