《为什么要证明》示范公开课教学设计【北师大数学八年级上册】

教学

环节

教师活动

学生活动

设计意图

环节一

创设

情境

【观察】

教师活动：创设情境，出示图片，引导学生观察，思考.

上图是静态的没有循环帧的图片，你看到的静止的图片是不是在动呢？据心理医生说，图片与心理承受力有关，你的心理承受力越强，图片运动越慢.美国曾经以此作为犯罪嫌疑人的心理测试，据说犯罪嫌疑人看到的图片是高速运动的.

问题：这幅图是动还是静呢？

问题：图中有几个黑点？

问题：下面两个图形中中间两个圆的大小一样吗？

眼见未必真实哦！

不敢相信图中的横线是平行的，不过它们就是平行线！

问题：你觉得观察得到的结论正确吗？

学生认真观察，回答问题.

认真观察、探究交流并说一说.

通过图片展示，激发学生的学习兴趣，同时让学生明白眼见未必为实，引发学生思考，为下面的学习奠定基础.

环节二

探究

新知

【问题探究】

教师活动：出示教材图片，引导学生观察、思考.

以前，我们通过观察、实验、归纳得到了很多正确的结论. 观察、实验、 归纳得到的结论一定正确吗？我们再感受几个！

(1)图1中两条线段a，b的长度相等吗？图2中的四边形是正方形吗？请你先观察，再设法检验你观察到的结论.

预设：图1的两条线长度相等，图2的四边形是正方形.

教师活动：让学生大胆地进行预测，但要让学生说清理由，了解几何证明的必要.

(2)如图3，把地球看成球形，假如用一根比地球赤道长l m的铁丝将地球赤道围起来，铁丝与地球赤道之间的间隙能有多大？

问题：能放进一颗核桃吗？能放进一个拳头吗？

别太信任你的眼睛和直觉哟！

教师活动：充分让学生发表自己的见解，首先让学生对自己的结论确信无疑，再进一步计算，结果与学生的感觉产生矛盾，切忌直接进行计算，把结论告诉学生，这样就达不到预想的要求，不能让学生留下深刻的印象.

建立“数学模型”!

解：设地球赤道的周长为c，半径为r1，铁丝所围成的圆的半径为r2. 则：

它们的间隙不仅能放进一颗核桃，而且也能放进一个拳头.

问题：观察得到的结论可靠吗？

观察得到的结论并不可靠.

要判断一个数学结论是否正确，仅仅依靠实验、观察、归纳是不够的，必须一步一步、有根有据地进行推理证明.

数学的结论必须经过严格的论证！

【做一做】

 (1) 当n=0，1，2，3，4，5时，代数式  n2－n+11的值是质数吗？

答案：

你能否得到结论：对于所有自然数n，代数式n2－n+11的值都是质数？

当n为自然数时，n2-n+11的值一定是质数吗？找数值代入，验证你的结论.

对于所有自然数n，代数式n2-n+11的值不一定都是质数.

(2) 如图，在△ABC中，点D，E分别是AB， AC的中点，连接DE，DE与BC有怎样的位置关系和数量关系？请你先猜一猜，再设法检验你的猜想.

解：通过测量得出：

位置关系：DE∥BC

数量关系：

你能肯定你的结论对所有的△ABC都成立吗？与同伴进行交流.

【议一议】

教师活动：让学生用自己的语言进行叙述，培养学生的表达能力.

问题：实验、观察、归纳是人们认识事物的重要手段.通过实验、观察、归纳得到的结论都正确吗？

实验、观察、归纳得到的结论可能正确，也可能不正确.因此，要判断一个数学结论是否正确，仅仅依靠实验、观察、归纳是不够的，必须进行有根有据的证明.

问题：在上面问题中，你是怎么判断一个结论是否正确的？检验数学结论常用的方法有哪些？

常用方法：

①实验验证：最基本的方法.

②举反例验证：多用于验证某结论是不是正确的.

③推理论证：最可靠、最科学的方法.

积极猜想，质疑结论.

学生凭着自己的观察和直观感觉说出想法后，动手算一算，并验证结论是否正确.

学生自由说一说.

合作交流，通过填表，得出结论.

认真观察并猜测，然后动手测量得出结论.

在教师的引导下，认真思考

认真思考并做笔记

由有趣的问题引入，激发学生的学习兴趣.

通过理性的计算，验证了很难想像到的结论，让学生产生思维上的碰撞，进而对自己的直观感觉产生怀疑，再次为论证的合理性和必要性提供素材.

直观感觉得到的结论未必正确，面对问题需要理性的思考.需要有理有据的证明.

