2023武汉问津教育联合体高二下学期3月质量检测数学试题含答案

问津教育联合体高二3月质量检测数学试卷

命题学校：新洲三中    审题学校：新洲三中

考试时间：2023年3月10日上午8：00-10：00

试卷满分：150分

一､单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1.与双曲线有相同渐近线，且与椭圆有共同焦点的双曲线方程是（    ）

A.    B.

C.    D.

2.函数的单调递增区间为（    ）

A.    B.    C.    D.

3.等比数列满足：，则的值为（    ）

A.20    B.10    C.5    D.

4.已知函数，则（    ）

A.    B.    C.    D.

5.设函数，则（    ）

A.3    B.    C.    D.0

6.6，《推背图》是唐朝贞观年间唐太宗李世民命天文学家李淳风和相士袁天罡推算大唐气运而作，此著作对后世诸多事件都进行了准确的预测.推背图以天干地支的名称进行排列，共有60象，其中天干分别为甲､乙､丙､丁､戊､已､庚､辛､壬､癸，地支分别为子､丑､寅､卯､辰､巳､午､未､申､酉､戌､亥.该书第一象为“甲子”，第二象为“乙丑”，第三象为“丙寅”，一直排列到“癸酉”后，天干回到甲，重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支又回到子，即“丙子”，以此类推2023年是“癸卯”年，正值武汉大学建校130周年，那么据此推算，武汉大学建校的年份是（    ）

A.癸巳年    B.癸亥年    C.庚丑年    D.庚辰年

7.已知双曲线的左右焦点分别为为双曲线右支上一点，直线交轴于点，原点到直线距离为，且，则双曲线的离心率为（    ）

A.    B.2    C.    D.

8.已知函数仅有唯一极值点，则实数的取值范围（    ）

A.    B.    C.    D.

二､多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.）

9.函数的导函数的图象如图所示，给出下列命题，以下正确的命题（    ）

A.-3是函数的极值点

B.-1是函数的最小值点

C.在区间上单调递增

D.在处切线的斜率小于零

10.已知无穷等差数列的前项和为，且，则（    ）

A.在数列中，公差    B.在数列中，大于0

C.    D.当时，

11.已知抛物线的焦点为为上一点，下列说法正确的是（    ）

A.抛物线的准线方程为

B.直线与相切

C.若，则的最小值为4

D.若，则的周长的最小值为11

12.设函数，则下列说法正确的有（    ）

A.不等式的解集为；

B.函数在单调递增，在单调递减；

C.当时，总有恒成立；

D.若函数有两个极值点，则实数

三､填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）

13.已知一物体的运动方程是的单位为的单位为，则该物体在时间段内的平均速度与时刻的瞬时速度相等，则__________.

14.若函数在区间上不单调，则实数的取值范围是__________.

15.已知点是椭圆上任意一点，若圆上存在点，使得，则椭圆离心率的最大值为__________.

16.大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项都代表太极衍生过程.已知大衍数列满足，，则__________，数列的前100项和为__________.

四､解答题（本大题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤）

17.数列是以1为首项，以公比为4的等比数列，等差数列的各项均为正数，且

（1）求数列的通项公式；

（2）求数列的前项和.

18.已知函数在处取得极值-14.

（1）求的值；

（2）求函数在上的最值.

19.已知正项数列的前项和为，且.

（1）证明：是等差数列.

（2）求数列的前项和为

20.如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面是的中点，点在上，且.

（1）证明：平面；

（2）求二面角的余弦值.

21.已知椭圆的右焦点，离心率为，且点在椭圆上.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）过的直线（不与轴重合）与椭圆相交于两点，是坐标原点，线段的中点在直线上，求面积的最大值.

22.已知函数，为函数的导函数.

（1）求的图象在处的切线方程；

（2）求函数的零点个数；

（3）若函数在区间上有最小值，其中a为正整数，求a的最小值.

问津教育联合体高二3月质量检测

数学试卷参考答案及评分细则

选择题

填空题

13.3    14.    15.    16.；

解答题：

17.【详解】（1）设等差数列的公差为，由已知可得

则，解得

（2）由（1）知，

①，

②，

①-②得，

整理得.

18.【详解】（1）因，故，

由于在处取得极值，

故有即，

化简得解得，

经检验，时，，

令，解得或，令，解得，

所以在.单调递增，单调递减，单调递增，

所以在处取得极值，

符合题意，所以.

（2）由（1）知.

令，得.

在时，随的变化.的变化情况如下表所示：

当时，有极大值，当时，有极小值.

因为

所以.

因此在的最小值为.最大值为

19.【详解】（1）由可得，

当时，，

两式相减可得，

，

，

又由可得，解得，

是以1为首项，2为公差的等差数列.

（2）由（1）可得，

所以，

所以

20.【详解】

（1）证明：由题平面，底面为矩形，以为原点，直线所在直线分别为轴､轴､轴建立空间直角坐标系如图：

则，，

，且平面平面.

（法二）证明：连接

平面平面.

在中，.

，且，

平面，

又平面.

且，且平面平面.

（2）（接向量法）由（1）可知平面的法向量为（也可为）.平面的一个法向量为.

二面角为钝角二面角的余弦值为.

21.（1）解：由题意，又，解得，，

的方程为；

（2）解：设直线的方程为，，，，

则，消元整理得，

所以，，

则，

因为线段的中点在直线上，

所以到直线的距离即为到直线的距离

距离为，

设，而在时递增，

当即，即时，的最大值为.

22.（1）因为函数，所以，

又因为，

所以，

所以的图象在处的切线方程为：，即.

（2）由题意可知：，

令，

即，令，则，

因为在上单调性递减，且，

所以当时，，函数在上单调递增；

当时，，函数在上单调递减；

又，，，，

由零点存在性定理可知：函数在和上各有一个零点，

也即函数在和上各有一个零点，

故函数有两个零点.

（3）由（2）可知：使得，使得，

当时，，函数单调递减；

当时，，函数单调递增；

当时，，函数单调递减；

当时，当时，

且极小值，

要使在区间上有最小值，则，

由a为正整数，故，解得：，

故实数的最小值为.