2022-2023学年陕西省咸阳市高二上学期期末数学（理）试题含解析

这是一份2022-2023学年陕西省咸阳市高二上学期期末数学（理）试题含解析，共13页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．命题“”的否定是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】直接根据特称命题的否定是全称命题得答案.
【详解】命题“”的否定是．
故选：C.
2．若椭圆上一点P到右焦点的距离为5，则它到左焦点的距离为（ ）
A．31B．15C．7D．1
【答案】C
【分析】由椭圆的定义：动点到两定点的距离之和为定值常数.即可得出答案.
【详解】椭圆中，，
记椭圆的左焦点为，右焦点为，则，
由椭圆的定义可知：，
所以，
故选：C.
3．已知，则下列大小关系正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据不等式性质，不等式两边同时乘负数，改变不等号，不等式两边同时乘正数，不改变不等号，可得答案.
【详解】对于A，因为，所以，故错误；
对于B，因为，所以，又因为，所以，
则，故正确；易知C，D错误.
故选：B.
4．已知，，若，则的最大值为（ ）．
A．B．C．D．1
【答案】A
【分析】由基本不等式求最大值．
【详解】，
当且仅当，即，时，等号成立．
故选：A．
5．如图，在平行六面体中，设，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据空间向量线性运算求解即可.
【详解】连接，如图所示：
.
故选：B
6．已知是递增的等比数列，且，则其公比满足（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】先确定,由得,根据的单调性确定的取值范围.
【详解】是等比数列，故，当时， 各项正负项间隔,为摆动数列,故,显然，
由得，又是递增的等比数列，故为递减数列,由指数函数的单调性知.
故选:D
7．已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，为坐标原点，若，则（ ）
A．3B．C．6D．
【答案】B
【分析】根据焦半径公式求出，从而可求得，再根据两点间的距离公式即可得解.
【详解】解：由题意可得，解得，
则，
故.
故选：B.
8．已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】由充分条件、必要条件的定义判断即可得解.
【详解】由题意，若，则，故充分性成立；
若，则或，推不出，故必要性不成立；
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
9．若变量满足约束条件，则的最大值为（ ）
A．2B．7C．8D．10
【答案】B
【分析】根据约束条件，作图表示可行域，根据目标函数的几何意义，可得答案.
【详解】在平面直角坐标系内，可行解域如下图所示:
平移直线，在可行解域内，经过点时，直线在纵轴上的截距最大，解二元一次方程组:的最大值为，
故选：B.
10．2022年11月30日7时33分，神舟十五号3名航天员顺利进驻中国空间站，与神舟十四号航天员乘组首次实现“太空会师”，一般来说，航天器绕地球运行的轨道近似看作为椭圆，其中地球的球心是这个椭圆的一个焦点，我们把椭圆轨道上距地心最近（远）的一点称作近（远）地点，近（远）地点与地球表面的距离称为近（远）地点高度.已知中国空间站在一个椭圆轨道上飞行，它的近地点高度约为351，远地点高度约为385，地球半径约为6400，则该轨道的离心率约为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据题意求出即可求解.
【详解】由题可知，，
，解得，
所以离心率为，
故选:A.
11．已知数列，定义数列为数列的“2倍差数列”.若的“2倍差数列”的通项公式，且，则数列的前项和（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由可得，从而得数列表示首项为，公差的等差数列，求得，再根据错位相减法即可得.
【详解】根据题意得，
，
数列表示首项为，公差的等差数列，
，
，
，
，
，
.
故选：A.
12．已知为双曲线的左､右焦点，过作的垂线分别交双曲线的左､右两支于两点(如图).若，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据已知条件和双曲线的定义可求得，，再在中运用余弦定理建立关于a，b，c的方程，可求得双曲线的渐近线方程得选项.
【详解】解：由，设，由得，，所以，
，又得，
，令，化简得：，得，所以渐近线方程为，
故选：C.
二、填空题
13．已知空间向量与共线，则______.
【答案】
【分析】根据空间向量共线坐标表示列方程求解的值，即可得的值.
【详解】空间向量与共线，则存在实数，使得，则，
解得，所以.
故答案为：.
14．写出一个离心率为的双曲线方程为___________.
【答案】（答案不唯一）
【分析】根据题意，由双曲线的离心率公式可得，即，假设双曲线的焦点在轴且，求出双曲线的标准方程，即可得答案．
【详解】根据题意，要求双曲线的离心率，则，
若双曲线的焦点在轴，令，则，，
则要求双曲线的方程为，
故答案为： (其他符合的也对)
15．已知命题是假命题，则实数的取值范围是___________.
【答案】
【分析】将问题等价转化为，恒成立，利用二次函数的性质即可求解.
【详解】命题是假命题，
即命题，是真命题，
也即在上恒成立，
令，
因为，所以当时函数取最小值，
即，所以，
故答案为：.
