还剩20页未读，
继续阅读
2023年福建省泉州第一中学中考数学模拟试卷
展开
这是一份2023年福建省泉州第一中学中考数学模拟试卷，共23页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．下列说法中正确的个数为（ ）
①符号不相同的两个数互为相反数；
②一个数的相反数一定是负数；
③两个相反数的和等于0；
④若两个数互为相反数，则这两个数一定一正一负．
A．1个B．2个C．3个D．4个
2．2022年3月23日，备受瞩目的中国空间站“天宫课堂”第二课，通过架设在太空约3600万米的中继卫星与地面之间顺利开讲．其中3600万用科学记数法可表示为（ ）
A．3.6×107B．3.6×106C．3.6×105D．3.6×100
3．下列运算正确的是（ ）
A．3x2+5x2=8x4B．2x3⋅3x3=6x3
C．x6+x3=x9D．x42=x8
4．班主任随机调查了20名学生某天的阅读时间，下列说法正确的是：（ ）
A．方差是3.6B．中位数是2C．众数是8D．平均数是2
5．由5个完全相同的小长方体搭成的几何体从正面看到的形状图和从左面看到的形状图如图所示，则这个几何体从上面看到的形状图是（ ）
A．B．C．D．
6．截止2022年4月18日全国各地累计报告接种新冠病毒疫苗约33.17亿剂次，其中数据33.17亿用科学记数法表示为（ ）
A．33.17×108B．0.3317×1010C．3.317×109D．3.317×108
7．下列调查最适合于普查的是（ ）
A．华为公司要检测一款新手机的待机时长
B．市图书馆了解全市学生寒假期间最喜爱的图书种类
C．新生入学，班主任李老师了解班内每位学生家庭情况
D．调查全市人民对政府服务的满意程度
8．一个等腰三角形的两边长分别是2cm和5cm，则它的周长为（ ）
A．9cmB．12cmC．9cm或12cmD．无法判断
9．某工人在规定的时间内做完一批零件，若每小时做10个就可以超额完成3个，若每小时做11个就可以提前1h完成，则这批零件一共有多少个？设这批零件一共有x个，则根据题意得到的正确方程是（ ）
A．x10−3=x11+1B．x10−103=x11−1
C．x10+310=x11−1D．x10+310=x11+1
10．在平面直角坐标系中，已知直线y＝﹣34x+3与x轴、y轴分别交于A、B两点，点C在线段OB上，把△ABC沿直线AC折叠，使点B刚好落在x轴上，则点C的坐标是（ ）
A．（0，﹣34）B．（0，43）C．（0，3）D．（0，4）
二、填空题
11．分解因式：−2x3+4x2y−2xy2=______．
12．关于x的一元二次方程kx2−3x+2=0有两个不相等的实数根，k的取值范围是______．
13．在一个不透明的盒子中，装有3个分别写有数字6，﹣2，7的小球，他们的形状、大小、质地完全相同，搅拌均匀后，先从盒子里随机抽取1个小球，记下小球上的数字后放回盒子，搅拌均匀后再随机取出1个小球，再记下小球上的数字．则两次取出的小球上的数字相同的概率是_____．
14．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=16cm，AD为BC边上的高．动点P从点A出发，沿A→D方向以2cm/s的速度向点D运动．设△ABP的面积为S1，矩形PDFE的面积为S2，运动时间为t秒（0＜t＜8），则t=_______秒时，S1=2S2．
15．在边长为1的正方形ABCD中，点E、点F分别为边AB，CD上的点，且AE=CF=13AB，点O为线段EF的中点，过点O作直线与正方形的一组对边分别交于P、Q两点，且满足PQ=EF，求以点E、F、P、Q为顶点的四边形面积为______．
三、解答题
16．计算：27+(−12)−2−6cs30°
17．先化简，再求值：1+1x−1÷xx2−1，其中x是不等式2+x>2x−1的非负的整数解．
18．“五一”假期，成都某公司组织部分员工分别到甲、乙、丙、丁四地考察，公司按定额购买了前往各地的车票，如图是用来制作完整的车票种类和相应数量的条形统计图，根据统计图回答下列问题：
1若去丙地的车票占全部车票的30%，则总票数为______ 张，去丁地的车票有______ 张.
2若公司采用随机抽取的方式发车票，小胡先从所有的车票中随机抽取一张(所有车票的形状、大小、质地完全相同、均匀)，那么员工小胡抽到去甲地的车票的概率是多少？
3若有一张车票，小王和小李都想要，他们决定采取掷一枚质地均匀的正方体骰子的方式来确定给谁，其上的数字是3的倍数，则给小王，否则给小李.请问这个规则对双方是否公平？若公平请说明理由；若不公平，请通过计算说明对谁更有利．
19．如图，有一副直角三角板如图1放置（其中∠D=45°，∠C=30°），PA，PB与直线MN重合，且三角板PAC，三角板PBD均可以绕点P逆时针旋转．
(1)在图1中，∠DPC= ；
(2)①如图2，若三角板PBD保持不动，三角板PAC绕点P逆时针旋转，转速为10°/秒，转动一周三角板PAC就停止转动，在旋转的过程中，当旋转时间为多少时，有PC∥DB成立；
②如图3，在图1基础上，若三角板PAC的边PA从PN处开始绕点P逆时针旋转，转速为3°/秒，同时三角板PBD的边PB从PM处开始绕点P逆时针旋转，转速为2°/秒，当PC转到与PA重合时，两三角板都停止转动，在旋转过程中，当∠CPD=∠BPM时，求旋转的时间是多少？
20．元旦期间，七（1）班明明等同学随家长一同到某景区游玩，该景区门票价格规定如图：
(1)明明他们一共12人，分别按成人和学生购票，共需550元，求他们一共去了几个成人，几个学生？
(2)购完票后，明明发现，如果购团体票更省钱，正在此时，七（2）班涛涛等8名同学和他们的12名家长共20人也来购票，请你为七（2）班设计出最省钱的购票方案，并求出此时的购票费用．
21．如图1，已知∠MPN的角平分线PF经过圆心O交⊙O于点E、F，PN是⊙O的切线， B为切点．
(1)求证：PM也是⊙O的切线；
(2)如图2，在（1）的前提下，设切线PM与⊙O的切点为A，连接AB交PF于点D；连接AO交⊙O于点C，连接BC，AF；记∠PFA为∠α．
①若BC=6，tan∠α=12，求线段AD的长；
②小华探究图2之后发现：EF2=m⋅OD⋅OP（m为正整数），请你猜想m的数值？并证明你的结论．
22．如图，抛物线y=﹣12x2+bx +2与x轴交于点A、B，与y轴交于点C．连接AC，BC．
(1)若点A的坐标为（﹣1，0）．
①求抛物线的表达式；
②点P在第一象限的抛物线上运动，直线AP交BC于点F，过点P作x轴的垂线交BC于点H，当△PFH为以PF为腰的等腰三角形时，求点P的坐标．
(2)抛物线y=﹣12x2+bx +2的顶点在某个y关于x的函数图像上运动，请直接写出该函数的解析式．
阅读时间（小时）
3
2.5
2
1.5
1
学生人数（名）
2
7
8
2
1
参考答案：
1．A
【分析】根据相反数的定义和性质，逐一判断，即可．
【详解】∵只有符合不同的两个数叫做相反数
∴+2，−1不是相反数
∴①错误；
∵−1的相反数是1，
∴②一个数的相反数一定是负数，错误；
∵互为相反数的两个数，相加等于0，
∴③两个相反数的和等于0，正确；
∵0的相反数是0，
∴④错误；
∴正确的只有③．
故选：A．
【点睛】本题考查相反数的知识，解题的关键是掌握相反数的定义和性质．
2．A
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|<10，n为整数．
【详解】解：3600万=36000000=3.6×107．
故选：A．
【点睛】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原来的数，变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数，确定a与n的值是解题的关键．
3．D
【分析】根据合并同类项，系数相加字母和字母的指数不变；幂的乘方，底数不变指数相乘；单项式与单项式的乘法法则，对各选项计算后利用排除法求解．
【详解】解：A、3x2+5x2＝8x2，故A选项错误；
B、2x3⋅3x3=6x6，故B选项错误；
C、x6+x3，不是同类项，不能合并，故C选项不正确；
D、x42=x8，故D选项正确．
故选：D．
【点睛】本题考查合并同类项，幂的乘方，单项式与单项式的乘法法则，属于基础题目，解题的关键在于熟练掌握相关运算法则．
4．B
【分析】根据平均数、众数、中位数的定义以及方差公式解答即可．
【详解】解：A、平均数2×3+7×2.5+8×2+2×1.5+1×120=2.175，所以此选项不正确；
B、随机调查了20名学生然后从小到大排列，中位数为第10个和第11个学生的阅读小时数的平均数；又第10个和第11个学生的阅读小时数都是2，故中位数是2，所以此选项正确
C、由统计表得：众数为2所以此选项不正确；
D、S2=120×2(3−2.175)2+7(2.5−2.175)2+8(2−2.175)2+2(1.5−2.175)2+(1−2.175)2=4.637520=0.231875,所以此选项不正确；
故答案为B．
【点睛】本题考查了众数、中位数、平均数和方差的计算，掌握相关定义和运算公式是解答本题的关键．
5．A
【分析】先有正视图可以判断出左边为2层，知道几何体的形状，然后从左视图判断出左边为两层.