通过此环节让学生明白，只举几个特殊例子就证明结论是正确的，这种做法不恰当.为下一步的学习提供必要的准备.

学生通过测量得出猜想，并通过改变三角形的形状，在不同的三角形中再次得到验证，因而较为相信这个结论的正确性；但毕竟是测量结果，测量难免有误差，因此难以令人信服，还需要寻求更为可信的证明.

通过相互交流，让学生进一步对“通过实验、观察、归纳得到的结论不一定都正确”有一个更深刻、更全面的认识，进而深刻认识到证明的必要性.

环节三

应用

新知

【典型例题】

教师提出问题，学生先独立思考，解答.然后再小组交流探讨，教师巡视，如遇到有困难的学生适当点拨，最终教师展示答题过程.

【例1】 (1)图中三条线段a，b，c，哪一条和线段d在同一条直线上？请你先观察，再用直尺验证一下.

答案：线段b与线段d在同一条直线上.

(2)图中两条线段a与b的长度相等吗？

答案：线段a与线段b的长度相等.

【例2】当n为正整数时，n2+3n+1的值一定是质数吗？

【分析】结合质数的概念，并通过取特值，即可得到答案.

解：当n=1时，n2+3n+1=12+3×1+1=5，是质数；

当n=2时，n2+3n+1=22+3×2+1=11，是质数；

当n=3时，n2+3n+1=32+3×3+1=19，是质数；

当n=4时，n2+3n+1=42+3×4+1=29，是质数；

当n=5时，n2+3n+1=52+3×5+1=41，是质数；

当n=6时，n2+3n+1=62+3×6+1=55，不是质数；

所以当n为正整数时，n2+3n+1的值不一定是质数.

思考问题，尝试回答问题，并用直尺验证.

思考问题，尝试回答问题

通过例题的探究，让学生进一步体会观察得到的结论未必可靠.面对问题要有勇于探索的精神.需要有理有据的证明.

对现有结论进行验证，让学生感受到知识有时具有一定的迷惑性，从而对不完全归纳的合理性产生怀疑，进而认识到证明的必要性.

环节四

巩固

新知

【随堂练习】

教师给出练习，随时观察学生完成情况并相应指导，最后给出答案，根据学生完成情况适当分析讲解.

1.某公园计划砌一个如图甲所示的喷水池，有人改为如图乙的形状.若外圆的直径不变，水池边沿的宽度和高度不变，你认为砌水池边沿(      )

A.甲需要的材料多      

B.乙需要的材料多

C. 甲、乙需要的材料一样多                D.不确定

答案：C.

2.下列推理正确的是(　　)

A．若a∥b，b∥c，则a∥c.

B．若a⊥b，b⊥c，则a⊥c.

C．因为∠AOB＝∠BOC，所以两角是对顶角.

D．因为两角的和是180°，所以两角互为邻补角.

答案：A.

3.甲、乙、丙三人进行乒乓球比赛，规则是：两人比赛，另一人当裁判，输者将在下一局中担任裁判，每一局比赛没有平局.已知甲、乙各比赛了4局，丙当了3次裁判.则第二局的输者是(　)

A.甲      B.乙     C.丙         D.丁

答案：C.

4.甲、乙、丙、丁四人商量周末出游.甲说：“乙去，我就肯定去.”乙说：“丙去我就不去.“丙说：“无论丁去不去，我都去.“丁说：“甲乙中至少有一人去，我就去.“以下结论可能正确的是(　　)

A.甲一个人去了                              

B.乙、丙两个人去了

C.甲、丙、丁三个人去了              

D.四个人都去了

答案：C.

5.一个黑暗的房间里有3盏关着的电灯，每次都按下其中的2个开关，最后             将3盏电灯都开亮.(填“能”或“不能”)

答案：不能.

6.当n为正整数时，(n+1)2-(n-1)2的值一定是4的倍数吗？说说你的理由.

【分析】先利用完全平方公式将代数式化简，然后判断代数式是否为4的倍数.

解：是.理由如下：

原式=n2+2n+1-(n2-2n+1)=4n，

则结果一定为4的n倍，

故当n为正整数时，(n+1)2-(n-1)2的值一定是4的倍数.

自主完成练习，然后集体交流评价.

通过课堂练习及时巩固本节课所学内容，并考查学生的知识应用能力，培养独立完成练习的习惯.

环节五

课堂

小结

回顾本节课所讲的内容

通过小结总结回顾本节课学习内容，帮助学生归纳、巩固所学知识.

环节六

布置

作业

教科书第164页

习题7.1

第1、2、3 题

课后完成练习

通过课后作业，教师能及时了解学生对本节课知识的掌握情况，以便对教学进度和方法进行适当的调整.