2023回族自治区银川一中高二上学期期中考试数学含解析

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一、单选题:本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 下列描述不是解决问题的算法的是
A. 从中山到北京先坐汽车，再坐火车
B. 解一元一次方程的步骤是去分母、去括号、移项、合并同类项、化系数为1
C. 方程有两个不相等的实根
D. 求的值，先计算，再由，最终结果为15
【答案】C
【解析】
【分析】
根据算法的概念，可得结果.
【详解】算法是解决某个问题或某类型问题的方法和步骤
所以C不对，C没有说明有两个不相等的实根步骤
故选：C
【点睛】本题考查算法概念，属基础题.
2. 已知为虚数单位，复数的共轭复数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先将复数化简成的形式，再写出其共轭复数即可.
【详解】因为，共轭复数为.
故选：C.
3. 下面四个选项中，是随机现象的是（ ）
A. 守株待兔B. 水中捞月C. 流水不腐D. 户枢不蠹
【答案】A
【解析】
【分析】判断出四个现象是随机现象还是确定性现象，从而选出正确答案.
【详解】A为随机现象，B为不可能现象，CD为必然现象.
故选：A
4. 下列各式中，对任何实数都成立的一个式子是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用特值法进行排除，利用不等式的性质进行判断.
【详解】对于A，当时，不成立，故A错误；
对于B，当时，，故不成立，故B错误；
对于C，因为，所以，故C正确；
对于D，若，式子显然不成立，故D错误.
故选：C.
5. 从3男2女共5名医生中，抽取2名医生参加社区核酸检测工作，则至少有1名女医生参加的概率为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由条件列出样本空间，确定样本空间的基本事件数，再确定事件至少有1名女医生包含的基本事件数，利用古典概型概率公式求其概率.
【详解】解：将3名男性医生分别设为a，b，c，2名女性医生分别设为d，e，
这个实验的样本空间可记为，
共包含10个样本点，记事件A为至少有1名女医生参加，
则，
则A包含的样本点个数为7，∴，
故选：C．
6. 已知关于的不等式有解，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据绝对值不等关系求最值，将有解问题转化为最值问题即可求解.
【详解】由绝对值不等关系可得：，所以的最大值为1，不等式有解，则，故
故选：A
7. 执行如图所示的程序框图，若输入的k的值为8，则输出的n的值为（ ）
A. 7B. 6C. 5D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】按照程序框图的循环结构依次求解，直至满足条件，输出.
【详解】输入，，，；
，，；
，，；
，，；
，，；
，结束循环，输出.
故选：C
8. 利用简单随机抽样，从个个体中抽取一个容量为10的样本.若抽完第一个个体后，余下的每个个体被抽到的机会为，则在整个抽样过程中，每个个体被抽到的机会为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据等可能事件概率计算求得，即可求解.
【详解】由题意可得，故，所以每个个体被抽到的机会为，
故选：D.
9. 命题“，”，为假命题的一个充分不必要条件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据命题“，”为假命题，得到“，”为真命题，从而得到，再根据集合间的包含关系判断即可.
【详解】若命题“，”为假命题，则“，”为真命题，所以，，设集合，选项中a的范围构成集合，则，所以选D.
故选：D.
10. 已知a，b，，满足，则的最大值为（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】根据柯西不等式的等号成立条件，即可求出的最大值.
【详解】设，，，可得，
所以．
因为，
所以，
当且仅当，取得最大值6，
此时，
所以的最大值为．
故选：B.
11. 已知函数关于x的方程，给出下列四个结论：
①对任意实数t和a，此方程均有实数根；
②存在实数t，使得对任意实数a，此方程均有实数根；
③存在实数t和a，使得此方程有多于2个的不同实数根；
④存在实数a，使得对任意实数t，此方程均恰有1个实数根．
其中，正确结论的个数为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】令，，作出与图像，由各命题上下移动，左右移动，看图像上与的交点即可得出各命题的正确与错误，即可得出答案.