【详解】由正视图可以看出左边有2层右边一层，并且正视图为长方形，故排除B、D两项，然后从左视图可以看出左边为2层，所以排除C项，故选A.
【点睛】本题考查由三视图确定几何体，学生们细致观察即可.
6．C
【分析】33.17亿=3317000000，用科学记数法表示成a×10n的形式，其中a=3.317，n=9，代入可得结果．
【详解】解：3317000000的绝对值大于10表示成a×10n的形式
∵a=3.317，n=10−1=9
∴33.17亿表示成3.317×109
故选C．
【点睛】本题考查了科学记数法．解题的关键在于确定a、n的值．
7．C
【分析】由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似．
【详解】解：A．华为公司要检测一款新手机的待机时长，适合采用抽样调查方式，故本选项不符合题意；
B．市图书馆了解全市学生寒假期间最喜爱的图书种类，适合采用抽样调查方式，故本选项不符合题意；
C．新生入学，班主任李老师了解班内每位学生家庭情况，适合采用全面调查方式，故本选项符合题意；
D．调查全市人民对政府服务的满意程度，适合采用抽样调查方式，故本选项不符合题意；
故选C．
【点睛】本题主要考查了普查与抽样调查，解题的关键在于能够熟练掌握二者的定义.
8．B
【分析】根据已知条件和三角形三边关系可知，等腰三角形的腰长不可能为2cm，只能为5cm，然后即可求得三角形的周长．
【详解】当腰长为2cm时，由于2+2<5，所以此时三角形不存在；
当腰长为5cm时，5+5>2，所以此三角形满足题意，此时三角形的周长为：5+5+2=12cm．
故答案为B．
【点睛】本题考查了等腰三角形的概念，注意三角形两边之和大于第三边是解题的关键．
9．D
【分析】根据工作总量等于工作效率乘以工作时间，设这批零件一共有x个，则每小时做10个就可以超额完成3个，工作总量为：x+3，工作时间为：x+310，再根据每小时做11个就可以提前1h完成，列出方程，即可．
【详解】设这批零件一共有x个，
∴x+310=x11+1，
∴x10+310=x11+1．
故选：D．
【点睛】本题考查一元一次方程的知识，解题的关键是掌握工作总量等于工作效率乘以工作时间，列出方程．
10．B
【分析】设C（0，n），过C作CD⊥AB于D，先求出A，B的坐标，分别为（4，0），（0，3），得到AB的长，再根据折叠的性质得到AC平分∠OAB，得到CD＝CO＝n，DA＝OA＝4，则DB＝5﹣4＝1，BC＝3﹣n，在Rt△BCD中，利用勾股定理得到n的方程，解方程求出n即可．
【详解】解：设C（0，n），过C作CD⊥AB于D，如图，
对于直线y＝﹣34x+3，
当x＝0，得y＝3；
当y＝0，x＝4，
∴A（4，0），B（0，3），即OA＝4，OB＝3，
∴AB＝5，
又∵坐标平面沿直线AC折叠，使点B刚好落在x轴上，
∴AC平分∠OAB，
∴CD＝CO＝n，则BC＝3﹣n，
∴DA＝OA＝4，
∴DB＝5﹣4＝1，
在Rt△BCD中，DC2+BD2＝BC2，
∴n2+12＝（3﹣n）2，解得n＝43，
∴点C的坐标为（0，43）．
故选：B．
【点睛】本题考查了求直线与坐标轴交点的坐标的方法：分别令x=0或y=0，求对应的y或x的值；也考查了折叠的性质和勾股定理．
11．−2x(x−y)2
【分析】根据提公因式法，完全平方公式，可得答案．
【详解】解：原式=−2xx2−2xy+y2=−2x(x−y)2，
故答案为：−2x(x−y)2．
【点睛】本题考查了因式分解，提公因式是解题关键，注意要把第一项的负号提取出来．
12．k＜98且k≠0
【分析】由一元二次方程kx2−3x+2=0有两个不相等的实数根，可得k≠0且Δ＞0，然后求它们的公共部分即可．
【详解】解：根据题意得，k≠0且Δ＞0，
即Δ=−32−4k×2=9−8k＞0，
∵原方程有两个不相等的实数根，
∴k＜98且k≠0．
故答案为：k＜98且k≠0．
【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式．当Δ>0，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0，方程有两个相等的实数根；当Δ<0，方程没有实数根．同时考查了一元一次不等式的解法．
13．13
【分析】根据题意先画出树状图，得出所有可能出现的结果数，两次取出小球上的数字相同有3种：（6，6）、（-2，-2）、（7，7），再根据概率公式即可得出答案．
【详解】解：根据题意画图如下：
∵共有9种情况，两次取出小球上的数字相同的有3种情况，
∴两次取出小球上的数字相同的概率为13 ，
故答案为13．
【点睛】此题可以采用列表法或者采用树状图法，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．树状图法适用于两步或两步以上完成的事件．解题时还要注意是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
14．6
【详解】∵Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=16cm，AD为BC边上的高，
∴AD=BD=CD=82cm．
又∵AP=2t，
∴S1=12AP⋅BD=12⋅2t⋅82=8t, PD=82−2t．
∵PE//BC，
∴△APE∽△ADC．
∴PEDC=APAD，即PE82=2t82．
∴PE=2t
∴PE=AP=2t．
∴S2=PD⋅PE=(82−2t)⋅2t=16t−2t2．
∵S1=2S2，
∴8t=2(16t−2t2)，
解得：t=6或t=0（舍去）．
故答案为：6
15．59、49、13
【分析】连接BD、ED、BF，根据正方形的性质，平行四边形的判定，得四边形BFDE是平行四边形，根据正方形对称的性质，得点O是PQ的中点，则点E、F、P、Q组成的四边形为矩形，分类讨论矩形的形状，根据相似三角形的判定和性质，求出边长，再根据矩形的面积公式，即可求出以点E、F、P、Q为顶点的四边形面积．
【详解】如图所示，连接BD、ED、BF，
∵ABCD是正方形，
∴AB=CD，AB∥CD，
又∵AE=CF，
∴BE=DF，
∴四边形BFDE是平行四边形，
∴点O为线段EF、BD的中点，
∴点O为正方形ABCD的中心，
∵PQ过点O且与正方形ABCD的一组对边分别相交，
∴点O是PQ的中点，
又∵EF=PQ，
∴点P、Q为以点O为圆心，EF为直径的圆与正方形ABCD的交点，
∴EO=FO=PO=QO，
∴点E、F、P、Q组成的四边形为矩形，
①如图1所示，当PQ与AD、BC相交时，
∵四边形ABCD是正方形、四边形EQFP是矩形，
∴△APE∼△BEQ∼△DFP∼△CQF，
∵AB=BC=1，AE=CF=13AB，
∴AE=CF=13，
∴EB=23，
设BQ=a，则CQ=1−a，
∴a13=231−a，
解得：a1=13，a2=23；
当BQ=13时，EQ=EP=PF=QF=53，四边形EPFQ是正方形，
