中考经典几何模型与最值问题 专题12 斜截模型解直角三角形试卷

中考经典几何模型与最值问题

每年中考高考，数学都是很受关注的一门学科。每次数学中考结束，相当一部分学生的心情都不轻松。比如今年的广东省数学中考，由于题目很难，据说学霸在考场上都忍不住抽泣。学是一门强调思维、技能和方法的学科。学生好数学，刷题真的是必不可少的，但如果盲目刷题，有可能达不到效果。如果有效刷题，有效学生，有一点很重要，那就是搜集经典题目，汇总经典题型，尤其是对一些经典的数学模型，多解题或者易错题，不妨专门用一个本子搜集一下，整理一下，考前复习一下，效果会很不错。

今天整理一下初三中考总复习阶段在教学过程中收集的一些经典题目，今天分享经典最值问题专题，供大家学习复习参考。

经典题目1：这是一道非常经典的最值问题，题干看似很简单，其中包含了两个经典的数学最值模型将军饮马和一箭穿心。对于利用一穿心求圆外一点到圆上的最大值和最小值问题，弄懂这道题就够了。

经典题目2：上面三道题是费马点经典问题，关于费马点，弄懂这三道题也就差不多了。旋转转化是费马点问题的关键，其核心思想是化折为直，掌握关键技巧，掌握核心思想，才能解决一类数学题目。

经典题目3：阿氏圆经典题目，这道题目实际包括了隐圆模型，一箭穿心模型等常见几何模型，核心思想依旧是化值为直，构造子母相似三角形实现线段的转化。

经典题目4：这是中考出现频率比较高的胡不归问题，也是经典最值问题，这是一个有历史故事的最值问题。构造锐角三角函数实现线段的转化，利用垂线段最短解决问题。

经典题目5：这道题目也是一道比较好的题目，题目类型可总结为“瓜豆原理”和“一箭穿心”，也是常见的最值问题之一。

经典题目6：以这道题目来结尾，这是初一年级经典最短路径问题，也是一道非常好的最值问题，是其他最值问题的基础版本。更多好题分享，请稍候。

专题12 斜截模型解直角三角形

【精典例题】

1、如图，两座建筑物的水平距离BC为40 m，从A点测得D点的俯角α为45°，测得C点的俯角β为60°.求这两座建筑物AB，CD的高度．(结果保留小数点后一位，≈1.414，≈1.732)

解析：延长CD，交AE于点E，则DE⊥AE，得矩形ABCE.

在Rt△AED中，AE＝BC＝40 m，∠EAD＝45°，

∴ED＝AE·tan45°＝40 m.

在Rt△ABC中，∠BAC＝30°，BC＝40 m，

∴AB＝40 m.

则CD＝EC－ED＝AB－ED＝40－40≈29.3(m)．

答：这两座建筑物AB，CD的高度分别为69.3 m和29.3 m.

2、为积极参与鄂州市全国文明城市创建活动，我市某校在教学楼顶部新建了一块大型宣传牌，如下图．小明同学为测量宣传牌的高度AB，他站在距离教学楼底部E处6米远的地面C处，测得宣传牌的底部B的仰角为60°，同时测得教学楼窗户D处的仰角为30°(A，B，D，E在同一直线上)．然后，小明沿坡度i＝1∶1.5的斜坡从C走到F处，此时DF正好与地面CE平行．

(1)求点F到直线CE的距离(结果保留根号)；

(2)若小明在F处又测得宣传牌顶部A的仰角为45°，求宣传牌的高度AB(结果精确到0.1米，≈1.41，≈1.73)．

解析：(1)过点F作FG⊥EC于点G，

依题意，知FG∥DE，DF∥GE，∠FGE＝90°.

∴四边形DEGF是矩形．

∴FG＝DE.

在Rt△CDE中，DE＝CE·tan∠DCE＝6×tan30°＝2.

∴点F到直线CE的距离为2米．

(2)∵斜坡CF的坡度i＝1∶1.5.

∴Rt△CFG中，CG＝1.5FG＝2×1.5＝3.

∴FD＝EG＝CG＋CE＝3＋6.

在Rt△BCE中，BE＝CE·tan60°＝6.

在Rt△AFD中，AD＝DF·tan45°＝3＋6.

∴AB＝AD＋DE－BE＝3＋6＋2－6＝6－≈4.3.

答：宣传牌的高度AB约为4.3米．

3、如图所示，某工程队准备在山坡（山坡视为直线l）上修一条路，需要测量山坡的坡度，即tanα的值．测量员在山坡P处（不计此人身高）观察对面山顶上的一座铁塔，测得塔尖C的仰角为31°，塔底B的仰角为26.6°．已知塔高BC=40米，塔所在的山高OB=240米，OA=300米，图中的点O、B、C、A、P在同一平面内．

