2004年广东省深圳市中考数学试卷

这是一份2004年广东省深圳市中考数学试卷，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1．（3分）16的平方根是（ ）
A．4B．±4C．﹣4D．±8
2．（3分）下列等式正确的是（ ）
A．（﹣x2）3＝﹣x5B．x8÷x4＝x2C．x3+x3＝2x3D．（xy）3＝xy3
3．（3分）不等式组的解集在数轴上的表示正确的是（ ）
A．B．
C．D．
4．（3分）已知⊙O1的半径是3，⊙O2的半径是4，O1O2＝8，则这两圆的位置关系是（ ）
A．相交B．相切C．内含D．外离
5．（3分）学校开展为贫困地区捐书活动，以下是八名学生捐书的册数：2，2，2，3，6，5，6，7，则这组数据的中位数为（ ）
A．2B．3C．4D．4.5
6．（3分）下列图中：①线段；②正方形；③圆；④等腰梯形；⑤平行四边形是轴对称图形，但不是中心对称图形有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
7．（3分）函数y＝x2﹣2x+3的图象的顶点坐标是（ ）
A．（1，﹣4）B．（﹣1，2）C．（1，2）D．（0，3）
8．（3分）如图，⊙O的两弦AB、CD相交于点M，AB＝8cm，M是AB的中点，CM：MD＝1：4，则CD＝（ ）
A．12cmB．10cmC．8cmD．5cm
9．（3分）圆内接四边形ABCD中，AC平分∠BAD，EF切圆于C，若∠BCD＝120°，则∠BCE＝（ ）
A．30°B．40°C．45°D．60°
10．（3分）抛物线过点A（2，0）、B（6，0）、C（1，），平行于x轴的直线CD交抛物线于点C、D，以AB为直径的圆交直线CD于点E、F，则CE+FD的值是（ ）
A．2B．4C．5D．6
二、填空题（共5小题，每小题3分，满分15分）
11．（3分）分解因式：x2﹣9y2+2x﹣6y＝ ．
12．（3分）函数y＝的自变量x的取值范围为 ．
13．（3分）计算：3tan30°+ct45°﹣2tan45°+2cs60°＝ ．
14．（3分）一个等腰三角形的两边长分别是2cm、5cm，则它的周长为 cm．
15．（3分）在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE⊥BC，垂足为E，连接DE交AC于点P，过P作PF⊥BC，垂足为F，则的值是 ．
三、解答题（共6小题，满分55分）
16．（7分）计算：|1﹣|++（π﹣）0．
17．（8分）解方程组：．
18．（8分）在深圳“净畅宁”行动中，有一块面积为150亩的绿化工程面向全社会公开招标．现有甲、乙两工程队前来竞标，甲队计划比规定时间少4天，乙按规划时间完成．甲队比乙队每天多绿化10亩，问：规定时间是多少天？
19．（10分）已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣6x+k＝0的两个实数根，且x12x22﹣x1﹣x2＝115．
（1）求k的值；
（2）求x12+x22+8的值．
20．（10分）等腰梯形ABCD中，如图1，AB∥CD，AD＝BC，延长AB到E，使BE＝CD，连接CE．
（1）求证：CE＝CA；
（2）上述条件下，如图2，若AF⊥CE于点F，且AF平分∠DAE，，求sin∠CAF的值．
21．（12分）直线y＝﹣x+m与直线y＝x+2相交于y轴上的点C，与x轴分别交于点A、B．
（1）求A、B、C三点的坐标；
（2）经过上述A、B、C三点作⊙E，求∠ABC的度数，点E的坐标和⊙E的半径；
（3）若点P是第一象限内的一动点，且点P与圆心E在直线AC的同一侧，直线PA、PC分别交⊙E于点M、N，设∠APC＝θ，试求点M、N的距离．（可用含θ的三角函数式表示）
2004年广东省深圳市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1．（3分）16的平方根是（ ）
A．4B．±4C．﹣4D．±8
【分析】根据平方根的定义，求数a的平方根，也就是求一个数x，使得x2＝a，则x就是a的一个平方根．