∴SEPFQ=EQ2=59；
当BQ=23时，EP=QF=23，PF=EQ=223，
∴矩形的面积为：S=PF•PE=49；
②如图2所示，当PQ与AB、CD相交时，
∴EQ=PF，EP=QF，
∵AE=FC=13AB，
∴EQ=13，
∴矩形的面积为：S=EQ×PE=13；
故答案为：59、49、13．
【点睛】本题考查平行四边形，矩形，正方形和相似三角形的知识，解题的关键是掌握正方形的判定和性质，矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质．
16．4
【分析】原式利用二次根式性质，负整数指数幂法则，以及特殊角的三角函数值计算即可求出值．
【详解】原式=33+4−6×32
=33+4−33
=4．
【点睛】本题考查了二次根式性质，负整数指数幂法则，以及特殊角的三角函数值，掌握运算法则是解题关键．
17．x+1,3
【分析】先算括号里，再算括号外，然后把x的值代入化简后的式子进行计算即可解答．
【详解】1+1x−1÷xx2−1
=x−1+1x−1⋅(x+1)(x−1)x
=xx−1⋅(x+1)(x−1)x
=x+1,
∵2+x>2x−1，
∴x<3，
∴此不等式的非负整数解有0，1，2，
当x=0，1时，分式无意义，
∴当x=2时，原式=2+1=3．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握因式分解是解题的关键．
18．（1）100，10；（2）15，（3）
【分析】（1）用到丙地的车票数除以它所占的百分比即可得到总票数，然后用总票数分别减去去其它地方的车票数即可得到去丁地的车票数；
（2）利用概率公式计算；
（3）利用概率公式分别计算出小王得到车票的概率和小李得到车票的概率，然后比较他们概率的大小即可判断这个规则对双方是否公平．
【详解】解：（1）30÷30%＝100，
所以总票数为 100张，
去丁地的车票张数为100－20－30－40＝10（张）；
故答案为100，10；
（2）小胡抽到去甲地的车票的概率＝20100＝15；
（3）这个规则对双方不公平．
掷一枚质地均匀的正方体骰子，其上的数字是3的倍数的结果数为2，所以小王得到车票的概率＝26＝13，
所以小李得到车票的概率＝1－13＝23，
而13＜23，
所以个规则对小李更有利．
【点睛】本题考查了游戏的公平性：判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平．也考查了统计图和概率公式．
19．(1)75°
(2)①当旋转时间为3或21秒时，PC∥DB成立；②旋转的时间是25秒
【分析】（1）根据平角即可得到结论；
（2）①如图1，根据平行线的性质得到∠CPN=∠DBP=90°，求得∠APN=30°，于是得到结论；如图2，根据平行线的性质得到∠CPB=∠DBP=90°，根据三角形的内角和得到∠CPA=60°，求得∠APM=30°，于是得到结论；②设旋转的时间为t秒，由题知，∠APN=3t°，∠BPM=2t°，根据周角得到∠CPD=360°−∠BPD−∠BPN−∠APN−∠APC=360°−45°−180°−2t°−3t°−60°=75°−t°，列方程即可得到结论．
【详解】（1）∵∠BPD=∠D=45°，∠APC=60°，
∴∠DPC=180°−45°−60°=75°，
故答案为：75°；
（2）①如图1，此时，BD∥PC成立，
∵PC∥BD，∠DBP=90°，
∴∠CPN=∠DBP=90°，
∵∠C=30°，
∴∠CPA=60°，
∴∠APN=30°，
∵转速为10°/秒，
∴旋转时间为3秒；
如图2，PC∥BD，
∵PC∥BD，∠PBD=90°，
∴∠CPB=∠DBP=90°，
∵∠C=30°，
∴∠CPA=60°，
∴∠APM=30°，
∵三角板PAC绕点P逆时针旋转D的角度为180°+30°=210°，
∵转速为10°/秒，
∴旋转时间为21秒，
综上所述，当旋转时间为3或21秒时，PC∥DB成立；
②设旋转的时间为t秒，由题知，∠APN=3t°，∠BPM=2t°，
∴∠BPN=180°−∠BPM=180°−2t°，
∴∠CPD=360°−∠BPD−∠BPN−∠APN−∠APC=360°−45°−180°−2t°−3t°−60°=75°−t°，
当∠CPD=∠BPM，即2t°=75°−t°，
解得：t=25，
∴当∠CPD=∠BPM，旋转的时间是25秒．
【点睛】本题考查了旋转的性质，平行线的性质，三角形的内角和，识别图形是解题的关键．
20．(1)8个成人，4个学生
(2)方案见解析，638元
【分析】（1）先设出两个未知数，再依据题意列出二元一次方程组，解出方程组即可；
（2）因为学生票最便宜，团体票次之，成人票最贵，所以应尽可能不买成人票，尽量多买学生票．先凑够16人买团体票，再让剩余学生买学生票是费用最省．
【详解】（1）解：设他们一共去了x个成人，y个学生．
由题意得：x+y=1255x+552y=550，
解得：x=8y=4，
答：他们一共去了8个成人，4个学生．
（2）∵学生票最便宜，团体票次之，成人票最贵
∴应尽可能不买成人票，尽量多买学生票
∴当七（2）班4名同学和他们的12名家长，一起购买团体票，剩余4名同学买学生票时最省钱．此时，购票费用为:
55×16×0.6+552×4=638元
【点睛】本题考查了二元一次方程组的实际应用和购票方案的选择，细心审题，列出方程组和找出最省钱方案是解题关键．
21．(1)详见解析
(2)①4；②4
【分析】（1）过点O作OA⊥PM，垂足为A，连接OB，根据切线的性质可得出OB是⊙O的半径且OB⊥PN，由PF平分∠MPN利用角平分线的性质可得出OA=OB，进而可证出PM也是⊙O的切线．
（2）①由PM、PN都是⊙O的切线可得出PA=PB，利用等腰三角形的三线合一可得出OP⊥AB、AD=BD，由三角形中位线的性质可得出OD=3，设⊙O的半径为r，则FD=r+3，AD=12r+3，在Rt△AOD中，利用勾股定理可求出r的值，将其代入AD=12r+3中即可求出AD的长度；②利用相似三角形的性质可得出OA2=OD·OP，结合EF=2OA可证出EF2=4OD·OP，即m=4．
【详解】（1）证明：在图1中，过点O作OA⊥PM，垂足为A，连接OB．
∵PN是⊙O的切线，B为切点，
∴OB是⊙O的半径，且OB⊥PN，
∵PF平分∠MPN
∴OA=OB
∴PM也是⊙O的切线；
（2）①∵PM、PN都是⊙O的切线
∴PA=PB
∵∠APD=∠BPD
∴OP⊥AB、AD=BD，
∵OD为△ABC的中位线，
∴OD=12BC=3
设⊙O的半径为r，则FD=r+3
∵tan∠α=12
∴AD=12r+3
在Rt△AOD中，OA2=AD2+OD2,即r2=12r+32+32
解得：r=5（负根舍去）
∴AD=12r+3=4
②猜想m=4．
证明：∵∠OAP=∠ODA=90°、∠AOP=∠DOA
∴△OAP∼△ODA，
∴OAOP=ODOA，即OA2=OD·OP
