《一定是直角三角形吗》示范公开课教学设计【北师大数学八年级上册】

第一章  勾股定理2 一定是直角三角形吗  一、教学目标 1.经历勾股定理的逆定理的探索过程，进一步发展推理能力．2.掌握勾股定理的逆定理，能利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是直角三角形．3.利用勾股定理的逆定理解决实际问题，体会数学与现实世界的联系．4.培养逻辑思维能力及推理能力，提升数学素养．二、教学重难点重点：经历勾股定理的逆定理的探索过程，掌握勾股定理的逆定理.难点：利用勾股定理的逆定理解决实际问题.三、教学用具电脑、多媒体、课件、教学用具等四、教学过程设计教学环节教师活动学生活动设计意图环节一创设情境【情境引入】教师活动：先提出问题让学生思考，然后再给出答案.问题：同学们你们知道古埃及人用什么方法得到直角的吗?预设答案：用13个等距的结把一根绳子分成等长的12段，一个工匠同时握住绳子的第1个结和第13个结，两个助手分别握住第4个结和第8个结，拉紧绳子就得到一个直角三角形，其直角在第1个结处.追问：直角三角形有哪些性质呢？预设答案：  直角三角形的性质：(1)有一个角是直角；(2)两个锐角互余；(3)两直角边的平方和等于斜边的平方；（勾股定理）教师重点强调勾股定理.提出问题：如果一个三角形中有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形吗？    思考，讨论              回顾直角三角形的性质及勾股定理    思考   通过情境引入吸引学生注意力，然后复习回顾直角三角形的性质和勾股定理，为本节课要学习的内容作准备. 环节二 探究新知【合作探究】教师活动：教师课件展示几组数，让学生先验证四组数是否都满足a2+b2=c2，画出对应边长的三角形后使用量角器测量这些三角形是不是直角三角形，得出勾股定理逆定理的猜想.问题：下面的每组数分别是一个三角形的三边长a，b，c：①       3，4，5 ；     ②5，12，13；   ③8，15，17；     ④7，24，25；回答下列问题:(1)      这四组数都满足a2+b2=c2吗？预设答案：①∵32+42=52，  ∴3，4，5这组数满足a2+b2=c2.②∵52+122=132，∴5，12，13这组数满足a2+b2=c2.③∵82+152=172，∴8，15，17这组数满足a2+b2=c2.④∵72+242=252，∴8，15，17这组数满足a2+b2=c2.(2)分别以每组数为三边长画出三角形，用量角器量一量，它们都是直角三角形吗？    预设实验结果：通过测量，以这四组数为三边长作出的三角形都是直角三角形.    猜想：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.    问题：利用量角器手工测量结果可能有误差，有没有更有说服力的理由?预设答案：理由一：锐角三角形和钝角三角形中，任意两边的平方和都不等于第三边的平方.因此，以3，4 ， 5为边长的三角形不是锐角三角和钝角三角形，一定是直角三角形.理由二：以3和4为邻边构造三角形，观察随着夹角的增加第三边的变化趋势.随着夹角增大，第三边的长度也越来越大，根据勾股定理，夹角是直角的时候，第三边长度是5，夹角不是直角的时候，第三边长度肯定不是5，因此，边长为3，4，5的三角形一定是直角三角形.【想一想】在△ABC中，三边长分别为a，b，c，且a2+b2=c2.你能否判断△ABC不是直角三角形？还有什么方法能证明吗？预设答案：作一个直角∠MC1N，在C1N上截取C1A1=b=CA，在C1M上截取C1B1=a=CB，连接A1B1. 追问：△ABC与△A1B1C1为何全等？？预设答案：证明：在Rt△A1B1C1中， 由勾股定理得  A1B12=a2+b2=c2=AB2 .∴ A1B1=AB ，在△ABC和△ A1B1C1中，∵ AB=A1B1=c，BC=B1C1=a，   AC= A1C1 =b.∴ △ABC ≌△A1B1C1 . （SSS）∴ ∠C=∠C1=90°，∴  △ABC是直角三角形.【归纳】勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.特别说明：勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，即已知三角形的三边长，且满足两条较小边的平方和等于最长边的平方，即可判断此三角形为直角三角 ，最长边所对角为直角.