苏教版 (2019)选择性必修第二册6.1空间向量及其运算教学设计

     第6章 空间向量与立体几何

6.1.2空间向量的数量积

1．运用类比方法，理解向量的数量积运算由平面向空间推广的过程；

2．掌握空间向量夹角的概念及空间向量的数量积的概念、性质和运算律，了解空间向量数量积的几何意义；

3．会用向量的方法解决简单的立体几何问题.

教学重点：空间向量的数量积运算及运算律、几何意义．

教学难点：应用空间向量的数量积运算解决简单的立体几何问题.

一、新课导入

想一想：平面向量夹角的概念是怎样的？

答案：如图，,是平面两个非零向量，在平面内任取一点O，作，则∠AOB叫做向量与的夹角，记作规定其范围是.

想一想：平面向量的数量积是什么？

答案：平面内两个非零向量的数量积记作

注意:

1.平面向量的数量积为数值;

2.当向量夹角为锐角时,数量积为正数;

3.向量夹角为钝角时,数量积为负数;

4.两向量垂直时,数量积为0.

二、新知探究

问题1：类比平面向量夹角的概念，是否能给出空间向量夹角的定义？

下定义：如图，,是空间两个非零向量，过空间任意一点O，作，则∠AOB 叫做向量与的夹角，记作.

根据两个向量夹角的定义，容易知道

问题2：向量空间两向量的夹角范围是什么？

追问1：平面两向量的夹角范围是什么？

答案：平面两夹角范围是[0,?]

同样,空间向量的夹角范围也是

注意：（1）如果，那么向量与同向；

      （2）反向；

      （3）互相垂直，并记作⊥.

问题3：类比平面向量数量积的概念，能否给出空间向量数量积的概念？

下定义：设是空间两个非零向量，我们把数量叫做向量的数量积，记作即

我们规定：零向量与任一向量的数量积为0.

问题4：想一想平面向量夹角公式，你能得出空间向量夹角公式吗？

答：空间两个非零向量的夹角可以由求得.

当时， ，由≠0，得到

即根据定义，可以得到⊥ (是两个非零向量）

同理，

问题5：空间向量的数量积满足哪些运算律？

追问：平面向量的数量积满足哪些运算律？

答案：交换律、数乘结合律、分配律．

同样，空间向量的数量积也满足以下运算律：

（1）交换律：

（2）数乘结合律：

（3）分配律：

根据数量积的定义，可以得到

（1）

（2）

问题6：如何证明空间向量的数量积满足分配律？

追问1：数量积公式中的形式还跟平面向量中的什么概念类似？

答案：投影向量.

下定义：对比平面向量中向量向向量投影的概念，我们可以得到空间向量投影向量的概念：

对于空间任意两个非零向量，设向量，（如图），过点A作AA1⊥OB，垂直为A1.上述由向量得到向量的变换称为向量向向量投影，向量称为向量在向量上的投影向量.

即，向量的数量积就是向量在向量上的投影向量与向量的数量积.

追问2：如何利用投影向量来证明空间向量的数量积满足分配律？

答案：如图，设向量，，，

∠AOC =，∠DAB =，∠BOC =?

∵

∴

【概念巩固】

练1：判断下列说法是否正确？

    （1）向量 夹角等于 的夹角.        

（2）若，则或 .  

（3）对于非零向量，由，可得.   

（4）若非零向量为共线且同向的向量，则.

答案：（1）向量 夹角和 的夹角互补.

      （2）当⊥时，也能得到 .

      （3）与的方向可能不一样.

（4）当非零向量共线且同向时， .

所以，（4）对，（1）（2）（3）错.

设计意图：通过对平面向量夹角的相关概念，类比出空间向量夹角的定义、空间向量数量积的定义，并通过空间向量数量积的公式来推导出空间向量的夹角公式.通过平面向量数量积适用的运算律，来类比出空间向量数量积的运算律，通过空间向量的数量积以及投影向量的相关概念来证明空间向量运算律的正确性.最后通过实例，来巩固空间向量的夹角及数量积的相关概念.

三、应用举例

例1 如图，A，B为平面α外两点，点A，B在平面α上的射影分别为，，为平面α内的向量.求证：.

分析：向量如何用空间内其他向量表示？

答案：

证明：由,且在α内可知 =0

同理   =0

因此,

                      0 0

故命题成立.

例2 如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M为棱CC1上任意一点.

(1)确定向量在平面ABC上的投影向量，并求 ；

    (2)确定向量在直线BC上的投影向量，并求 .

解：(1)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，CC1⊥平面ABC，因此即为在平面ABC上的投影向量.

又因为在平面ABC内，所以

    (2)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB⊥BC,CC1⊥BC，因此即为在直线BC上的投影向量.

从而

设计意图：通过例题练习，对空间向量的数量积及其运算律的相关概念和空间投影向量的相关概念进行巩固，并让学生学会应用空间向量的数量积及空间投影向量解决简单的立体几何问题.

方法总结：灵活应用空间向量数量积公式与夹角公式的转换，空间向量数量积与投影向量之间的联系，可以解决一些简单的立体几何问题. 向量的数量积结果均为一个数.

四、课堂练习

1．如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，求与夹角的大小.

2．如图，在平行六面体ABCD-ABCD中，AB=4, AD=3, AA=5,∠BAD=90,∠BAA=∠DAA=60.求AC的长.

参考答案：

1．  解： · ·

             ·

· ·

0 0 0 1

又因为

所以

即与夹角为

2．  解：

85

∴

五、课堂小结

1.空间向量夹角的定义：   

,是空间两个非零向量，过空间任意一点O，作，则∠AOB 叫做向量与的夹角，记作．

空间向量的夹角范围也是.

2.空间向量的数量积：

设是空间两个非零向量，我们把数量叫做向量的数量积，记作即. 

3.空间向量的夹角公式：

4.空间向量数量积的运算律：

（1）交换律：

（2）数乘结合律：

（3）分配律：

5.空间投影向量的定义

对于空间任意两个非零向量，设向量，（如图），过点A作AA1⊥OB，垂直为A1.上述由向量得到向量的变换称为向量向向量投影，向量称为向量在向量上的投影向量..

即，向量的数量积就是向量在向量上的投影向量与向量的数量积.

六、布置作业

教材第11页练习第1，2题．