高中数学苏教版 (2019)选择性必修第一册4.2 等差数列教案设计

这是一份高中数学苏教版 (2019)选择性必修第一册4.2 等差数列教案设计，共7页。教案主要包含了新课导入，新知探究，应用举例，课堂练习，课堂小结，布置作业等内容，欢迎下载使用。

教学目标
1.进一步熟练掌握等差数列的前n项和公式，并会求前n项和Sn的最值；
2.经历公式应用的过程，进一步理解公式中的几个基本量代表的实际意义；
3.通过等差数列前n项和公式的应用，培养学生的数学运算、数学建模等核心素养.
教学重难点
重点：灵活运用等差数列的前n项和公式解决问题．
难点：求前n项和Sn的最值．
教学过程
一、新课导入
回顾：能否说出我们上节课学习的等差数列的前n项和公式？
Sn=na1+an2，Sn=na1+n(n−1)d2.
注意：公式中五个量：首项a1，公差d，项数n，末项an，前n项和Sn，这五个量可以“知三求二”．
问题1：如何选用这两个公式能使运算过程更简便呢？
答案：已知首项a1、项数n、末项an，选用公式Sn=na1+an2.
已知首项a1、公差d、项数n，选用公式Sn=na1+n(n−1)d2.
练一练：若a1=12，d=−16， Sn=−5，求n的值.
分析：已知a1，d，Sn，选用公式Sn=na1+n(n−1)d2.
解：由Sn=na1+n(n−12d=12n+n(n−12×(−16)=−5，
得n=12，或n=−5（舍）.
设计意图：通过回顾等差数列的求和公式并进行两个求和公式的比较，让给学生进一步熟悉上节课所学内容，为本节课作准备．
二、新知探究
问题2：等差数列的求和在实际生活中有什么应用呢？
例：某剧场有20排座位，后一排比前一排多2个座位，最后一排有60个座位，这个剧场共有多少个座位？
追问1：各排的座位数组成的数列是特殊的数列吗？
答案：是公差为2的等差数列.
追问2：已知哪些条件？
答案：d=2，n=20，a20=60.
解：这个剧场各排的座位数组成等差数列{an}，其中公差d=2，项数n=20，且第20项是a20=60.
由等差数列的通项公式，得
60=a1+20−1×2，
所以 a1=22.
由等差数列的求和公式，得
S20=20×(22+60)2=820.
所以这个剧场共有820个座位.
小结：解题的关键是构造合适的等差数列，遇到与正整数有关的应用题时，可以考虑与数列知识联系，建立数列模型.
注意以下两点：
①抓住实际问题的特征，明确是什么类型的数列模型．
②深入分析题意，确定是求通项公式an，还是求前n项和Sn，或是求项数n.
问题3：我们知道等差数列的通项公式是特殊的函数，那么等差数列的前n项和公式与函数的关系是什么呢？
答案：由Sn=na1+n(n−1)2d=d2n2+a1−d2n可知，
当d=0，a1=0时，Sn=0n∈N∗， Sn与n之间的函数关系可以表示为fx=0x∈N∗；
②当d=0，a1≠0时，Sn=na1n∈N∗，Sn与n之间的函数关系可以表示为fx=kx(x∈N∗，k=0)；
③当d≠0时，Sn与n之间的函数关系可以表示为fx=ax2+bx (x∈N∗， a，b均为常数，且a≠0).它的图象是抛物线y=d2x2+a1−d2x上的一群独立点．
思考1：提到抛物线就想到最值问题，等差数列在什么情况下有最值呢？如何确定Sn(d≠0)的最值？
答案：①当d＞0时， {an}为递增数列，逐项增大，Sn有最小值；
当a1≥0时， Sn的最小值为S1；
当a1<0时， Sn的最小值为所有非正项的和的值，使Sn取到最值的n可由不等式组an≤0an+1≥0确定．
②当d<0时，{an}为递减数列，逐项减小，Sn有最大值.
当a1≤0时， Sn的最大值为S1；
当a1>0时， Sn的最大值为所有非负项的和的值，使Sn取到最值的n可由不等式组an≥0an+1≤0确定.
思考2：能否从函数的角度来分析一下Sn(d≠0)的最值问题.
当d≠0时，Sn=d2n2+a1−d2n.
①当d>0时，Sn关于n的函数图象为开口向上的抛物线上横坐标为正整数的点，所以当n取离对称轴最近的整数时，Sn最小；
②当d<0时，Sn关于n的函数图象为开口向下的抛物线上横坐标为正整数的点，所以当n取离对称轴最近的整数时，Sn最大.