又∵EF=2OA
∴EF2=4OD·OP
∴m=4
【点睛】本题考查了切线的判定与性质、等腰三角形的性质、角平分线的性质、勾股定理、三角形的中位线以及相似三角形的判定与性质，解题的关键是：（1）利用等腰三角形的三线合一找出OA=OB；（2）①在Rt△AOD中，利用勾股定理求出圆的半径；②利用相似三角形的性质证出OA2=OD·OP．
22．(1)①y=−12x2+32x +2
②3,2，(52,218)
(2)y=12x2+2
【分析】（1）①将A点坐标代入即可求解；②设PH交AB于点M，坐标原点为O，AP交y轴于点N，先求得A(-1,0)、B(4,0)、C(0,2)，设点P的坐标为(a,−12a2+32a+2)，且0＜a＜4，即可表示出OM、PM、BM、AM，采用待定系数法求出直线BC、AP的解析式，即可求出N点、F点、H点坐标，则可求出ON、HM、CN，接下来分情况讨论：第一种情况：PF=HF时，证明△PMA∽△HMB，即有PMHM=MAMB，即可求得a值，此时P点坐标可求；第二种情况：PF=PH时，先证明CN=NF，根据N点、F点坐标，利用勾股定理求出NF，再根据CN=NF列关于a的方程，解方程即可求出a，此时P点坐标可求；
（2）将将y=x2+bx+2配成顶点式为：y=−12(x−b)2+12b2+2，则抛物线的顶点坐标为：(b,12b2+2)，即有x=by=12b2+2，消去b，即可求解问题．
【详解】（1）①∵抛物线y=−12x2+bx+2过A(-1,0)点，
∴−12(−1)2−b+2=0，解得b=32，
∴抛物线解析式为：y=−12x2+32x+2，
②设PH交AB于点M，坐标原点为O，AP交y轴于点N，如图，
令y=0,即有y=−12x2+32x+2=0，
解得x1=−1，x2=4，
∴B点坐标为(4,0)，
令x=0，得y=2，
∴C点坐标为(0,2)，
∵A(-1,0)、B(4,0)、C(0,2)，
∴AO=1，OB=4，OC=2，
∵P点为在第一象限的抛物线上的点，
∴设点P的坐标为(a,−12a2+32a+2)，且0＜a＜4，
∴OM=a，PM=−12a2+32a+2=−12(a+1)(a−4)，
∴BM=OB-OM=4-a，AM=AO+OM=1+a，
∵B(4,0)、C(0,2)，
∴设直线BC的解析式为y=kx+b，
∴有b=24k+b=0，解得：b=2k=−12，
直线BC的解析式为y=−12x+2，
同理求得直线AP的解析式为：y=(−12a+2)x−12a+2，
∴直线AP与y轴的交点N的坐标为(0,−12a+2)，
∴ON=−12a+2，即CN=OC−ON=2−(−12a+2)=12a，
∵PH⊥x轴，
∴H点横坐标与P点横坐标相等均为a，且∠HMB=90°=∠PMA，
∴当x=a时，y=−12a+2，
∴H点坐标为(a,−12a+2)，
∴H点坐标为HM=−12a+2，
∵AP与BC交于点F，
∴联立y=(−12a+2)x−12a+2y=−12x+2，解得：x=a5−ay=20−5a10−2a，
∴F点坐标为(a5−a,20−5a10−2a)，
分情况讨论：
第一种情况：PF=HF时，
∵PF=HF，
∴∠FPH=∠FHP，
∵∠MHB=∠PHF，
∴∠FPH=∠MHB，
∵∠HMB=90°=∠PMA，
∴△PMA∽△HMB，
∴PMHM=MAMB，
即有：−12(a+1)(a−4)−12a+2=1+a4−a，
解得：a=3，
则−12(a+1)(a−4)=−12(3+1)(3−4)=2，
此时P点坐标为(3,2)；
第二种情况：PF=PH时，
∵PF=PH，
∴∠PFH=∠PHF，
∵∠PFH=∠CFN，∠BHM=∠PHF，
∴∠CFN=∠BHM，
∵PM⊥AB，
∴OC∥PM，
∴∠BHM=∠NCF，
∴∠CFN=∠NCF，
∴NF=CN，
∵F点坐标为(a5−a,20−5a10−2a)，N的坐标为(0,−12a+2)，
∴NF2=(a5−a)2+[20−5a10−2a−(−12a+2)]2，
∵NF=CN=12a，
∴(a5−a)2+[20−5a10−2a−(−12a+2)]2=(12a)2，
解得：a=52，
则−12(a+1)(a−4)=−12×(52+1)×(52−4)=218，
此时P点坐标为(52,218)；
综上：P点坐标为(3,2)、(52,218)；
（2）将y=x2+bx+2配成顶点式为：y=−12(x−b)2+12b2+2，
则抛物线的顶点坐标为：(b,12b2+2)，
∴有x=by=12b2+2，
∴消去b，得y=12x2+2，
∴顶点在二次函数y=12x2+2的图像上运动，
∴该函数的解析式为：y=12x2+2．
【点睛】本题考查了用待定系数法求解一次函数、二次函数解析式、勾股定理、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、将抛物线解析式配成顶点式等知识．解答本题需要注意分类讨论的思想．
一、单选题
1．下列说法中正确的个数为（ ）
①符号不相同的两个数互为相反数；
②一个数的相反数一定是负数；
③两个相反数的和等于0；
④若两个数互为相反数，则这两个数一定一正一负．
A．1个B．2个C．3个D．4个
2．2022年3月23日，备受瞩目的中国空间站“天宫课堂”第二课，通过架设在太空约3600万米的中继卫星与地面之间顺利开讲．其中3600万用科学记数法可表示为（ ）
A．3.6×107B．3.6×106C．3.6×105D．3.6×100
3．下列运算正确的是（ ）
A．3x2+5x2=8x4B．2x3⋅3x3=6x3
C．x6+x3=x9D．x42=x8
4．班主任随机调查了20名学生某天的阅读时间，下列说法正确的是：（ ）
A．方差是3.6B．中位数是2C．众数是8D．平均数是2
5．由5个完全相同的小长方体搭成的几何体从正面看到的形状图和从左面看到的形状图如图所示，则这个几何体从上面看到的形状图是（ ）
A．B．C．D．
6．截止2022年4月18日全国各地累计报告接种新冠病毒疫苗约33.17亿剂次，其中数据33.17亿用科学记数法表示为（ ）
A．33.17×108B．0.3317×1010C．3.317×109D．3.317×108
7．下列调查最适合于普查的是（ ）
A．华为公司要检测一款新手机的待机时长
B．市图书馆了解全市学生寒假期间最喜爱的图书种类
C．新生入学，班主任李老师了解班内每位学生家庭情况
D．调查全市人民对政府服务的满意程度
8．一个等腰三角形的两边长分别是2cm和5cm，则它的周长为（ ）
A．9cmB．12cmC．9cm或12cmD．无法判断
9．某工人在规定的时间内做完一批零件，若每小时做10个就可以超额完成3个，若每小时做11个就可以提前1h完成，则这批零件一共有多少个？设这批零件一共有x个，则根据题意得到的正确方程是（ ）
A．x10−3=x11+1B．x10−103=x11−1
C．x10+310=x11−1D．x10+310=x11+1
10．在平面直角坐标系中，已知直线y＝﹣34x+3与x轴、y轴分别交于A、B两点，点C在线段OB上，把△ABC沿直线AC折叠，使点B刚好落在x轴上，则点C的坐标是（ ）