【详解】令，，
作出与图像如下：
其中可左右移动，可上下移动，则的图像即取的图像在的右边部分（包括上的部分），与的图像在的左边部分（不包括上的部分）组合而成，
对于①：当不论如何左右移动，如何上下移动都使与的图像一直有交点，即的值域是R时才正确，
由图像可知当a的值小于两图像左边的交点的x值或大于1时，与的图像可以没有交点，故①错误；
对于②：当上下移动到一个位置，不论如何左右移动，与的图像都有交点时才正确，
由图像可知当t的值大于两图像左边的交点的y值且小于2时，不论如何左右移动，与的图像一直有交点，故②正确；
对于③：当左右移动到一个位置，上下移动到一个位置时，与的图像有多于2个的交点时才正确，
由图像可知当a的值大于-1且小于1时，与的图像可以有多于2个的交点，故③正确；
对于④：当左右移动到一个位置，不论如何上下移动，与的图像都只有一个交点时才正确，
由图像可知当a的值等于两图像左边的交点的x值时，不论如何上下移动，与的图像都只有一个交点，故④正确；
综上所述，正确的命题有三个，
故选：C.
12. 已知且，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】首先求得及的取值范围，再把转化为关于的代数式，利用函数的单调性去求的取值范围即可解决
【详解】由，可得，
则，则，令，则
，
又在单调递增，在单调递减
，，
则，即
故选：C
二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分
13. 已知，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是______
【答案】.
【解析】
【分析】根据必要充分条件可得，可求出实数的取值范围.
【详解】因为，是的必要不充分条件，
所以，
所以，
即实数的取值范围为，
故答案为：
14. 设为虚数单位，复数，则的最大值为__________．
【答案】
【解析】
【分析】求出模长，利用三角函数的有界性可得答案．
【详解】，
则
，则的最大值为．
故答案为：.
15. 有一个游戏，将标有数字1，2，3，4的四张卡片分别随机发给甲、乙、丙、丁4个人，每人一张，并请这4个人在看自己的卡片之前进行预测：
甲说：乙或丙拿到标有3的卡片；乙说：甲或丙拿到标有2的卡片；
丙说：标有1的卡片在甲手中；丁说：甲拿到标有3的卡片.
结果显示：甲、乙、丙、丁4个人的预测都不正确，那么丁拿到卡片上的数字为_____________.
【答案】3
【解析】
【分析】根据预测都不正确，可得其对立事都正确，由此即可推出相对应的数字
【详解】由乙、丙、丁所说均为假知甲拿标有数字4卡片，再由甲、乙所说均为假得丙拿数字1的卡片，最后由甲所说为假得乙拿数字2的卡片，所以丁拿到的卡片上的数字为3，
故答案为：3.
16. 记表示不超过m的最大整数，若在区间上随机取一个数x，则为奇数的概率为_________.
【答案】
【解析】
【分析】根据新定义得到时，为奇数，然后再结合几何概型求概率的方法求概率即可.
【详解】当时，，因此当且仅当，即时，为奇数，这两个区间的长度之和为故为奇数的概率.
故答案为：.
三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 已知函数
（1）求不等式的解集；
（2）若的最小值为，且，求的最小值．
【答案】（1）
（2）16
【解析】
【分析】（1）分类讨论去绝对值解不等式；
（2）根据求的最小值，再根据题意结合基本不等式求的最小值
【小问1详解】
∵，则有：
当时，则，解得：
当时，则，即成立
当时，则，解得：
综上所述：不等式的解集为
【小问2详解】
∵，当且仅当时等号成立
∴的最小值为，即
则，当且仅当，即时等号成立
∴的最小值为16.
18. 已知命题成立；命题成立.
（1）若命题q为真命题，求m的取值范围.
（2）若命题p为真命题，命题q为假命题，求的取值范围.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】(1) 命题q为真命题，只需，可由基本不等式求出的最小值5.
(2) 由命题p为真命题知得，命题q为假命题得，求这两个集合的交集即可.
【小问1详解】
因为命题q为真命题，，
所以，当且仅当时等号成立，
所以，即．
【小问2详解】
由命题p为真命题，得，解得或，
当命题p为真命题时，命题q为假命题时，
故满足．
所以.