设计意图：通过问题探究让学生了解等差数列的求和公式的推导过程，培养学生的逻辑推理、数学运算等核心素养．
三、应用举例
例1 已知等差数列an的前n项和为Sn，若a1=10，公差d=−2，Sn是否存在最大值？若存在，求Sn的最大值及取得最大值时n的值；若不存在，请说明理由．
解：(方法一)由d=−2，得an+1−an=−2＜0，得an+1＜an，所以an是递减数列．
由a1=10，d=−2，得an=10+n−1×−2=−2n+12．
可知，当n＜6时，an＞0；当n＝6时，an＝0；当n＞6时，an＜0．
所以，S1＜S2＜…＜S5＝S6＞S7＞…，也就是说，当n=5或6时，Sn最大．
因为S5=522×10+5−1×(−2)=30，所以Sn的最大值为30．
(方法二)由a1＝10，d＝－2，得Sn=d2n2+a1−d2n=−n2+11n=−n−1122+1214，所以，当n取与112最接近的整数即5或6时，Sn最大，最大值为30．
例2 某种卷筒卫生纸绕在盘上，空盘时盘芯直径为40 mm，满盘时直径为 120mm（如图）.已知卫生纸的厚度为0.1 mm，问：满盘时卫生纸的总长度大约是多少米（精确到1 m）？
解：卫生纸的厚度为0.1 mm，可以把绕在盘上的卫生纸近似地看作一组同心圆，然后分
别计算各圆的周长，再求总和.
由内向外各圈的半径分别为
20.05，20.15，…，59.95.
因此，各圈的周长分别为
40.1π，40.3π，…，119.9π.
因为各圈半径组成首项为20.05，公差为0.1的等差数列，设圈数为n，则
59.95=20.05+n−1×0.1，
解得n=400.
显然，各圈的周长组成一个首项为40.1π，公差为0.2π，项数为400的等差数列.
根据等差数列的求和公式，得
S=400×40.1π+400×400−12×0.2π=32000π(mm).
32000π(mm) ≈100(m).
答：满盘时卫生纸的长度约为100 m.
例3 某零存整取3年期储蓄的月利率为2.7‰.
（1）如果每月存入1000元，那么3年后本息合计为多少元（精确到1元）？
（2）欲在3年后一次性支取本息合计5万元，每月存入多少元（精确到1元）？
解：（1）3年后的本息和为
1000×1+2.7‰+1000×1+2×2.7‰+…+1000×1+36×2.7‰
=100036+36×2.7‰+36×352×2.7‰
≈37798(元).
（2）设每月存A元，则有
A1+2.7‰+A1+2×2.7‰+…+A1+36×2.7‰=50000.
利用等差数列的求和公式，得
A36+36×2.7‰+36×352×2.7‰=50000，
解得 A≈1323.
答：零存整取3年期储蓄每月存入1000元，3年后本息合计约37798元.欲在3年后一次性支取本息5万元，每月存入约1323元.
设计意图：通过例题，进一步熟悉等差数列的求和公式的应用及最值问题，掌握利用等差数列的求和公式解决相关问题．
四、课堂练习
1.设数列an的前n项和Sn=n2，则a8的值为( )
A.15 B.16 C.49 D.64
2.数列an的前n项和Sn=33n−n2，
（1）求an的通项公式；
（2）问an的前多少项和最大.
3. 某钢材库新到200根相同的圆钢，要把它们堆放成正三角形垛（如图），并使剩余的圆钢尽可能的少，那么将剩余多少根圆钢？
4.一支车队有15辆车，某天依次出发执行任务．第1辆车于下午2时出发，第2辆车于下午2时10分出发，第3辆车于下午2时20分出发，依此类推．假设所有的司机都连续开车，并且都在下午6时停下休息．
（1）到下午6时，最后一辆车行驶了多长时间？
（2）如果每辆车的行驶速度都是60 km/h，则这支车队当天一共行驶了多少路程？
参考答案：
1.解：a8=S8−S7=82−72=15.
故选A.
2.解：（1）当n≥2时，an=Sn−Sn−1=34−2n，
又当n＝1时，a1=S1=32=34−2×1满足an=34−2n.
故an的通项公式为an=34−2n．
（2）（方法一）令an≥0，得34－2n≥0，
所以n≤17，
故数列an的前17项均大于或等于零．
又a17＝0，故数列an的前16项或前17项的和最大．
（方法二）由y=−x2+33x的对称轴为x=332．
距离332最近的整数为16，17．
故数列an的前16项或前17项的和最大．
3.解：根据题意，各层圆钢数比上一层多一根，故其构成等差数列：
1，2，3…
设共堆放了n层，能构成正三角形垛的圆钢数为Sn，则Sn=1+2+3+…+n，
可转化为求Sn=n1+n2≤200的最大自然数n，
易知当n=19时，Sn=190；当n=20时，Sn=210.
故n的最大值为19.此时，将堆放19层，剩余10根圆钢.
4.解：由题意，知第1辆车休息时行驶了240 min，各辆车行驶的时间构成一个等差数列an，其中a1=240，公差d=−10，则an=240−10n−1=−10n+250.
(1)因为a15=−10×15+250=100，所以到下午6时，最后一辆车行驶了100 min.
(2)这支车队所有车辆行驶的总时间为240+1002×15=2550(min) =852 h，
所以这支车队当天一共行驶的路程为852×60=2550(km)．
五、课堂小结
1.遇到与正整数有关的应用题时，可以考虑与数列知识联系，建立数列模型.
2.在等差数列中，求Sn的最小（大）值的方法：
①通项公式法：利用通项公式寻求正、负项的分界点，则从第一项起到分界点该项的各项和为最大（小）值.
②函数法：借助二次函数的图象及性质求最值.
六、布置作业
教材第140页练习第1，2题．
第141页习题4.2第11题．