2023昆明官渡区高一上学期期末考试数学含解析

官渡区2022~2023学年上学期期末学业水平考试

高一年级数学试题卷

一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】利用交集的定义直接求解即可.

【详解】∵集合，，∴.

故选：B．

2. 设，则“”是“”的（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】解不等式得的范围，依据小范围推出大范围的原则判定充分必要条件.

【详解】由，解得或，

故由能够推出；由不能够推出，

故“”是“”的充分不必要条件，

故选：A．

3. 已知则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据自变量应用分段函数,再由特殊角求解函数值即可.

【详解】

故选:C.

4. 设，，，则a，b，c的大小关系为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据指数对数函数单调性计算，，，得到答案.

【详解】，，，故.

故选：A

5. 已知集合，集合，下列图象能建立从集合A到集合B的函数关系的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】存在点使一个与两个对应，A错误；当时，没有与之对应的，B错误；的范围超出了集合的范围，C错误；选项D满足函数关系的条件，正确，得到答案.

【详解】对选项A：存在点使一个与两个对应，不符合，排除；

对选项B：当时，没有与之对应的，不符合，排除；

对选项C：的范围超出了集合的范围，不符合，排除；

对选项D：满足函数关系的条件，正确.

故选：D

6. 在中，已知，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】由结合诱导公式求解即可.

【详解】.

故选：A

7. 已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，则函数的单调递增区间为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】由题意，函数与互为反函数，求得，然后根据复合函数单调性的性质得出答案.

【详解】由题意，函数与互为反函数，则，

所以，

由，解得或，即函数的定义域为或，

令，

当时，单调递减；当时，单调递增，

又在上单调递增，

所以单调递增区间为.

故选：D.

8. 数学可以刻画现实世界中的和谐美，人体结构､建筑物､国旗､绘画､优选法等美的共性与黄金分割相关，古希腊的毕达哥拉斯学派发现了黄金分割常数约0.618，该值也可用三角函数来表示，则（    ）

A. 2 B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据同角三角函数关系和诱导公式,二倍角公式化简求值即可.

【详解】

.

故选：C.

二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 下列说法正确的是（  ）

A. 若点在第三象限，则α是第二象限角

B. 角θ的终边与圆心在原点､半径为r的圆的交点为

C. 长度等于半径的倍的弦所对的弧长为（其中r为半径）

D. 钟表时针走过2小时，则时针转过的角的弧度数为

【答案】ABC

【解析】

【分析】由三角函数在各象限的符号可判断A；由三角函数的定义可判断B；由弧长公式可判断C；由任意角的概念可判断D.

【详解】若点在第三象限，则，则α是第二象限角，故A正确；

设角θ的终边与圆心在原点､半径为r的圆的交点坐标为，由三角函数的定义可知，，则，即交点坐标为，故B正确；

长度等于半径的倍的弦所对的圆心角为，则弧长为，故C正确；

钟表时针走过2小时，则时针转过的角的弧度数为，故D错误.

故选：ABC.

10. 已知a，，且，则下列不等式成立是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】BC

【解析】

【分析】根据不等式的性质结合基本不等式判断各选项即可确定正误.

【详解】对于A，因为，故当时，不等式不成立，故A不正确；

对于B，因为，所以恒成立，当且仅当时，等号成立，故B正确；

对于C，因为，所以，则，当且仅当时，等号成立，故C正确；

对于D，因为，所以，当时满足，但，此时，故D不正确.

故选：BC.

11. 将函数的图象向左平移个单位长度，得函数的图象，若在区间内恰有两个最值（即最大值和最小值），则ω可能的取值为（    ）

A. 1 B.  C.  D.

【答案】CD

【解析】

【分析】化简，然后根据图像变换得出，根据得出，最后根据正弦函数性质得出，通过计算得出范围，判断即可.

【详解】，

向左平移个单位长度，得到函数，

因为，所以，

因为在内恰有两个最值，

所以，解得，故C、D满足.

故选：CD.