【解答】解：∵（±4）2＝16，
∴16的平方根是±4．
故选：B．
【点评】本题主要考查了平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数，0的平方根是0，负数没有平方根．
2．（3分）下列等式正确的是（ ）
A．（﹣x2）3＝﹣x5B．x8÷x4＝x2C．x3+x3＝2x3D．（xy）3＝xy3
【分析】根据积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；同底数幂相除，底数不变指数相减；合并同类项，只把系数相加减，字母与字母的次数不变，对各选项计算后利用排除法求解．
【解答】解：A、应为（﹣x2）3＝﹣x6，故本选项错误；
B、应为x8÷x4＝x6，故本选项错误；
C、x3+x3＝2x3，正确；
D、（xy）3＝x3y3，故本选项错误．
故选：C．
【点评】本题考查合并同类项，积的乘方的性质，同底数幂的除法，熟练掌握运算性质是解题的关键．
3．（3分）不等式组的解集在数轴上的表示正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】先分别求出各不等式的解集，再求其公共解集即可．
【解答】解：由（1）得x≥﹣1，
由（2）得x≤3，
根据“小大大小中间找”的原则可知
不等式组的解集为﹣1≤x≤3．
故选：D．
【点评】把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．求不等式组的解集应遵循“同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了”的原则．
4．（3分）已知⊙O1的半径是3，⊙O2的半径是4，O1O2＝8，则这两圆的位置关系是（ ）
A．相交B．相切C．内含D．外离
【分析】根据数量关系来判断两圆的位置关系．设两圆的半径分别为R和r，且R≥r，圆心距为d：外离，则d＞R+r．外切，则d＝R+r．相交，则R﹣r＜d＜R+r．内切，则d＝R﹣r．内含，则d＜R﹣r．
【解答】解：∵⊙O1的半径是3，⊙O2的半径是4，O1O2＝8，
则3+4＝7＜8，
∴两圆外离．
故选：D．
【点评】本题考查了两圆的位置关系与数量之间的联系．
5．（3分）学校开展为贫困地区捐书活动，以下是八名学生捐书的册数：2，2，2，3，6，5，6，7，则这组数据的中位数为（ ）
A．2B．3C．4D．4.5
【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数．
【解答】解：题目中数据共有8个，
按从小到大排列为2，2，2，3，5，6，6，7，
故中位数是第4，第5两个数的平均数作为中位数，
故这组数据的中位数是（3+5）＝4．
故选：C．
【点评】本题属于基础题，考查了确定一组数据的中位数的能力．要明确定义，一些学生往往对这个概念掌握不清楚，计算方法不明确而误选其它选项．注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求．如果是偶数个则找中间两位数的平均数．
6．（3分）下列图中：①线段；②正方形；③圆；④等腰梯形；⑤平行四边形是轴对称图形，但不是中心对称图形有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】结合线段、正方形、圆、等腰梯形、平行四边形的性质并根据轴对称图形和中心对称图形的概念即可解答．
【解答】解：①，②，③既是轴对称图形又是中心对称的图形；
④只是轴对称图形，但不是中心对称图形；
⑤只是中心对称图形．
故选：A．
【点评】此题考查了轴对称图形和中心对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180度后与原图形重合．
7．（3分）函数y＝x2﹣2x+3的图象的顶点坐标是（ ）
A．（1，﹣4）B．（﹣1，2）C．（1，2）D．（0，3）
【分析】利用配方法化简y＝x2﹣2x+3可以得到y＝（x﹣1）2+2，由此即可确定顶点的坐标．
