2022-2023学年河南省郑州市高二上学期期末数学试题含解析

这是一份2022-2023学年河南省郑州市高二上学期期末数学试题含解析，共15页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知，，若，则实数等于（ ）
A．B．C．D．6
【答案】C
【分析】由空间向量平行的坐标表示求解即可
【详解】因为，，且，
所以，
解得，
故选：C
2．若直线过两点，，则此直线的倾斜角是（ ）
A．30°B．45°C．60°D．90°
【答案】A
【分析】根据两点的斜率公式，算出直线的斜率，再由倾斜角与斜率的关系和倾斜角的范围，得出倾斜角的大小.
【详解】直线过点，
直线的斜率，即直线的倾斜角满足；
，
故选：A.
【点睛】本题主要考查利用两点的坐标求直线斜率与倾斜角的应用问题，属于基础题.
3．如图，在平行六面体中，（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由空间向量的加法的平行四边形法则和三角形法则，可得所求向量．
【详解】
连接，可得，又，
所以．
故选：B.
4．在平面直角坐标系中，椭圆的中心在原点，焦点、在轴上，离心率为，过的直线交椭圆于、两点，且的周长为，则椭圆的方程为（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】利用椭圆的定义可求得的值，结合椭圆的离心率公式可求得的值，进而可求得的值，结合椭圆的焦点位置可得出椭圆的标准方程.
【详解】由题意可知，的周长为，，
又因为椭圆的离心率为，可得，，
又因为椭圆的焦点在轴上，因此，椭圆的方程为.
故选：D.
5．已知双曲线,则C的焦点到其渐近线的距离为（ ）
A．B．C．2D．3
【答案】B
【分析】求出双曲线的焦点坐标及渐近线方程,根据双曲线的对称性,取其中一个焦点坐标和渐近线即可,根据点到直线的距离公式求出结果即可.
【详解】解:由题知双曲线,
即,
故焦点坐标为,
渐近线方程为:,
即,
由双曲线的对称性,
不妨取焦点到渐近线的距离,
故焦点到其渐近线的距离为.
故选:B
6．已知过点的直线与圆交于两点，则当弦最短时直线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据直线过定点，当时弦最短，由互相垂直的直线斜率乘积为，求出直线方程，然后由点斜式求出直线方程，可得答案.
【详解】因为直线过定点，
由，则圆心，半径，
当时，弦最短，此时直线的斜率，
所以直线的斜率，
故直线为，则.
故选：A.
7．抛物线的准线方程为，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先求得抛物线的标准方程，可得其准线方程，根据题意，列出方程，即可得答案.
【详解】由题意得抛物线的标准方程为，准线方程为，
又准线方程是，所以，
所以.
故选：C
8．若圆上总存在两个点到点的距离为2，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】将问题转化为圆与相交，从而可得，进而可求出实数a的取值范围.
【详解】到点的距离为2的点在圆上，
所以问题等价于圆上总存在两个点也在圆上，
即两圆相交，故，
解得或，
所以实数a的取值范围为，
故选：A．
9．在直三棱柱中， 侧棱长为4 ， 底面是边长为4的正三角形， 则异面直线 与所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】建立空间直角坐标系，利用向量的坐标运算求解夹角的余弦值.
【详解】由题意，取中点，建系如图所示的空间直角坐标系，
则,
所以,
所以，
所以与所成角的余弦值为，
故选:C.