勾股数：满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数.正整数：大于0的整数，如1，2，3...常见勾股数：①3，4，5；②9，40，41；③8，15，17；④7，24，25；⑤5，12，13；⑥9，12，15.问题：那怎么判断一组数是不是勾股数呢？同学们一起来做一做下面这个题.1.下列各组数是勾股数的是(     )            A.6，8，10            B.7，8，9    C.0.3，0.4，0.5        D.52，122，132分析：根据勾股数的定义，勾股数必须为正整数，先排除小数，再计算最长边的平方是否等于其他两边的平方和，而A选项中62+82=102，符合勾股数的定义，所以选择A.预设答案：A.         认真计算，也可借助计算器辅助计算.      分组仔细测量得出实验结果.     思考       举手回答            熟悉证明过程                    熟悉勾股定理的逆定理及勾股数定义、常见勾股数.                      通过测量活动，得出勾股定理的逆定理的猜想.          引导学生进行一些理性的思考，得出更有说服力的理由，验证刚才的猜想.       通过证明让学生明确勾股定理的逆定理，培养学生的逻辑推理能力.          通过归纳勾股定理的逆定理、勾股数的定义，培养归纳概括能力. 环节三 应用新知【典型例题】教师活动：教师提出问题，学生先独立思考，解答.然后再小组交流探讨，如遇到有困难的学生适当点拨，最终教师展示答题过程.【例】一个零件的形状如图1所示，按规定这个零件中∠A和∠DBC都应为直角，工人师傅量得这个零件各边的尺寸如图2所示，这个零件符合要求吗?分析：要判断一个三角形是不是直角三角形，可以根据勾股定理的逆定理来判断，计算两条较小边长的平方和是否等于最大边长的平方.证明：在△ABD中，AB2+AD2=9+16=25=BD2，  所以△ABD是直角三角形，∠A是直角.在△BCD中，BD2+BC2=25+144=169=CD2，所以△BCD是直角三角形，∠DBC是直角.因此这个零件符合要求.              明确例题的做法      利用勾股定理的逆定理解决实际问题，使学生进一步理解勾股定理的逆定理，体会数学与现实世界的联系. 环节四 巩固新知【随堂练习】教师活动：教师给出练习，随时观察学生完成情况并相应指导，最后给出答案，根据学生完成情况适当分析讲解.1.下列几组数能否作为直角三角形的三边长？说说你的理由.（1）9，12，15      （2）12，18，22（3）12，35，36     （4）15，36，39 2.如图，在正方形ABCD中，AB=4，AE=2，DF=1，图中有几个直角三角形，你是如何判断的？与你的同伴交流. 3.如果直角三角形的两直角边长为9，40，那么斜边长为多少？  4.如图，四边形ABCD中，AB⊥AD，已知AD=3cm，AB=4cm，CD=12cm，BC=13cm，求四边形ABCD 的面积.参考答案： 1.第一、四组可以作为直角三角形的三边长；第二、三组不可以作为直角三角形的三边长.2.解：∵ABCD为正方形∴∠A，∠C，∠D均为直角，∴△ABE，△DEF，△FCB均为直角三角形.由勾股定理得：BE2=22+42=20，EF2=22+12=5，BF2=32+42=25，∴  BE2+EF2=BF2，∴  △BEF是直角三角形.∴  图中共有4个直角三角形.3.解：由勾股定理得：92+402=1681，而412=1681即92+402=412所以斜边长为41.4.解：连接BD.在Rt△ABD中，由勾股定理， 得  BD2=AB2+AD2，∴BD=5cm，又∵ CD=12cm，BC=13cm∴  BC2=CD2+BD2，∴△BDC是直角三角形.S四边形ABCD=SRt△BCD－SRt△ABD=BD•CD－AB•AD=(5×12－3×4)=24 cm2所以四边形ABCD 的面积24 cm2.         自主完成练习，然后集体交流评价.     通过课堂练习及时巩固本节课所学的内容，并考查学生的知识应用能力，培养独立完成练习的习惯.    环节五 课堂小结 思维导图的形式呈现本节课的主要内容：  学生尝试回顾本节课所讲的内容通过小结总结回顾本节课学习内容，帮助学生归纳、巩固所学知识.环节六布置作业   教科书第11页 习题1.3  第2、4题   学生课后自主完成.通过课后作业，教师能及时了解学生对本节课知识的掌握情况，以便对教学进度和方法进行适当的调整.