【解答】解：∵y＝x2﹣2x+3
＝x2﹣2x+1+2
＝（x﹣1）2+2，
故顶点的坐标是（1，2）．
故选：C．
【点评】考查求抛物线的顶点坐标的方法．
8．（3分）如图，⊙O的两弦AB、CD相交于点M，AB＝8cm，M是AB的中点，CM：MD＝1：4，则CD＝（ ）
A．12cmB．10cmC．8cmD．5cm
【分析】根据相交弦定理“圆内两弦相交于圆内一点，各弦被这点所分得的两线段的长的乘积相等”进行计算．
【解答】解：∵CM：DM＝1：4
∴DM＝4CM
又AB＝8，M是AB的中点
∴MA＝MB＝4cm
由相交弦定理得：MA•MB＝MC•MD
即4×4＝MC•4MC
解得MC＝2cm
∴CD＝MC+MD＝MC+4MC＝10cm．
故选：B．
【点评】本题主要考查相交弦定理“圆内两弦相交于圆内一点，各弦被这点所分得的两线段的长的乘积相等”的应用．
9．（3分）圆内接四边形ABCD中，AC平分∠BAD，EF切圆于C，若∠BCD＝120°，则∠BCE＝（ ）
A．30°B．40°C．45°D．60°
【分析】由弦切角定理可得：∠BCE＝∠BAC；因此欲求∠BCE，必先求出∠BAC的度数．已知∠BCD＝120°，由圆内接四边形的对角互补，可得出∠BAD＝60°，而AC平分∠BAD，即可求出∠BAC的度数．
【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠BAD+∠BCD＝180°，
∴∠BAD＝180°﹣120°＝60°，
∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC＝∠BAD＝30°，
∵EF切⊙O于C，
∴∠BCE＝∠BAC＝30°．故选：A．
【点评】本题主要考查弦切角定理和圆内接四边形的性质，解题的关键是得出∠BAD＝60°．
10．（3分）抛物线过点A（2，0）、B（6，0）、C（1，），平行于x轴的直线CD交抛物线于点C、D，以AB为直径的圆交直线CD于点E、F，则CE+FD的值是（ ）
A．2B．4C．5D．6
【分析】根据题意，G为直径AB的中点，连接GE，过G点作GH⊥CD于H．知CE+FD＝CD﹣EF＝CD﹣2EH，分别求出CD，EF即可．
【解答】解：由题意得：
D点坐标为（7，），
如图，G为直径AB的中点，连接GE，过G点作GH⊥CD于H．
则GH＝，EG＝2，
则EH＝＝1
∴CE+FD＝CD﹣EF＝CD﹣2EH＝6﹣2＝4．
故选：B．
【点评】此题首先要正确分析出各点的坐标，然后根据两点的坐标进行计算．
二、填空题（共5小题，每小题3分，满分15分）
11．（3分）分解因式：x2﹣9y2+2x﹣6y＝ （x﹣3y）（x+3y+2） ．
【分析】当被分解的式子是四项时，应考虑运用分组分解法进行分解．本题一二项可组成平方差公式，三四项有公因式，故一二项为一组，三四项一组．
【解答】解：x2﹣9y2+2x﹣6y，
＝（x2﹣9y2）+（2x﹣6y），
＝（x+3y）（x﹣3y）+2（x﹣3y），
＝（x﹣3y）（x+3y+2）．
【点评】本题考查用分组分解法进行因式分解．难点是采用两两分组还是三一分组．本题一二项可组成平方差公式，三四项有公因式，故一二项为一组，三四项一组．
12．（3分）函数y＝的自变量x的取值范围为 x≥﹣1且x≠1 ．
【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，就可以求解．
【解答】解：根据题意得：，
解得：x≥﹣1且x≠1．
【点评】函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．
13．（3分）计算：3tan30°+ct45°﹣2tan45°+2cs60°＝ ．
【分析】运用特殊角的三角函数值求解．
【解答】解：3tan30°+ct45°﹣2tan45°+2cs60°＝3×+1﹣2×1﹣2×＝．
【点评】本题考查特殊角三角函数值的计算，特殊角三角函数值计算在中考中经常出现，要掌握特殊角度的三角函数值．