10．希腊数学家阿波罗尼奥斯（约公元前262～公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k（且）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．已知，，圆上有且仅有一个点P满足，则r的取值可以为（ ）．
A．2B．3C．4D．5
【答案】D
【分析】设动点P的坐标，利用已知条件列出方程，化简可得点P的轨迹方程，由点P是圆 上有且仅有的一点，可得两圆相切，进而可求得r的值．
【详解】设动点 ，由，得 ，
整理得 ，即点P轨迹方程为，表示圆，
又点P是圆上有且仅有的一点
所以两圆相切,圆的圆心坐标为 ，半径为2，
圆的圆心坐标为 ，半径为r，两圆的圆心距为3，
当两圆外切时， ，得 ，
当两圆内切时， ， ，得 ．
故选∶D．
11．已知抛物线：，点为抛物线上任意一点，过点向圆：作切线，切点分别为，，则四边形的面积的最小值为（ ）
A．1B．2C．D．
【答案】C
【分析】由题意圆的圆心与抛物线的焦点重合，可得连接，则，而，所以当最小时，四边形的面积最小，再抛物线的定义转化为点到抛物线的准线的距离的最小值，结合抛物线的性质可求得结果
【详解】如图，连接，圆：，该圆的圆心与抛物线的焦点重合，半径为1，
则．
又，所以当四边形的面积最小时，最小．
过点向抛物线的准线作垂线，垂足为，则，
当点与坐标原点重合时，最小，此时．
故．
故选：C
12．如图，在四棱锥中，是以AD为斜边的等腰直角三角形，，，，E为PD的中点，则下列结论不正确的是（ ）
A．平面PAB
B．平面平面ABCD
C．点E到平面PAB的距离为
D．二面角的正弦值为
【答案】B
【分析】利用线面平行的判定定理即可判断A；几何法找二面角的平面角，确定角度大小即可判断B；建立空间直角坐标系，根据空间向量计算点到平面的距离，即可判断C；根据空间向量计算二面角的余弦值，进而求正弦值，从而判断D；
【详解】对于A：取的中点为，连接，
因为为的中点，所以，
所以四边形为平行四边形，所以，
因为平面，平面，所以平面，故A正确；
对于B：取为，连接所以，且，
又因为是等腰直角三角形，所以，
且平面，且，
所以平面，所以为平面与平面的夹角，
又因为，所以平面，且平面，所以，
，而，所以，故B错误；
对于C：以为原点，所在直线为轴，在平面内，作平面，建立如图所示空间直角坐标系，
则
因为 所以，
所以，
所以
设平面的法向量为，
则有即，令 则，
所以，所以点到平面的距离为，故C正确；
对于D：设平面的法向量为，
则有即，令则，
所以，
设二面角的大小为，则，
所以.故D正确.
故选：B
二、填空题
13．已知向量，，则______．
【答案】
【分析】求出向量的坐标，利用空间向量模长公式可求得的值.
【详解】因为向量，，则，
因此，.
故答案为：.
14．两圆与的公共弦所在直线的方程为______.
【答案】
【分析】两圆相减，消去即为答案.
【详解】与相减得：，即为公共弦所在直线的方程.
故答案为：
15．不论为何实数，直线恒过定点_________.
【答案】
【分析】直线方程转化为，再根据直线系方程求解即可.
【详解】解：将直线方程转化为，
所以直线过直线与的交点，
所以，联立方程，解得
所以，直线恒过定点
故答案为：
16．已知、为双曲线的两个焦点，、为上关于坐标原点对称的两点，且，若直线的倾斜角为，则的离心率为____．
【答案】##
【分析】由题意画出图形，可得为正三角形，进一步得到四边形为矩形，再由双曲线的定义求解得答案．
【详解】如图，
∵直线的倾斜角为，∴，
又，∴，可得为正三角形，
由对称性可得，四边形为矩形，得到，
由双曲线定义可得，，
∴，
故答案为：.
三、解答题
17．如图，在棱长为的正方体中，，分别是棱，上的动点，且，其中，以为原点建立空间直角坐标系.
(1)写出点，的坐标；
(2)求证：.
【答案】(1)，
(2)证明见解析
【分析】（1）根据空间直角坐标系中，的位置写出坐标；
（2）求出，证明出结论.
【详解】（1）根据空间直角坐标系可得，.
（2）∵，，
∴，.
即，
∴，
故.
18．已知的顶点．
(1)求边上的中线所在直线的方程；
(2)求经过点B，且在x轴上的截距和轴上的截距相等的直线的方程．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）先求得边中点坐标，然后得斜率，由点斜式得直线方程并化简；
（2）按直线是否过原点分类讨论．不过原点时设截距式方程求解．
【详解】（1）由已知边中点坐标为，中线斜率为，
中线所在直线方程为，即；
（2）当直线过原点时，斜率为，直线方程为，即，
直线不过原点时，设直线方程为，则，，直线方程为，即，
所以所求直线方程为或．
19．已知抛物线的顶点在原点，焦点在轴上，且过点.
