2022-2023学年陕西省部分名校高二上学期期末数学（文）试题含解析

这是一份2022-2023学年陕西省部分名校高二上学期期末数学（文）试题含解析，共13页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．椭圆的长轴为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【分析】由椭圆的标准方程即可.
【详解】由椭圆得长轴为.
故选：D.
2．在中，内角的对边分别为，若，则（ ）
A．B．C．5D．6
【答案】A
【分析】根据余弦定理计算直接得出结果.
【详解】由余弦定理可得
，所以.
故选：A.
3．已知.则下列命题中，真命题是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】分别判断命题的真假性，然后由复合命题的真值表判断．
【详解】对，
当时，则，故，故为真命题，
对，
∵，则，故为假命题，
则，，均为假命题，为真命题.
故选：C.
4．设，则（ ）
A．B．C．3D．12
【答案】B
【分析】根据导数的定义进行转化即可.
【详解】，.
故选：B
5．已知等比数列的前项乘积为，若，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】A
【分析】根据题意可得，结合等比数列的性质即可求解.
【详解】因为，所以，
由得.
又，所以.
故选：A.
6．已知双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】求出的值，然后利用离心率公式可求出双曲线的离心率.
【详解】由双曲线的渐近线方程为可知直线的斜率为，
，
双曲线的离心率为.
故选：C.
7．已知抛物线：的焦点为，抛物线上有一动点，且，则的最小值为（ ）
A．8B．16C．11D．26
【答案】C
【分析】根据，再结合图形求解即可.
【详解】因为抛物线：，所以抛物线的准线为，
记抛物线的准线为，作于，如图所示：
因为，，
所以当，，共线时，有最小值，最小值为.
故选：C.
8．已知数列满足，，，则“”是“”的（ ）
A．充分必要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】由题意可得为等差数列，后据此判断与间关系可得答案.
【详解】设首项为，由，可得，
则可得.
则
.故“”是“”的充分必要条件.
故选：A
9．函数的最小值是（ ）
A．B．4C．D．3
【答案】C
【分析】利用导数讨论单调性并求最值.
【详解】由题意可得，
令，得，令，得，
则在上单调递减，在上单调递增，
故的最小值是．
故选:C.
10．设，则的最小值为（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】A
【分析】先得到，再变形，展开，利用基本不等式求最值即可.
【详解】，则，
，
当且仅当，即时，等号成立.
故选：A.
11．已知为抛物线上一点，为焦点，过作的准线的垂线，垂足为，若的周长不小于30，则点的纵坐标的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】如图，设点的坐标，准线与轴的交点为A，根据抛物线的定义和勾股定理可得的周长为，令，利用换元法可得，解之即可求解.
【详解】如图，设点的坐标为，准线与轴的交点为A，
则，
所以的周长为.
得，令，则，
有，即，解得(舍去)或，
所以，由解得.
故选：A.
12．定义在上的函数的导函数为，且恒成立，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据已知含导数的不等式，构造函数，，求导确定函数的单调性，即可得函数值大小，从而得答案.
【详解】设函数，，则，
所以在上单调递减，从而，
即，则.
故选：A.
二、填空题
13．已知双曲线的焦距为10，则__________.
【答案】
【分析】利用焦距的定义及双曲线中三者的关系即可求解.
【详解】因为双曲线的焦距为10，
所以，解得，
由双曲线的标准方程可知，，解得或（舍去）
故答案为：.
14．若满足约束条件则的最小值为__________.
【答案】
【分析】先作出可行域，结合图形求出最小值.
【详解】作出可行域如图，
当直线经过点时，取最小值，最小值为.
故答案为：.
15．已知函数的零点恰好是的极值点，则______.
【答案】
【分析】设是的零点，也是的极值点，进而建立方程，解方程并检验满足条件即可.
【详解】解：根据题意，设是的零点，也是的极值点，
因为
所以，解得.
此时，，
当时，，函数在上单调递减，当时，，函数在上单调递增，
所以，函数在处取得极小值，且，满足条件.
故答案为：
16．已知椭圆的左､右焦点分别为为椭圆上的一点，若，则__________.
【答案】3
【分析】运用椭圆定义及余弦定理可求得结果.
【详解】由椭圆方程知，，，，则，由椭圆定义知，，
所以，
所以.
故答案为：3.
三、解答题
17．已知函数满足.
(1)求的值；
(2)求的图象在处的切线方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求导得出，令可得出的值；
（2）求出、的值，利用点斜式可得出所求切线的方程.