14．（3分）一个等腰三角形的两边长分别是2cm、5cm，则它的周长为 12 cm．
【分析】本题没有明确说明已知的边长那一条是腰长，所以需要分两种情况讨论．
【解答】解：分两种情况讨论
①腰长为5时，三边为5、5、2，满足三角形的性质，周长＝5+5+2＝12cm；
②腰长为2cm时，三边为5、2、2，
∵2+2＝4＜5，
∴不满足构成三角形．
∴周长为12cm．
故答案为：12．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
15．（3分）在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE⊥BC，垂足为E，连接DE交AC于点P，过P作PF⊥BC，垂足为F，则的值是 ．
【分析】根据题意易证△OBE∽△DBC和△EPF∽△EDC，利用相似三角形的相似比求解．
【解答】解：∵OB＝OD＝BD，OE⊥BC，CD⊥BC，
∴△OBE∽△DBC，
∴OE：CD＝1：2，
∵OE∥CD，
∴△OEP∽△CDP，
∴，
∵PF∥DC，
∴△EPF∽△EDC，
∴，
∵CE＝BC，
∴＝．
故答案为．
【点评】本题考查对相似三角形性质的理解．相似三角形对应边的比相等．
三、解答题（共6小题，满分55分）
16．（7分）计算：|1﹣|++（π﹣）0．
【分析】本题涉及零指数幂、绝对值、二次根式化简三个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
【解答】解：原式＝﹣1+﹣+1＝．
【点评】本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．
17．（8分）解方程组：．
【分析】此题可用消元法，（1）﹣（2）把y消去再求解．
【解答】解：，
（1）﹣（2）得x2+3x﹣10＝0，
解得：x1＝﹣5，x2＝2，
代入（2）得：y1＝﹣20，y2＝1，
故原方程组的解为，．
【点评】此题很简单，只要用（1）﹣（2）即可消去y，再解关于x的一元二次方程即可．
18．（8分）在深圳“净畅宁”行动中，有一块面积为150亩的绿化工程面向全社会公开招标．现有甲、乙两工程队前来竞标，甲队计划比规定时间少4天，乙按规划时间完成．甲队比乙队每天多绿化10亩，问：规定时间是多少天？
【分析】求的是时间，工作总量为150，一定是根据工作效率来列等量关系，本题的关键描述语是：甲队比乙队每天多绿化10亩．等量关系为：甲工效﹣乙工效＝10．
【解答】解：设规定时间为x天，
则，
解得x＝10或x＝﹣6（不合题意，舍去），
经检验x＝10是原方程的解．
答：规定时间是10天．
【点评】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．涉及到的公式：工作总量＝工作效率×工作时间．
19．（10分）已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣6x+k＝0的两个实数根，且x12x22﹣x1﹣x2＝115．
（1）求k的值；
（2）求x12+x22+8的值．
【分析】（1）方程有两个实数根，必须满足△＝b2﹣4ac≥0，从而求出实数k的取值范围，再利用根与系数的关系，x12x22﹣x1﹣x2＝115．即x12x22﹣（x1+x2）＝115，即可得到关于k的方程，求出k的值．
（2）根据（1）即可求得x1+x2与x1x2的值，而x12+x22+8＝（x1+x2）2﹣2x1x2+8即可求得式子的值．
【解答】解：（1）∵x1，x2是方程x2﹣6x+k＝0的两个根，
∴x1+x2＝6，x1x2＝k，
∵x12x22﹣x1﹣x2＝115，
∴k2﹣6＝115，
解得k1＝11，k2＝﹣11，
当k1＝11时，△＝36﹣4k＝36﹣44＜0，
∴k1＝11不合题意
当k2＝﹣11时，△＝36﹣4k＝36+44＞0，
∴k2＝﹣11符合题意，
∴k的值为﹣11；
（2）∵x1+x2＝6，x1x2＝﹣11
∴x12+x22+8＝（x1+x2）2﹣2x1x2+8＝36+2×11+8＝66．