16．《墨经·经说下》中有这样一段记载：“光之人，煦若射，下者之人也高，高者之人也下，足蔽下光，故成景于上；首蔽上光，故成影于下.在远近有端，与于光，故景库内也.”这是中国古代对小孔成像现象的第一次描述.如图为一次小孔成像实验，若物距：像距，则像高为___________.
【答案】##1.5
【分析】利用余弦定理求得，再根据物距∶像距,即可求得答案.
【详解】由 ，则，
又，
则,
即，
又物距∶像距，
则，即像高为，
故答案为：．
三、解答题
17．设函数．
(1)当时，求关于x的不等式的解集；
(2)若关于x的不等式的解集为，求实数a的取值范围．
【答案】(1)或
(2)
【分析】（1）由一元二次不等式的解法求解，
（2）由题意列不等式组求解，
【详解】（1）当时，，即，
即，解得或，
所以当时，不等式的解集为或．
（2）当时，的解集为，满足题意；
当时，由，解得，
综上，实数a的取值范围是．
18．已知是公差不为的等差数列，，且、、成等比数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设等差数列的公差为，根据题中条件可得出关于的等式，解出的值，再利用等差数列的通项公式即可求得的表达式；
（2）求出数列的通项公式，利用裂项相消法可求得.
【详解】（1）设等差数列的公差为，，则，，且，
又因为、、成等比数列，所以，即，
又，解得，
所以.
（2）由（1）知，
所以.
19．在三角形中，内角所对的边分别为，
(1)求；
(2)若为锐角，，BC边上的中线长，求三角形的面积．
【答案】(1)或；
(2)．
【分析】⑴利用正弦定理进行边角互换，再结合求出；
⑵在三角形中利用余弦定理求出边，再利用三角形的面积公式求面积.
【详解】（1）在△ABC中，因为，由正弦定理得，
所以，即，又因为，所以，
因为B是三角形的内角，所以或．
（2）因为为锐角，所以，△ABC为等腰三角形，，在△ABC中，设AC＝BC＝2x，
在△ADC中，由余弦定理得，
解得x＝1，所以AC＝BC＝2，所以，
所以三角形的面积为．
20．如图四棱锥的底面是直角梯形，，，平面，点是的中点，.用空间向量知识解答下列问题：
(1)求证：平面；
(2)求平面与平面的夹角.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）以D为原点，DA，DC，DS分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用空间坐标运算证明线面垂直即可；
（2）由（1）确定平面平面与平面的法向量，根据坐标运算即可求得面面夹角的大小.
【详解】（1）证明：，平面，则DA，DC，DS两两垂直，如图，以D为原点，DA，DC，DS分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，，.
∴，，.
∴，∴，，
又，SA，平面，
∴平面.
（2）由（1）知为平面的一个法向量，
，.
设平面的法向量为，
则，令，则，.
∴平面的一个法向量为.
∴.
∴平面SAB与平面SBC的夹角为.
21．已知椭圆的左，右焦点分别为，离心率为.
(1)求椭圆的方程；
(2)椭圆上是否存在点使得？若存在，求的面积，若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)存在，面积为
【分析】(1)根据椭圆中的关系求解；
(2)根据可得，联立可求出，进而可求面积.
【详解】（1）椭圆的离心率为，
，解得.
椭圆的方程为.
（2）由（1）知，
假设椭圆上存在点，使得，
则，
即，
联立解得.
椭圆上存在点使得.
.
22．已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点与圆：（）的圆心重合，上一点到焦点的距离.
(1)求抛物线的方程；
(2)过焦点的直线与抛物线和圆从左向右依次交于，，，四点，且满足，求直线的方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据圆心即抛物线焦点位置，设抛物线标准方程为，再利用点在抛物线上和抛物线定义建立方程组，解出与即可；
（2）由为圆的直径，、为圆的半径，将化为，再设直线方程，与抛物线方程联立后，根据，坐标利用抛物线定义进行求解.
【详解】（1）∵，∴圆：（）的圆心在轴正半轴，
∴设抛物线的标准方程为，准线方程为，
∵在抛物线上，∴
又∵到焦点的距离，∴到准线的距离，
∴，∵，∴解得，
∴抛物线的方程为.
（2）由（1），圆：，
由题意，为圆的直径，，、为圆的半径，，
∵，∴，
∴，
设，，由抛物线定义，，，
∴，即，
由题意，直线的斜率存在，∴设直线的方程为，
由，消去，整理得（），
∴，.
∴，解得.
∴直线的方程为.
【点睛】在解决抛物线焦点弦有关的问题时，常常会使用抛物线的定义.本题利用已知条件中圆的半径和直径，将转化为即，再根据抛物线定义转化为，从而使问题可以通过联立直线与抛物线方程解决.