A．（0，﹣34）B．（0，43）C．（0，3）D．（0，4）
二、填空题
11．分解因式：−2x3+4x2y−2xy2=______．
12．关于x的一元二次方程kx2−3x+2=0有两个不相等的实数根，k的取值范围是______．
13．在一个不透明的盒子中，装有3个分别写有数字6，﹣2，7的小球，他们的形状、大小、质地完全相同，搅拌均匀后，先从盒子里随机抽取1个小球，记下小球上的数字后放回盒子，搅拌均匀后再随机取出1个小球，再记下小球上的数字．则两次取出的小球上的数字相同的概率是_____．
14．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=16cm，AD为BC边上的高．动点P从点A出发，沿A→D方向以2cm/s的速度向点D运动．设△ABP的面积为S1，矩形PDFE的面积为S2，运动时间为t秒（0＜t＜8），则t=_______秒时，S1=2S2．
15．在边长为1的正方形ABCD中，点E、点F分别为边AB，CD上的点，且AE=CF=13AB，点O为线段EF的中点，过点O作直线与正方形的一组对边分别交于P、Q两点，且满足PQ=EF，求以点E、F、P、Q为顶点的四边形面积为______．
三、解答题
16．计算：27+(−12)−2−6cs30°
17．先化简，再求值：1+1x−1÷xx2−1，其中x是不等式2+x>2x−1的非负的整数解．
18．“五一”假期，成都某公司组织部分员工分别到甲、乙、丙、丁四地考察，公司按定额购买了前往各地的车票，如图是用来制作完整的车票种类和相应数量的条形统计图，根据统计图回答下列问题：
1若去丙地的车票占全部车票的30%，则总票数为______ 张，去丁地的车票有______ 张.
2若公司采用随机抽取的方式发车票，小胡先从所有的车票中随机抽取一张(所有车票的形状、大小、质地完全相同、均匀)，那么员工小胡抽到去甲地的车票的概率是多少？
3若有一张车票，小王和小李都想要，他们决定采取掷一枚质地均匀的正方体骰子的方式来确定给谁，其上的数字是3的倍数，则给小王，否则给小李.请问这个规则对双方是否公平？若公平请说明理由；若不公平，请通过计算说明对谁更有利．
19．如图，有一副直角三角板如图1放置（其中∠D=45°，∠C=30°），PA，PB与直线MN重合，且三角板PAC，三角板PBD均可以绕点P逆时针旋转．
(1)在图1中，∠DPC= ；
(2)①如图2，若三角板PBD保持不动，三角板PAC绕点P逆时针旋转，转速为10°/秒，转动一周三角板PAC就停止转动，在旋转的过程中，当旋转时间为多少时，有PC∥DB成立；
②如图3，在图1基础上，若三角板PAC的边PA从PN处开始绕点P逆时针旋转，转速为3°/秒，同时三角板PBD的边PB从PM处开始绕点P逆时针旋转，转速为2°/秒，当PC转到与PA重合时，两三角板都停止转动，在旋转过程中，当∠CPD=∠BPM时，求旋转的时间是多少？
20．元旦期间，七（1）班明明等同学随家长一同到某景区游玩，该景区门票价格规定如图：
(1)明明他们一共12人，分别按成人和学生购票，共需550元，求他们一共去了几个成人，几个学生？
(2)购完票后，明明发现，如果购团体票更省钱，正在此时，七（2）班涛涛等8名同学和他们的12名家长共20人也来购票，请你为七（2）班设计出最省钱的购票方案，并求出此时的购票费用．
21．如图1，已知∠MPN的角平分线PF经过圆心O交⊙O于点E、F，PN是⊙O的切线， B为切点．
(1)求证：PM也是⊙O的切线；
(2)如图2，在（1）的前提下，设切线PM与⊙O的切点为A，连接AB交PF于点D；连接AO交⊙O于点C，连接BC，AF；记∠PFA为∠α．
①若BC=6，tan∠α=12，求线段AD的长；
②小华探究图2之后发现：EF2=m⋅OD⋅OP（m为正整数），请你猜想m的数值？并证明你的结论．
22．如图，抛物线y=﹣12x2+bx +2与x轴交于点A、B，与y轴交于点C．连接AC，BC．
(1)若点A的坐标为（﹣1，0）．
①求抛物线的表达式；
②点P在第一象限的抛物线上运动，直线AP交BC于点F，过点P作x轴的垂线交BC于点H，当△PFH为以PF为腰的等腰三角形时，求点P的坐标．
(2)抛物线y=﹣12x2+bx +2的顶点在某个y关于x的函数图像上运动，请直接写出该函数的解析式．
阅读时间（小时）
3
2.5
2
1.5
1
学生人数（名）
2
7
8
2
1
参考答案：
1．A
【分析】根据相反数的定义和性质，逐一判断，即可．
【详解】∵只有符合不同的两个数叫做相反数
∴+2，−1不是相反数
∴①错误；
∵−1的相反数是1，
∴②一个数的相反数一定是负数，错误；
∵互为相反数的两个数，相加等于0，
∴③两个相反数的和等于0，正确；
∵0的相反数是0，
∴④错误；
∴正确的只有③．
故选：A．
【点睛】本题考查相反数的知识，解题的关键是掌握相反数的定义和性质．
2．A
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|<10，n为整数．
【详解】解：3600万=36000000=3.6×107．
故选：A．
【点睛】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原来的数，变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数，确定a与n的值是解题的关键．
3．D
【分析】根据合并同类项，系数相加字母和字母的指数不变；幂的乘方，底数不变指数相乘；单项式与单项式的乘法法则，对各选项计算后利用排除法求解．
【详解】解：A、3x2+5x2＝8x2，故A选项错误；
B、2x3⋅3x3=6x6，故B选项错误；
C、x6+x3，不是同类项，不能合并，故C选项不正确；
D、x42=x8，故D选项正确．
故选：D．
【点睛】本题考查合并同类项，幂的乘方，单项式与单项式的乘法法则，属于基础题目，解题的关键在于熟练掌握相关运算法则．
4．B
【分析】根据平均数、众数、中位数的定义以及方差公式解答即可．
【详解】解：A、平均数2×3+7×2.5+8×2+2×1.5+1×120=2.175，所以此选项不正确；
B、随机调查了20名学生然后从小到大排列，中位数为第10个和第11个学生的阅读小时数的平均数；又第10个和第11个学生的阅读小时数都是2，故中位数是2，所以此选项正确
C、由统计表得：众数为2所以此选项不正确；
D、S2=120×2(3−2.175)2+7(2.5−2.175)2+8(2−2.175)2+2(1.5−2.175)2+(1−2.175)2=4.637520=0.231875,所以此选项不正确；
故答案为B．
【点睛】本题考查了众数、中位数、平均数和方差的计算，掌握相关定义和运算公式是解答本题的关键．
5．A
【分析】先有正视图可以判断出左边为2层，知道几何体的形状，然后从左视图判断出左边为两层.
