高中数学苏教版 (2019)选择性必修第一册第4章 数列4.2 等差数列教学设计及反思

这是一份高中数学苏教版 (2019)选择性必修第一册第4章 数列4.2 等差数列教学设计及反思，共5页。教案主要包含了新课导入，新知探究，应用举例，课堂练习，课堂小结，布置作业等内容，欢迎下载使用。

教学目标
1.探索并掌握等差数列的前n项和公式，并会应用其解决相关问题；
2.体会等差数列前n项和公式的推导过程；
3.借助等差数列前n项和公式的推导及应用，培养学生逻辑推理、数学运算等核心素养.
教学重难点
重点：等差数列的前n项和公式．
难点：等差数列的前n项和公式的推导．
教学过程
一、新课导入
情境：如图，这是某仓库堆放的一堆钢管，最上面的一层有4根钢管，下面的每一层都比上一层多一根，最下面的一层有9根，怎样计算这堆钢管的总数呢？
直接列式计算：4+5+6+7+8+9=39.
追问：如果总数较大如何计算呢？有没有更简便的求和的方法？
4，5，6，7，8，9是等差数列，这节课我们一起来研究等差数列的求和问题.
设计意图：通过实际情境引入本节课要学习的等差数列的求和问题，激发学生的学习兴趣和求知欲．
二、新知探究
问题1：这堆钢管一共有几层？它的横截面是什么形状？
答案：共有6层；横截面是等腰梯形.
问题2：假设在这堆钢管旁边再倒放上捆扎着的同样一堆钢管，如图所示，则这样共有多少根钢管？
追问1：每一层的钢管数均为：4+9=13(根).
答案：(4+9)×6=78(根).
追问2：原来有多少根钢管？
答案：6×4+92=36(根).
追问3：从上面的求和过程中你能得到什么启示？
答案：等差数列可以通过“倒序相加”的方法求和.
问题3：上述方法可以推广到求等差数列{an}的前n项和Sn？
一般地，对于数列an，把a1+a2+a3+…+an称为数列an的前n项和，记作Sn.
答案：设等差数列an的首项为a1，公差为d，则
Sn=a1+a2+a3+…+an
=a1+(a1+d)+(a1+2d)+…+a1+(n−1)d， ①
把各项的次序反过来，Sn又可以写成
Sn=an+(an−d)+(an−2d)+…+an−(n−1)d. ②
①+②，得
2Sn=a1+an+a1+an+a1+an+…+a1+an=na1+an.
由此可得等差数列an的前n项和公式Sn=na1+an2.
公式表明：等差数列前n项和等于首末两项和的一半的n倍.
思考：如果已知等差数列首项a1，公差d可以求得前n项和Sn吗？
答案：将等差数列的通项公式an=a1+(n−1)d代入Sn=na1+an2，可得
Sn=na1+a1+(n−1)d2=na1+n(n−1)d2.
归纳：等差数列的求和公式为
Sn=na1+an2，Sn=na1+n(n−1)d2.
交流：等差数列的前n项和公式中共涉及哪几个相关量？这几个量分别表示什么？这几个相关量中，已知几个可以求出其他几个？
答案：等差数列的前n项和公式中有五个量：首项a1，公差d，项数n，末项an，前n项和Sn，这五个量可以“知三求二”．
设计意图：通过问题探究让学生了解等差数列的求和公式的推导过程，培养学生的逻辑推理、数学运算等核心素养．
三、应用举例
设Sn为等差数列an的前n项和.
（1）已知a1=3，a50=101，求S50；
（2）已知a1=3，公差d=12，求S10.
解：（1）根据等差数列前n项和公式，得
S50=3+1012×50=2600.
（2）S10=10×3+10×92×12=1052.
例2 在等差数列an中，已知公差d=12，an=32，列前n项和Sn=−152，求a1及 n.
解：由题意得
a1+322×n=−152， ①a1+n−1×12=32. ②
由②，得
a1=−12n+2.
代入①后化简，得 n2−7n−30=0.
解得 n=10或−3(舍去)，从而a1=−3.
例3 在等差数列an中，已知第1项到第10项的和为310，第11项到第20项的和为910，求第21项到第30项的和.
解：设等差数列的前n项和为Sn，公差为d.由题意得
S10=310，S20−S10=910，
即 10a1+10×92d=310，20a1+20×192d−310=910.
解得 a1=4，d=6.
所以a21=4+20×6=124，于是
a21+a22+…+a30=10×124+10×92×6=1510，
即第21项到第30项的和为1510.
思考：还有其它的方法能解决上面的问题吗？
分析：设等差数列的前n项和为Sn，公差为d.则
S10=a1+a2+…+a10 ①
S20−S10=a11+a12+…+a20 ②
S30−S20=a21+a22+…+a30 ③
由上可得 ②−①=③−②=100d，
所以S10，S20−S10，S30−S20仍是等差数列，此时公差为100d.
由S10=310，S20−S10=910，得新的公差为：910−310=600，
所以 S30−S20=910+600=1510，
即第21项到第30项的和为1510.
思考：通过上面的方法，你能得到什么结论？
结论：若等差数列an的前n项和为Sn，公差为d.则Sn，S2n−Sn，S3n−S2n仍是等差数列，此时公差为n2d.
设计意图：通过例题，进一步熟悉等差数列的求和公式，并能灵活运用等差数列的求和公式解决相关问题．
四、课堂练习
1.已知数列an是等差数列.
（1）若a1=7，a50=101，求S50；
（2）若a1=2，a2=52，求S10.
2.某商店的售货员想在货架上用三角形排列方式展示一种罐头饮料，底层放置15个罐头，第2层放置14个罐头，第3层放置13个罐头……顶层放置1个罐头，这样的摆法需要多少个罐头？
3. 设等差数列an的前n项和为Sn，若S8=100，S16=392，试求S24.
参考答案：
1.解：（1）S50=50×(a1+a502=50×(7+1012=2700.
（2）由a1=2，a2=52，得d=12，所以S10=10×2+10(10−12×12=852.
2.解：设货架上的罐头从底层到顶层，各层的罐头数依次排成一列，构成数列an ，其前n项和为Sn，根据题意得 a1=15，an=1，n=15，则
S15=15×(15+1)2=120，
所以，这样的摆法需要120个罐头.
3.解：（方法1）S8=100，S16=392，把它们代入公式Sn=na1+n(n−12d，得
8a1+8×72d=100，16a1+16×152d=392. 解方程组，得a1=2，d=3.
所以a24=2+23×3=71，于是
S24=24×(2+712=876.
方法2：等差数列an的前n项和为Sn，则
S8，S16−S8，S24−S16仍是等差数列，
因为S8=100，S16=392，所以S16−S8=392−100=292，
则新数列的公差为：292−100=192，
所以S24−S16=292+192=484.
所以S24=392+484=876.
五、课堂小结
求数列的基本量的基本方法是构建方程或方程组或运用数列的有关性质进行处理，
1.“知三求一”：a1，d，n称为等差数列的三个基本量，在通项公式和前n项和公式中，都含有四个量，已知其中的三个可求出第四个。
2.“知三求二”：五个量a1，d，n，an，Sn中可知三求二，一般列方程组求解.
六、布置作业
教材第138页练习第2，3题．