《空间向量基本定理》示范课教案【高中数学苏教版】

第六章 第六章 空间向量与立体几何

    6.2.1空间向量基本定理

1．了解空间向量基本定理及其推论；

2．理解空间向量的基底、基向量的概念．理解空间任一向量可用空间不共面的三个已知向量唯一线性表示；

3．通过演绎法，从平面向量基本定理引入，类比推导出空间向量基本定理的概念.

教学重点：向量的分解（空间向量基本定理及其推论）．

教学难点：作出适合的空间图形，利用空间基本定理进行分析.

一、新课导入

想一想：在平面中，我们如何用两个不共线的向量去表示某一个向量？

答案：回顾平面向量基本定理

如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使

a=λ1e1+λ2e2

（1）平面向量基本定理表明，平面内任一向量可以用该平面的两个不共线向量来线性表示，对于空间向量，有类似的结论吗？

如图，是否可以用平面内两个基底向量来表示？

二、新知探究

问题1：如图所示，空间内的向量如何表示？

追问1：构成平面内基底向量的基本要求？

答案：平面基底向量不共线．

追问2：猜一猜空间内向量表示需要几个基底向量？基底向量的基本要求是什么？如何来表示？

答案：3个，空间基底向量要求不共面，

解：证明：设 是三个不共面的向量，过空间一点O作 

             ===, =      

过点P做直线∥OC，交平面OAB于；在平面OAB内，过点做直线∥OB，∥OA，分别交直线OA，OB于.

    根据向量共线的条件，存在三个确定的实数x,y,z，使

=x = x

    =y = y

    =z = z

    所以，=++=x+y+z

从而，+y+z

唯一性证明：

    +y+z

    假设存在实数组，且，使

    ++，

    于是，+y+z++

    即，

    因为，

   所以

    从而 共面，这与已知 不共面矛盾.

    因此，有序实数组（x,y,z)是唯一的。

下定义：

空间向量基本定理：如果三个向量 不共面，那么对空间任一向量存在唯一的有序实数组（x,y,z)，使

x+y+z

即由 线性表示

下定义：

我们把{}称为空间的一组基底，叫作基向量.

如果空间一个基底的三个基向量两两互相垂直，那么这个基底叫做正交基底.

特别地，当一个正交基底的三个基向量都是单位向量时，称这个基底为单位正交基底，通常用{}表示.

【概念巩固】

练1：(多选)在正方体中,下列选项中可以作为空间一组基底的是(    )

A． B. C.   D.

追问1：组成空间基底向量的要求是什么？

答案：空间基底向量要求不共面．

所以，选ACD

练习2：已知{}是空间的一组基底向量，且 = == , 试判断{能否作为空间的一组基底向量？

追问1：如何确定向量不共面？

答案：假设共面，即存在实数x，y，使得成立。

∴   =x(-3 y(

∵   是空间的一组基底向量

∴   不共面

∴                    此方程无解

∴  不存在实数x，y，使得成立

∴  不共面，所以能作为空间的一组基底向量

推论：

设O,A,B,C是不共面的四点，则对空间任意一点P，都存在唯一的有序实数组（x,y,z），使得

设计意图：通过引入平面向量基本定理，类推到空间向量基本定理，并通过证明空间向量的表示方法，来引出空间向量基本定理的定义.再通过实例，来巩固空间向量基底的概念特征.

三、应用举例

例1 如图，在正方体OADB-CAˊDˊBˊ,点E是AB与OD的交点，M是ODˊ与CE的交点，试用向量， ， 表示向量和.

分析：如何组成的？

解： ∵ =

∴ = =+

由，可得

又=

则= =

∴ =+

变式一：在上图中，作出向量.

答案：如图所示，向量即为所求向量.

设计意图：通过例题与变式题，对空间向量基本定理的应用与空间作图进行练习，掌握空间向量的分解与合成.

方法总结：通过基底向量来一步步合成所求向量.

四、课堂练习

1．已知是空间的一组基底向量， ==

=，=，若=x，则x、y、z分别为（    ）？

2．如图所示，已知空间四边形OABC，点M、N分别是边OA、BC的中点，且=, =, =，用表示向量.

参考答案：

1．解： =x=x(y(z()

          =(x+y+z) +(x+y-z) +(x-y+z) ．∵ =

∴                      ∴

2． ==

       =

       =

       =

五、课堂小结

1.空间向量基本定理及推论：

  定理：如果三个向量 ，那么对空间任一向量存在唯一的有序实数组（x,y,z)，使

x+y+z

  推论：设O,A,B,C是不共面的四点，则对空间任意一点P，都存在唯一的有序实数组（x,y,z），使得

2.基向量、正交基底、单位正交基底的概念

基向量：

正交基底：空间内一个基底的三个基向量两两互相垂直

单位正交基底：一个正交基底的三个基向量都是单位向量

六、布置作业

教材第19页练习第1，2题．