【详解】由正视图可以看出左边有2层右边一层，并且正视图为长方形，故排除B、D两项，然后从左视图可以看出左边为2层，所以排除C项，故选A.
【点睛】本题考查由三视图确定几何体，学生们细致观察即可.
6．C
【分析】33.17亿=3317000000，用科学记数法表示成a×10n的形式，其中a=3.317，n=9，代入可得结果．
【详解】解：3317000000的绝对值大于10表示成a×10n的形式
∵a=3.317，n=10−1=9
∴33.17亿表示成3.317×109
故选C．
【点睛】本题考查了科学记数法．解题的关键在于确定a、n的值．
7．C
【分析】由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似．
【详解】解：A．华为公司要检测一款新手机的待机时长，适合采用抽样调查方式，故本选项不符合题意；
B．市图书馆了解全市学生寒假期间最喜爱的图书种类，适合采用抽样调查方式，故本选项不符合题意；
C．新生入学，班主任李老师了解班内每位学生家庭情况，适合采用全面调查方式，故本选项符合题意；
D．调查全市人民对政府服务的满意程度，适合采用抽样调查方式，故本选项不符合题意；
故选C．
【点睛】本题主要考查了普查与抽样调查，解题的关键在于能够熟练掌握二者的定义.
8．B
【分析】根据已知条件和三角形三边关系可知，等腰三角形的腰长不可能为2cm，只能为5cm，然后即可求得三角形的周长．
【详解】当腰长为2cm时，由于2+2<5，所以此时三角形不存在；
当腰长为5cm时，5+5>2，所以此三角形满足题意，此时三角形的周长为：5+5+2=12cm．
故答案为B．
【点睛】本题考查了等腰三角形的概念，注意三角形两边之和大于第三边是解题的关键．
9．D
【分析】根据工作总量等于工作效率乘以工作时间，设这批零件一共有x个，则每小时做10个就可以超额完成3个，工作总量为：x+3，工作时间为：x+310，再根据每小时做11个就可以提前1h完成，列出方程，即可．
【详解】设这批零件一共有x个，
∴x+310=x11+1，
∴x10+310=x11+1．
故选：D．
【点睛】本题考查一元一次方程的知识，解题的关键是掌握工作总量等于工作效率乘以工作时间，列出方程．
10．B
【分析】设C（0，n），过C作CD⊥AB于D，先求出A，B的坐标，分别为（4，0），（0，3），得到AB的长，再根据折叠的性质得到AC平分∠OAB，得到CD＝CO＝n，DA＝OA＝4，则DB＝5﹣4＝1，BC＝3﹣n，在Rt△BCD中，利用勾股定理得到n的方程，解方程求出n即可．
【详解】解：设C（0，n），过C作CD⊥AB于D，如图，
对于直线y＝﹣34x+3，
当x＝0，得y＝3；
当y＝0，x＝4，
∴A（4，0），B（0，3），即OA＝4，OB＝3，
∴AB＝5，
又∵坐标平面沿直线AC折叠，使点B刚好落在x轴上，
∴AC平分∠OAB，
∴CD＝CO＝n，则BC＝3﹣n，
∴DA＝OA＝4，
∴DB＝5﹣4＝1，
在Rt△BCD中，DC2+BD2＝BC2，
∴n2+12＝（3﹣n）2，解得n＝43，
∴点C的坐标为（0，43）．
故选：B．
【点睛】本题考查了求直线与坐标轴交点的坐标的方法：分别令x=0或y=0，求对应的y或x的值；也考查了折叠的性质和勾股定理．
11．−2x(x−y)2
【分析】根据提公因式法，完全平方公式，可得答案．
【详解】解：原式=−2xx2−2xy+y2=−2x(x−y)2，
故答案为：−2x(x−y)2．
【点睛】本题考查了因式分解，提公因式是解题关键，注意要把第一项的负号提取出来．
12．k＜98且k≠0
【分析】由一元二次方程kx2−3x+2=0有两个不相等的实数根，可得k≠0且Δ＞0，然后求它们的公共部分即可．
【详解】解：根据题意得，k≠0且Δ＞0，
即Δ=−32−4k×2=9−8k＞0，
∵原方程有两个不相等的实数根，
∴k＜98且k≠0．
故答案为：k＜98且k≠0．
【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式．当Δ>0，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0，方程有两个相等的实数根；当Δ<0，方程没有实数根．同时考查了一元一次不等式的解法．
13．13
【分析】根据题意先画出树状图，得出所有可能出现的结果数，两次取出小球上的数字相同有3种：（6，6）、（-2，-2）、（7，7），再根据概率公式即可得出答案．
【详解】解：根据题意画图如下：
∵共有9种情况，两次取出小球上的数字相同的有3种情况，
∴两次取出小球上的数字相同的概率为13 ，
故答案为13．
【点睛】此题可以采用列表法或者采用树状图法，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．树状图法适用于两步或两步以上完成的事件．解题时还要注意是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
14．6
【详解】∵Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=16cm，AD为BC边上的高，
∴AD=BD=CD=82cm．
又∵AP=2t，
∴S1=12AP⋅BD=12⋅2t⋅82=8t, PD=82−2t．
∵PE//BC，
∴△APE∽△ADC．
∴PEDC=APAD，即PE82=2t82．
∴PE=2t
∴PE=AP=2t．
∴S2=PD⋅PE=(82−2t)⋅2t=16t−2t2．
∵S1=2S2，
∴8t=2(16t−2t2)，
解得：t=6或t=0（舍去）．
故答案为：6
15．59、49、13
【分析】连接BD、ED、BF，根据正方形的性质，平行四边形的判定，得四边形BFDE是平行四边形，根据正方形对称的性质，得点O是PQ的中点，则点E、F、P、Q组成的四边形为矩形，分类讨论矩形的形状，根据相似三角形的判定和性质，求出边长，再根据矩形的面积公式，即可求出以点E、F、P、Q为顶点的四边形面积．
【详解】如图所示，连接BD、ED、BF，
∵ABCD是正方形，
∴AB=CD，AB∥CD，
又∵AE=CF，
∴BE=DF，
∴四边形BFDE是平行四边形，
∴点O为线段EF、BD的中点，
∴点O为正方形ABCD的中心，
∵PQ过点O且与正方形ABCD的一组对边分别相交，
∴点O是PQ的中点，
又∵EF=PQ，
∴点P、Q为以点O为圆心，EF为直径的圆与正方形ABCD的交点，
∴EO=FO=PO=QO，