12. 德国著名数学家狄利克雷第一个引入了现代函数的概念，是解析数论的创始人，狄利克雷函数就以其名命名，其解析式为，狄利克雷函数的发现改变了数学家们对“函数是连续的”的认识，也使数学家们更加认可函数的对应说定义，关于函数有以下四个命题，其中真命题是（    ）

A. 函数奇函数 B. ，

C. 函数是偶函数 D. ，，

【答案】BCD

【解析】

【分析】选项A：若是有理数，可得，可知不是奇函数；选项B：当时，符合题意；选项C：分两种情况讨论得，由偶函数的定义判断；选项D：分两种情况讨论，若是有理数，得；若是无理数，得.

【详解】若是有理数，则也是有理数，可得，则不是奇函数，故A错误；

当时，，，，此时，故B正确；

若是有理数，则；若是无理数，，则，又，则，因此，所以函数是偶函数，故C正确；

若是有理数，，则均是有理数，故；若是无理数，，则均是无理数，故，所以，，，故D正确．

故选：BCD.

三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 定义：角与都是任意角，若满足，则称α与β“广义互余”，已知，若角与角 “广义互余”，则角___________.（写出满足条件的一个角的值即可）

【答案】（答案不唯一）

【解析】

【分析】根据“广义互余”定义及特殊角三角函数值,求解即可.

【详解】因为,所以或，

根据“广义互余”定义, ,
 

所以或，

可取等,答案不唯一.

故答案为：.

14. 已知是定义在上的奇函数，当时，，则___________.

【答案】##－0.5

【解析】

【分析】根据奇函数的定义，结合已知函数解析式求解即可.

【详解】因为为定义在上的奇函数，

所以.

故答案为：.

15. 小明在学习在二分法后，利用二分法研究方程在（1，3）上的近似解，经过两次二分后，可确定近似解所在的区间为___________.

【答案】

【解析】

【分析】设，计算，，，，得到答案.

【详解】设，则，，

，；，，

故近似解所在的区间为.

故答案为：

16. 已知是定义在区间的函数，则函数的零点是___________；若方程有四个不相等的实数根，，，，则___________.

【答案】    ①. 2，8    ②. 20

【解析】

【分析】解方程，即可求得函数的零点；将方程四个不相等的实数根问题转化为利用二次方程根与系数的关系，可得结论；

【详解】由题意可知，令，即，解得或，

故函数在内的零点为和；

方程有四个不相等的实数根，，

即为与的四个交点的横坐标，

方程即，，即，

当即时，方程可转化为即；

当时，方程可转化为即；

故要有四个实数根，则两种情况都有两个不同的实数根，

不妨设为的两根，则，

则为的两根，则，

则；

故答案为: 2，8; 20.

四､解答题；本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17. 从①，②，③，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题横线处，并进行解答．

问题：已知集合___________，集合．

（1）当时，求，；

（2）若，求实数a的取值范围．

【答案】（1），.   

（2）

【解析】

【分析】（1）若选①：先根据分式不等式的解法求解出集合，代入的值求解出集合，然后根据集合的运算求解；若选②：先根据指数函数的单调性求解出集合，代入的值求解出集合，然后根据集合的运算求解；若选③：先根据对数函数的单调性求解出集合，代入的值求解出集合，然后根据集合的运算求解；

（2）根据得到，由此列出关于的不等式组，求解出的取值范围．

小问1详解】

若选①：因为，

当时，，

因为，所以，

又因为或，所以.

若选②：，

当时，，

因为，所以，

又因为或，所以.

若选③：，

当时，，

因为，所以，

又因为或，所以.

【小问2详解】

由（1）可知，，

因为，所以，故，

所以，解得：，

故实数的取值范围为．

18. 人脸识别技术在各行各业的应用改变着人类的生活，所谓人脸识别，就是利用计算机分析人脸视频或者图像，并从中提取出有效的识别信息，最终判别对象的身份，在人脸识别中为了检测样本之间的相似度主要应用距离的测试，常用测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离.若二维空间有两个点，，则曼哈顿距离为：，余弦相似度为：，余弦距离为

（1）若，，求A，B之间的曼哈顿距离和余弦距离；

（2）已知，，，若，，求的值

【答案】（1），   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据公式直接计算即可.