(1)求抛物线的方程；
(2)若点也在抛物线上，且，求线段的长.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设抛物线的方程，将点A代入，即可求得抛物线的标准方程；
（2）由，可得直线的方程，代入抛物线方程得到点坐标，再求线段的长.
【详解】（1）抛物线的顶点在原点，焦点在轴上，且过点，则抛物线开口向上，
设抛物线，因为抛物线过点，所以，解得.
所以所求的抛物线方程为；
（2）因为，所以，
由，所以
所以的方程，由解得，
所以，即线段的长为.
20．已知圆C：（x-2）2＋（y-3）2＝4外有一点P（4，－1），过点P作直线l.
(1)当直线l与圆C相切时，求直线l的方程；
(2)当直线l的倾斜角为135°时，求直线l被圆C所截得的弦长．
【答案】(1)x＝4或3x＋4y-8＝0.
(2)
【分析】（1）对斜率存在和斜率不存在两种情况分类讨论，由点到直线的距离为半径即可求得直线方程；
（2）由倾斜角可写出直线方程，求出点到直线的距离，再由勾股定理即可求出弦长.
【详解】（1）由题意知，圆C的圆心为（2，3），半径r＝2
当斜率不存在时，直线l的方程为x＝4，此时圆C与直线l相切；
当斜率存在时，设直线l的方程为y＋1＝k（x－4），即kx－y－4k－1＝0，
则圆心到直线的距离为即，解得，
所以此时直线l的方程为3x＋4y-8＝0.
综上，直线l的方程为x＝4或3x＋4y-8＝0.
（2）当直线l的倾斜角为135°时，直线l的方程为x＋y-3＝0，
圆心到直线l的距离
故所求弦长为：.
21．如图，已知平面ABCD，底面ABCD为正方形，，M，N分别为AB，PC的中点．
(1)求线段MN的长；
(2)求PD与平面PMC所成角的正弦值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意可知，建立空间直角坐标系分别求得M，N两点坐标，即可求得线段MN的长；（2）利用空间向量在立体几何中的应用，求出与平面PMC的法向量的夹角即可求出结果.
【详解】（1）根据题意，分别以所在直线为轴、轴、轴，以为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系：
则
N分别为PC的中点，所以，
易知，所以
（2）易得，
设平面的法向量为
则，令，则；
所以
设直线与平面所成角为，
则，
即PD与平面PMC所成角的正弦值为
22．已知椭圆上有点，左、右焦点分别为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若点Q为椭圆的上顶点，椭圆上有异于Q的两点 满足，求证：直线恒过定点．
【答案】(1).
(2)证明见解析.
【分析】（1）根据题意可求得的值，即得答案.
（2）当直线斜率存在时，设出直线方程并和椭圆方程联立，得到根与系数的关系式，结合化简可得参数的关系式，从而化简直线方程，可得定点坐标，当直线斜率不存在时，可同理推得直线过该定点.
【详解】（1）根据椭圆定义得，，即 ，
，故椭圆的标准方程为．
（2）证明：设，当直线斜率存在时，设直线方程：，
则由题意得，将，代入整理得：
（*），
将代入椭圆方程整理得，
需满足 ，则，
代入（*）式得：，
整理得，
当时，过B点，不合题意；
故，直线的方程为，
故此时过定点；
当直线斜率不存在时，设方程为，代入可得 ，
不妨设，
由可得 ，解得，
此时方程为，也过定点，
综合上述，过定点.
【点睛】方法点睛：关于直线和圆锥曲线的位置关系涉及直线过定点的问题，一般方法是设出直线方程，并和圆锥曲线方程联立，应用根与系数的关系式结合条件表示出参数之间的关系，从而将直线看作直线系方程，分离参数即可求得定点，同时要注意直线斜率不存在的情况.