∴点E、F、P、Q组成的四边形为矩形，
①如图1所示，当PQ与AD、BC相交时，
∵四边形ABCD是正方形、四边形EQFP是矩形，
∴△APE∼△BEQ∼△DFP∼△CQF，
∵AB=BC=1，AE=CF=13AB，
∴AE=CF=13，
∴EB=23，
设BQ=a，则CQ=1−a，
∴a13=231−a，
解得：a1=13，a2=23；
当BQ=13时，EQ=EP=PF=QF=53，四边形EPFQ是正方形，
∴SEPFQ=EQ2=59；
当BQ=23时，EP=QF=23，PF=EQ=223，
∴矩形的面积为：S=PF•PE=49；
②如图2所示，当PQ与AB、CD相交时，
∴EQ=PF，EP=QF，
∵AE=FC=13AB，
∴EQ=13，
∴矩形的面积为：S=EQ×PE=13；
故答案为：59、49、13．
【点睛】本题考查平行四边形，矩形，正方形和相似三角形的知识，解题的关键是掌握正方形的判定和性质，矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质．
16．4
【分析】原式利用二次根式性质，负整数指数幂法则，以及特殊角的三角函数值计算即可求出值．
【详解】原式=33+4−6×32
=33+4−33
=4．
【点睛】本题考查了二次根式性质，负整数指数幂法则，以及特殊角的三角函数值，掌握运算法则是解题关键．
17．x+1,3
【分析】先算括号里，再算括号外，然后把x的值代入化简后的式子进行计算即可解答．
【详解】1+1x−1÷xx2−1
=x−1+1x−1⋅(x+1)(x−1)x
=xx−1⋅(x+1)(x−1)x
=x+1,
∵2+x>2x−1，
∴x<3，
∴此不等式的非负整数解有0，1，2，
当x=0，1时，分式无意义，
∴当x=2时，原式=2+1=3．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握因式分解是解题的关键．
18．（1）100，10；（2）15，（3）
【分析】（1）用到丙地的车票数除以它所占的百分比即可得到总票数，然后用总票数分别减去去其它地方的车票数即可得到去丁地的车票数；
（2）利用概率公式计算；
（3）利用概率公式分别计算出小王得到车票的概率和小李得到车票的概率，然后比较他们概率的大小即可判断这个规则对双方是否公平．
【详解】解：（1）30÷30%＝100，
所以总票数为 100张，
去丁地的车票张数为100－20－30－40＝10（张）；
故答案为100，10；
（2）小胡抽到去甲地的车票的概率＝20100＝15；
（3）这个规则对双方不公平．
掷一枚质地均匀的正方体骰子，其上的数字是3的倍数的结果数为2，所以小王得到车票的概率＝26＝13，
所以小李得到车票的概率＝1－13＝23，
而13＜23，
所以个规则对小李更有利．
【点睛】本题考查了游戏的公平性：判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平．也考查了统计图和概率公式．
19．(1)75°
(2)①当旋转时间为3或21秒时，PC∥DB成立；②旋转的时间是25秒
【分析】（1）根据平角即可得到结论；
（2）①如图1，根据平行线的性质得到∠CPN=∠DBP=90°，求得∠APN=30°，于是得到结论；如图2，根据平行线的性质得到∠CPB=∠DBP=90°，根据三角形的内角和得到∠CPA=60°，求得∠APM=30°，于是得到结论；②设旋转的时间为t秒，由题知，∠APN=3t°，∠BPM=2t°，根据周角得到∠CPD=360°−∠BPD−∠BPN−∠APN−∠APC=360°−45°−180°−2t°−3t°−60°=75°−t°，列方程即可得到结论．
【详解】（1）∵∠BPD=∠D=45°，∠APC=60°，
∴∠DPC=180°−45°−60°=75°，
故答案为：75°；
（2）①如图1，此时，BD∥PC成立，
∵PC∥BD，∠DBP=90°，
∴∠CPN=∠DBP=90°，
∵∠C=30°，
∴∠CPA=60°，
∴∠APN=30°，
∵转速为10°/秒，
∴旋转时间为3秒；
如图2，PC∥BD，
∵PC∥BD，∠PBD=90°，
∴∠CPB=∠DBP=90°，
∵∠C=30°，
∴∠CPA=60°，
∴∠APM=30°，
∵三角板PAC绕点P逆时针旋转D的角度为180°+30°=210°，
∵转速为10°/秒，
∴旋转时间为21秒，
综上所述，当旋转时间为3或21秒时，PC∥DB成立；
②设旋转的时间为t秒，由题知，∠APN=3t°，∠BPM=2t°，
∴∠BPN=180°−∠BPM=180°−2t°，
∴∠CPD=360°−∠BPD−∠BPN−∠APN−∠APC=360°−45°−180°−2t°−3t°−60°=75°−t°，
当∠CPD=∠BPM，即2t°=75°−t°，
解得：t=25，
∴当∠CPD=∠BPM，旋转的时间是25秒．
【点睛】本题考查了旋转的性质，平行线的性质，三角形的内角和，识别图形是解题的关键．
20．(1)8个成人，4个学生
(2)方案见解析，638元
【分析】（1）先设出两个未知数，再依据题意列出二元一次方程组，解出方程组即可；
（2）因为学生票最便宜，团体票次之，成人票最贵，所以应尽可能不买成人票，尽量多买学生票．先凑够16人买团体票，再让剩余学生买学生票是费用最省．
【详解】（1）解：设他们一共去了x个成人，y个学生．
由题意得：x+y=1255x+552y=550，
解得：x=8y=4，
答：他们一共去了8个成人，4个学生．
（2）∵学生票最便宜，团体票次之，成人票最贵
∴应尽可能不买成人票，尽量多买学生票
∴当七（2）班4名同学和他们的12名家长，一起购买团体票，剩余4名同学买学生票时最省钱．此时，购票费用为:
55×16×0.6+552×4=638元
【点睛】本题考查了二元一次方程组的实际应用和购票方案的选择，细心审题，列出方程组和找出最省钱方案是解题关键．
21．(1)详见解析
(2)①4；②4
【分析】（1）过点O作OA⊥PM，垂足为A，连接OB，根据切线的性质可得出OB是⊙O的半径且OB⊥PN，由PF平分∠MPN利用角平分线的性质可得出OA=OB，进而可证出PM也是⊙O的切线．
（2）①由PM、PN都是⊙O的切线可得出PA=PB，利用等腰三角形的三线合一可得出OP⊥AB、AD=BD，由三角形中位线的性质可得出OD=3，设⊙O的半径为r，则FD=r+3，AD=12r+3，在Rt△AOD中，利用勾股定理可求出r的值，将其代入AD=12r+3中即可求出AD的长度；②利用相似三角形的性质可得出OA2=OD·OP，结合EF=2OA可证出EF2=4OD·OP，即m=4．