求：

（1）P到OC的距离．

（2）山坡的坡度tanα．

（参考数据sin26.6°≈0.45，tan26.6°≈0.50；sin31°≈0.52，tan31°≈0.60）

[来

解析：（1）如图，过点P作PD⊥OC于D，PE⊥OA于E，则四边形ODPE为矩形．

在Rt△PBD中，∵∠BDP＝90°，∠BPD＝26.6°，∴BD＝PD•tan∠BPD＝PD•tan26.6°；

在Rt△CPD中，∵∠CDP＝90°，∠CPD＝31°，∴CD＝PD•tan∠CPD＝PD•tan31°；

∵CD﹣BD＝BC，∴PD•tan31°﹣PD•tan26.6°＝40，∴0.60PD﹣0.50PD＝40，解得PD＝400（米），

∴P到OC的距离为400米；

（2）在Rt△PBD中，BD＝PD•tan26.6°≈400×0.50＝200（米），

∵OB＝240米，∴PE＝OD＝OB﹣BD＝40米，

∵OE＝PD＝400米，∴AE＝OE﹣OA＝400﹣300＝100（米），

∴tanα＝＝＝0.4，∴坡度为0.4．

4、如图，某中学数学活动小组在学习了“利用三角函数测高”后，选定测量小河对岸一幢建筑物BC的高度，他们先在斜坡上的D处，测得建筑物顶端B的仰角为30°，且D离地面的高度DE＝5 m，坡底EA＝30 m，然后在A处测得建筑物顶端B的仰角是60°，点E，A，C在同一水平线上，求建筑物BC的高(结果用含有根号的式子表示)．

解析：如图，过点D作DH⊥BC于点H，则四边形DHCE是矩形，∴DH＝EC，DE＝HC＝5 m.

设建筑物BC的高度为x m，则BH＝(x－5)m.

在Rt△DHB中，∠BDH＝30°，∴DH＝(x－5)m，AC＝EC－EA＝[(x－5)－30]m.

在Rt△ACB中，∠BAC＝60°，∴tan∠BAC＝

∴＝，解得x＝.

答：建筑物BC的高为 m.

5、金桥学校“科技体艺节”期间，八年级数学活动小组的任务是测量学校旗杆AB的高，他们在旗杆正前方台阶上的点C处，测得旗杆顶端A的仰角为45°，朝着旗杆的方向走到台阶下的点F处，测得旗杆顶端A的仰角为60°，已知升旗台的高度BE为1米，点C距地面的高度CD为3米，台阶CF的坡角为30°，且点E、F、D在同一条直线上，求旗杆AB的高度（计算结果精确到0.1米，参考数据：≈1.41，≈1.73）

解析：过点C作CM⊥AB于M．则四边形MEDC是矩形，

∴ME＝DC＝3．CM＝ED，

在Rt△AEF中，∠AFE＝60°，设EF＝x，则AF＝2x，AE＝x，

在Rt△FCD中，CD＝3，∠CFD＝30°，

∴DF＝3，

在Rt△AMC中，∠ACM＝45°，∴∠MAC＝∠ACM＝45°，∴MA＝MC，

∵ED＝CM，∴AM＝ED，

∵AM＝AE﹣ME，ED＝EF+DF，∴x﹣3＝x+3，∴x＝6+3，

∴AE＝（6+3）＝6+9，∴AB＝AE﹣BE＝9+6﹣1≈18.4米．

答：旗杆AB的高度约为18.4米．

6、太阳能热水器的玻璃吸热管与太阳光线垂直时，吸收太阳的效果最佳．如图，某户根据本地区冬至时刻太阳光线与地面水平线的夹角(θ)确定玻璃吸热管的倾斜角(太阳光与玻璃吸热管垂直)．已知：支架CF＝100 cm，CD＝20 cm，FE⊥AD于点E，若∠θ＝37°，求EF的长．(参考数据：sin 37°≈0.6，cos 37°≈0.8，tan 37°≈0.75)[ xk.Com]

解析：如图，延长ED交BC的延长线于点H.

[

∵太阳光线与玻璃吸热管垂直，

∴∠1＋∠θ＝90°

又∠1＋∠H＝90°，

∴∠H＝∠θ＝37°.

在Rt△CDH中，HC＝，

∴HF＝HC＋CF＝＋CF.在Rt△EFH中，

EF＝HF·sin 37°＝·sin 37°≈76.

答：EF的长为76 cm.

7、如图，B位于A南偏西37°方向，港口C位于A南偏东35°方向，B位于C正西方向．轮船甲从A出发沿正南方向行驶40海里到达点D处，此时轮船乙从B出发沿正东方向行驶20海里至E处，E位于D南偏西45°方向，这时，E处距离港口C有多远？（参考数据：tan37°≈0.75，tan35°≈0.70）

解析：由题意得：∠BAP＝37°，∠CAP＝35°，AD＝40海里，BE＝20海里，∠PDE＝45°，∠DPE＝90°，

∴△PDE是等腰直角三角形，

∴PD＝PE，

设PD＝PE＝x海里，则PA＝40+x（海里），PB＝20+x（海里），

在Rt△ABP中，tan∠BAP＝＝tan37°≈0.75，

即＝

解得：x＝40，

∴PE＝40海里，PA＝80海里，

在Rt△ACP中，tan∠CAP＝＝tan35°≈0.70，

∴PC＝0.7PA＝56海里，

∴EC＝PE+PC＝40+56＝96（海里）；

答：E处距离港口C有96海里远．