【详解】（1）解：因为，则，
所以，，解得.
（2）解：由（1）可知，则，则，，
因此，的图象在处的切线方程为，即.
18．已知抛物线是抛物线上的点，且.
(1)求抛物线的方程；
(2)已知直线交抛物线于两点，且的中点为，求直线的方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据的长，由几何知识即可求出抛物线的方程；
（2）设出两点坐标和直线的斜率，将两点代入抛物线方程，由点差法求出斜率，根据的中点即可求出直线的方程.
【详解】（1）由题意，
在抛物线中，，
由几何知识得，
，
解得：，
故抛物线的方程为：.
（2）由题意及（1）得，
直线的斜率存在，设直线的斜率为，
则，
两式相减得，
整理得，
因为的中点为，
∴，
∴直线的方程为：，
即，经检验，满足题意.
19．已知数列的前n项和为，且．
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据求解即可；
（2）由题知，进而根据裂项求和法求解即可.
【详解】（1）解：当时，．
当时，，
所以，
因为也满足，
所以通项公式为．
（2）解：由（1）得，
所以，
所以．
20．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.
(1)求；
(2)设，当的值最大时，求△ABC的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理，三角形内角和和三角函数公式化简等式，即可得出.
（2）根据正弦定理将转化为关于的三角函数式，利用三角变换和正弦函数的性质可求其最值，从而求出，即可求出△ABC的面积
【详解】（1）由题意
在△ABC中，，，
由正弦定理得，
∴，整理得到，
而为三角形内角，故，故，而，
故即.
（2）由题意及（1）得
在△ABC中，，，故外接圆直径，
故
，
，
其中，且，
因为，故，而，
故的最大值为1，此时，
故，，
故，
且
故，
此时.
21．已知函数．
(1)当时，求的单调区间；
(2)证明：当时，在上存在唯一零点．
【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间为
(2)证明见解析
【分析】（1）当时，利用导数与函数单调性的关系可求得函数的增区间和减区间；
（2）利用导数分析函数在上的单调性，结合零点存在定理可证得结论成立.
【详解】（1）解：当时，，该函数的定义域为，．
令，得，令，得，
所以的单调递减区间为，单调递增区间为．
（2）解：因为，，则．
令，得．因为，所以．
当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增．
而，且．
又因为在上单调递增，所以在上有唯一零点．
当时，恒有，在上无零点．
综上，当时，在上存在唯一零点．
【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：
（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；
（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；
（3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题.
22．已知双曲线的右焦点为，渐近线方程为．
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)设D为双曲线C的右顶点，直线l与双曲线C交于不同于D的E，F两点，若以为直径的圆经过点D，且于点G，证明：存在定点H，使为定值．
【答案】(1)
(2)证明见解析.
【分析】（1）根据条件列出关于a、b、c的方程组求解即可.
（2）分类讨论斜率是否存在，①斜率存在时，设l的方程，联立直线方程与双曲线方程，由得到m与k的关系式，得到直线恒过定点M，②斜率不存在时，再由得到直线l方程，进而得出此时直线l也恒过定点M，进而证得存在定点H为DM的中点，为的一半.
【详解】（1）由题意知，
解得：，
∴双曲线C的标准方程为：；
（2）证明：由（1）知，，设，
①当l的斜率存在时，设l的方程为：，
，即：，
，，
∵以EF为直径的圆经过点D，
∴，
又∵，，
∴，
又∵
∴，
即：
化简得：，即：，
解得：或，且均满足，
当时，，直线l恒过定点，此时定点与D点重合，所以与已知相矛盾；
当时，，直线l恒过定点，记为点；
②当l的斜率不存在时，设l的方程为：，
设，，或，则，
此时，，
∴，
整理得：，解得：或
∵或，
∴，此时l恒过定点.
综述：l恒过定点.
又∵，即：，（∵D、E、F三点都在直线l上）
∴点G在以DM为直径的圆上，H为该圆的圆心，即DM的中点，为该圆的半径，即的一半.
故存在定点，使得为定值6.
【点睛】求解直线或曲线过定点问题的基本思路：
（1）把直线或曲线方程中的变量x，y当作常数看待，把方程一端化为零，既然是过定点，那么这个方程就要对任意参数都成立，这时参数的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于x，y的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点．
（2）由直线方程确定其过定点时，若得到了直线方程的点斜式，则直线必过定点；若得到了直线方程的斜截式，则直线必过定点.