【详解】（1）证明：在图1中，过点O作OA⊥PM，垂足为A，连接OB．
∵PN是⊙O的切线，B为切点，
∴OB是⊙O的半径，且OB⊥PN，
∵PF平分∠MPN
∴OA=OB
∴PM也是⊙O的切线；
（2）①∵PM、PN都是⊙O的切线
∴PA=PB
∵∠APD=∠BPD
∴OP⊥AB、AD=BD，
∵OD为△ABC的中位线，
∴OD=12BC=3
设⊙O的半径为r，则FD=r+3
∵tan∠α=12
∴AD=12r+3
在Rt△AOD中，OA2=AD2+OD2,即r2=12r+32+32
解得：r=5（负根舍去）
∴AD=12r+3=4
②猜想m=4．
证明：∵∠OAP=∠ODA=90°、∠AOP=∠DOA
∴△OAP∼△ODA，
∴OAOP=ODOA，即OA2=OD·OP
又∵EF=2OA
∴EF2=4OD·OP
∴m=4
【点睛】本题考查了切线的判定与性质、等腰三角形的性质、角平分线的性质、勾股定理、三角形的中位线以及相似三角形的判定与性质，解题的关键是：（1）利用等腰三角形的三线合一找出OA=OB；（2）①在Rt△AOD中，利用勾股定理求出圆的半径；②利用相似三角形的性质证出OA2=OD·OP．
22．(1)①y=−12x2+32x +2
②3,2，(52,218)
(2)y=12x2+2
【分析】（1）①将A点坐标代入即可求解；②设PH交AB于点M，坐标原点为O，AP交y轴于点N，先求得A(-1,0)、B(4,0)、C(0,2)，设点P的坐标为(a,−12a2+32a+2)，且0＜a＜4，即可表示出OM、PM、BM、AM，采用待定系数法求出直线BC、AP的解析式，即可求出N点、F点、H点坐标，则可求出ON、HM、CN，接下来分情况讨论：第一种情况：PF=HF时，证明△PMA∽△HMB，即有PMHM=MAMB，即可求得a值，此时P点坐标可求；第二种情况：PF=PH时，先证明CN=NF，根据N点、F点坐标，利用勾股定理求出NF，再根据CN=NF列关于a的方程，解方程即可求出a，此时P点坐标可求；
（2）将将y=x2+bx+2配成顶点式为：y=−12(x−b)2+12b2+2，则抛物线的顶点坐标为：(b,12b2+2)，即有x=by=12b2+2，消去b，即可求解问题．
【详解】（1）①∵抛物线y=−12x2+bx+2过A(-1,0)点，
∴−12(−1)2−b+2=0，解得b=32，
∴抛物线解析式为：y=−12x2+32x+2，
②设PH交AB于点M，坐标原点为O，AP交y轴于点N，如图，
令y=0,即有y=−12x2+32x+2=0，
解得x1=−1，x2=4，
∴B点坐标为(4,0)，
令x=0，得y=2，
∴C点坐标为(0,2)，
∵A(-1,0)、B(4,0)、C(0,2)，
∴AO=1，OB=4，OC=2，
∵P点为在第一象限的抛物线上的点，
∴设点P的坐标为(a,−12a2+32a+2)，且0＜a＜4，
∴OM=a，PM=−12a2+32a+2=−12(a+1)(a−4)，
∴BM=OB-OM=4-a，AM=AO+OM=1+a，
∵B(4,0)、C(0,2)，
∴设直线BC的解析式为y=kx+b，
∴有b=24k+b=0，解得：b=2k=−12，
直线BC的解析式为y=−12x+2，
同理求得直线AP的解析式为：y=(−12a+2)x−12a+2，
∴直线AP与y轴的交点N的坐标为(0,−12a+2)，
∴ON=−12a+2，即CN=OC−ON=2−(−12a+2)=12a，
∵PH⊥x轴，
∴H点横坐标与P点横坐标相等均为a，且∠HMB=90°=∠PMA，
∴当x=a时，y=−12a+2，
∴H点坐标为(a,−12a+2)，
∴H点坐标为HM=−12a+2，
∵AP与BC交于点F，
∴联立y=(−12a+2)x−12a+2y=−12x+2，解得：x=a5−ay=20−5a10−2a，
∴F点坐标为(a5−a,20−5a10−2a)，
分情况讨论：
第一种情况：PF=HF时，
∵PF=HF，
∴∠FPH=∠FHP，
∵∠MHB=∠PHF，
∴∠FPH=∠MHB，
∵∠HMB=90°=∠PMA，
∴△PMA∽△HMB，
∴PMHM=MAMB，
即有：−12(a+1)(a−4)−12a+2=1+a4−a，
解得：a=3，
则−12(a+1)(a−4)=−12(3+1)(3−4)=2，
此时P点坐标为(3,2)；
第二种情况：PF=PH时，
∵PF=PH，
∴∠PFH=∠PHF，
∵∠PFH=∠CFN，∠BHM=∠PHF，
∴∠CFN=∠BHM，
∵PM⊥AB，
∴OC∥PM，
∴∠BHM=∠NCF，
∴∠CFN=∠NCF，
∴NF=CN，
∵F点坐标为(a5−a,20−5a10−2a)，N的坐标为(0,−12a+2)，
∴NF2=(a5−a)2+[20−5a10−2a−(−12a+2)]2，
∵NF=CN=12a，
∴(a5−a)2+[20−5a10−2a−(−12a+2)]2=(12a)2，
解得：a=52，
则−12(a+1)(a−4)=−12×(52+1)×(52−4)=218，
此时P点坐标为(52,218)；
综上：P点坐标为(3,2)、(52,218)；
（2）将y=x2+bx+2配成顶点式为：y=−12(x−b)2+12b2+2，
则抛物线的顶点坐标为：(b,12b2+2)，
∴有x=by=12b2+2，
∴消去b，得y=12x2+2，
∴顶点在二次函数y=12x2+2的图像上运动，
∴该函数的解析式为：y=12x2+2．
【点睛】本题考查了用待定系数法求解一次函数、二次函数解析式、勾股定理、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、将抛物线解析式配成顶点式等知识．解答本题需要注意分类讨论的思想．
相关试卷
2022年福建省泉州市永春县中考数学模拟试卷（教师版）： 这是一份2022年福建省泉州市永春县中考数学模拟试卷（教师版），共34页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年福建省泉州第一中学中考数学模拟试卷（含详细答案）： 这是一份2023年福建省泉州第一中学中考数学模拟试卷（含详细答案），共24页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
福建省泉州2022年中考数学模拟预测试卷含解析： 这是一份福建省泉州2022年中考数学模拟预测试卷含解析，共21页。试卷主要包含了考生要认真填写考场号和座位序号，下列事件中是必然事件的是等内容，欢迎下载使用。