19. 机动车行经人行横道时，应当减速慢行；遇行人正在通过人行横道，应当停车让行，俗称礼让行人．下表是某市一主干路口监控设备所抓拍的5个月内驾驶员不礼让行人行为统计数据：
（1）请利用所给数据求违章人数y与月份x之间的回归直线方程；
（2）预测该路口9月份的不礼让行人违章驾驶员人数.
参考公式：．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据公式计算，，，，从而可求得回归方程；
（2）将代入（1）中求得的回归方程即可得出答案.
【小问1详解】
（1）由表中的数据可得：，，
所以，所以，
即所求的回归直线方程为.
【小问2详解】
（2）由（1）令，则，
即该路口月份“不礼让行人”的违章驾驶人次预测为人次.
20. 甲、乙两位消费者同时两次购买同一种物品，分别采用两种不同的策略，甲的策略是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的数量一定；乙的策略是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品所花的钱数一定．设甲每次购买这种物品的数量为m，乙每次购买这种物品所花的钱数为n．
（1）若两次购买这种物品价格分别为6元，4元，求甲两次购买这种物品平均价格和乙两次购买这种物品平均价格分别为多少；
（2）设两次购买这种物品的价格分别为元，元（，，且），甲两次购物的平均价格记为，乙两次购物的平均价格记为．通过比较，的大小，说明问甲、乙谁的购物策略比较经济合算．
【答案】（1）;
（2）第二种购物方式比较划算．
【解析】
【分析】（1）甲每次购买这种物品的数量为，乙每次购买这种物品所花的钱数为，由两次所花钱数除以购物数量可得平均价格；
（2）利用平均数计算公式，分别计算出平均数，即可表示出来．再利用作差法比较两种购物方式中，哪种划算．
【小问1详解】
设甲每次购买这种物品的数量为，乙每次购买这种物品所花的钱数为，
所以甲两次购买这种物品平均价格为：，
乙两次购买这种物品平均价格为：；
【小问2详解】
甲两次购物时购物量均为，则两次购物总花费为，
购物总量为，平均价格为．
设乙两次购物时用去的钱数均为，则两次购物总花费，购物总量为，
平均价格为，
， ，
，
故：第二种购物方式比较划算．
21. 某学校在寒假期间安排了“垃圾分类知识普及实践活动”．为了解学生的学习成果，该校从全校学生中随机抽取了50名学生作为样本进行测试，记录他们的成绩，测试卷满分100分，将数据分成6组：，，，，，，并整理得到频率分布直方图：
（1）求的值；
（2）若全校学生参加同样的测试，试估计全校学生的平均成绩（每组成绩用中间值代替）；
（3）在样本中，从其成绩在80分及以上的学生中按分层抽样随机抽取6人，再从这6人中随机取3人，求3人中成绩在中至多1人的概率．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】(1)由频率分布直方图中矩形面积为1，可求解.
(2)由频率分布直方图中平均数的公式可求解.
(3)先求出，的人数，由分层抽样的方法，分别应抽取多少人，然后列举出从中抽取3人的方案数，从而可得答案.
【小问1详解】
由，解得
【小问2详解】
由题意，平均成绩为：
【小问3详解】
成绩在分的学生有：，的学生有
成绩在80分及以上的学生共有
成绩在80分及以上的学生中按分层抽样随机抽取6人，
其中抽取4人，设为; 抽取2人,设为
从这6人中随机取3人的方案为：
，共20种；
其中至多包含中1人的有：
，共有16种.
所以3人中成绩在中至多1人的概率：
22. 已知均为正实数，且.
（1）求的最小值;
（2）证明: .
【答案】（1）6 （2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）利用三元基本不等式求解即可.
（2）利用基本不等式证明即可得到答案.
【小问1详解】
由基本不等式可知，
当且仅当 ，即 时等号成立，
所以的最小值为 6 .
【小问2详解】
因为，所以.
.
同理可得，
所以，
当且仅当时等号成立.
所以，
即
月份
1
2
3
4
5
违章驾驶员人数
120
105
100
95
80