（2）根据公式得到，，计算得到答案.

【小问1详解】

，

，故余弦距离等于；

【小问2详解】

；

故，，则.

19. 给定函数，，.

（1）在同一直角坐标系中画出函数和的图象；

（2），用表示，中的最大者，记为，试判断在区间的单调性.

【答案】（1）答案见解析   

（2）答案见解析

【解析】

【分析】（1）根据指数函数与一元二次函数的图像得出答案；

（2）根据图像结合的定义得出其单调性，即可分类讨论的范围得出答案.

【小问1详解】

，图象如图所示，

【小问2详解】

由（1）及的定义得，在单调递减，在单调递增，在单调递减

所以当时，在单调递减，

当时，在单调递减，在单调递增，

当时，在单调递减，在单调递增，在单调递减.

20. 小美同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表.

（1）请将上表数据补充完整并求出函数的解析式；

（2）若，求函数的单调递增区间：

（3）若，求不等式成立的x的取值集合.

【答案】（1）表格答案见解析，   

（2）单调递增区间为，   

（3）

【解析】

【分析】（1）根据五点法列式求得解析式参数；

（2）写出解析式，由整体法求单调区间；

（3）由整体法解不等式.

【小问1详解】

根据表中已知数据可得，由得，再由解得，所以.

表格数据补全如下：

【小问2详解】由题意，

由，，解得，，

所以函数的单调递增区间为，，

【小问3详解】

由，即，

所以，解得，，

所以不等式成立的x的取值集合为.

21. 2022年10月31日下午，长征五号B运载火箭点火起飞，成功将中国空间站的第二个实验舱“梦天实验舱”送入预定轨道，发射任务取得圆满成功．作为“空间站舱段运输专列”，长征五号B运载火箭是我国目前近地轨道运载能力最大的火箭，具有强大的“爆发力”和“带货能力”．在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度v（单位：）可用公式进行计算，其中（单位：）是喷流相对速度，m（单位；吨）是火箭（除推进剂外）的质量，M（单位；吨）是推进剂和火箭质量的总和，称为总质比．已知X型火箭的喷流相对速度为2.

（1）已知X型火箭的质量约为115吨，推进剂的质量约为736吨，利用给出的参考数据求X型火箭的最大速度；

（2）经过材料更新和技术改进，X型火箭的喷流相对速度提高到了原来的2倍，总质比变为原来的，若要使火箭的最大速度至少增加1，求在材料更新和技术改进前总质比的最小整数值.

参考数据：，，.

【答案】（1）4   

（2）27

【解析】

【分析】（1）将，，代入计算即可；

（2）由题意，经过材料更新和技术改进后，X型火箭的喷流相对速度为4，总质比为，要使火箭的最大速度至少增加1，则需，解不等式即可.

【小问1详解】

由题意，，，，

所以，

所以X型火箭的最大速度约为4.

【小问2详解】

由题意，经过材料更新和技术改进后，X型火箭的喷流相对速度为4，总质比为，

要使火箭的最大速度至少增加1，则需，

所以，整理得，

所以，则，

由参考数据知，，所以，

所以材料更新和技术改进前总质比的最小整数值为27.

22. 设是函数定义域内的一个子集，若存在，使得成立，则称是的一个“不动点”，也称在区间上存在不动点，例如的“不动点”满足，即的“不动点”是.设函数，.

（1）若，求函数的不动点；

（2）若函数在上不存在不动点，求实数的取值范围.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据不动点的定义求解方程即可得函数的不动点；

（2）若函数在上不存在不动点，则转化为方程在上无解，整体换元再进行参变分离即可列不等式得实数的取值范围，再检验其是否满足对数函数的定义域即可.

【小问1详解】

根据题目给出的“不动点”的定义，可知：

当时，，

得，所以，所以，

所以函数在上的不动点为.

【小问2详解】

根据已知，得在区间上无解，

所以在上无解，

令，，所以，

即在区间上无解，

所以在区间上无解，

设，所以在区间上单调递增，

故

所以或，所以或，

又因为在区间上恒成立，

所以在区间上恒成立，

所以，则

综上，实数a的取值范围是.