【点评】总结：（1）一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
①△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；
②△＝0⇔方程有两个相等的实数根；
③△＜0⇔方程没有实数根．
（2）根与系数的关系是：x1+x2＝，x1x2＝．
根据根与系数的关系把x12x22﹣x1﹣x2＝115转化为关于k的方程，解得k的值是解决本题的关键．
20．（10分）等腰梯形ABCD中，如图1，AB∥CD，AD＝BC，延长AB到E，使BE＝CD，连接CE．
（1）求证：CE＝CA；
（2）上述条件下，如图2，若AF⊥CE于点F，且AF平分∠DAE，，求sin∠CAF的值．
【分析】（1）根据等腰梯形的性质可得出AC＝BD，而CDBE，因此四边形CEBD是平行四边形，CE＝BD，因此可得出CE＝CA；
（2）要求∠CAF的正弦值，就要知道，CF和AC的比例关系．由于BD∥CE，AF⊥CE，那么AF⊥BD，而AF平分∠DAB，因此AF垂直平分BD，如果设AF，BD交于O点，那么BO＝BD＝AC＝CE．根据CD：AE＝2：5，即BE：AE＝2：5，可得出AB：AE＝3：5，有BO∥CE，得出BO：EF＝AB：AE，也就求出了EF和CE的比例关系，便可得出CF和EC的比例关系，由于CE＝AC，因此也就得出了CF和AC的比例关系即可得出∠CAF的正弦值．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是等腰梯形
∴AC＝BD，CD∥BE，
∵CD＝BE，
∴四边形DBEC是平行四边形
∴CE＝BD，
∴CE＝CA；
（2）解：∵CD＝BE，且，
∴＝
∵AF⊥EC，BD∥EC
∴AF⊥BD，
设AC与BD的交点为O，
∵AF平分∠DAB，
∴∠BAO＝∠DAO，
在△BAO与△DAO中，
，
∴△BAO≌△DAO，
∴BO＝DO，
∴AF垂直平分BD，即BO＝BD＝AC＝CE，
∵BO∥CE，
∴＝＝，即＝，
∴EF＝CE，
∴CF＝CE＝AC，
∴sin∠CAF＝＝．
【点评】本题主要考查了等腰梯形的性质，相似三角形的性质等知识点的应用，本题中通过AF垂直平分BD得出BO＝BD，进而求出EF和CE的关系是解题的关键．
21．（12分）直线y＝﹣x+m与直线y＝x+2相交于y轴上的点C，与x轴分别交于点A、B．
（1）求A、B、C三点的坐标；
（2）经过上述A、B、C三点作⊙E，求∠ABC的度数，点E的坐标和⊙E的半径；
（3）若点P是第一象限内的一动点，且点P与圆心E在直线AC的同一侧，直线PA、PC分别交⊙E于点M、N，设∠APC＝θ，试求点M、N的距离．（可用含θ的三角函数式表示）
【分析】（1）直线y＝x+2与y轴的交点可以求出，把这点的坐标就可以求出直线y＝﹣x+m的解析式，两个函数与x轴的交点就可以求出；
（2）根据三角函数可以求出角的度数．根据OC、OA、OB的长度根据三角函数可以根据三角函数求出角的度数；
（3）根据正弦定理就可以解决．
【解答】解：（1）直线y＝x+2中令x＝0，
解得y＝2，因而C点的坐标是（0，2），
把（0，2）代入直线y＝﹣x+m，
解得m＝2，
∴解析式是y＝﹣x+2，
令y＝0，解得x＝2，则A点的坐标是（2，0），在y＝x+2中令y＝0，
解得x＝2则B的坐标是（2，0）；
（2）根据A、B、C的坐标得到OC＝2，OA＝2，OB＝2，根据三角函数得到∠ABC＝30°．
连接AE，CE，则∠AEC＝60°，
∴△ACE是等边三角形，边长是2，
因而E的坐标是（，+1），半径是2；
（3）如图所示：MN为⊙E中任一弦，它对的圆周角为∠B，当AM为直径，
则∠ANM为直角，则sinB＝sinA＝
即MN＝AM•sinA①（其实就是正弦定理），这是本题的解题的理论基础．
（I）当点P在⊙E外时，如图连接AN，
则∠MAN＝∠ANC﹣∠P＝∠ABC﹣∠P＝30°﹣θ
由①得：MN＝4sin（30°﹣θ）；
（II）当P在⊙E内时同理可得：MN＝4sin（θ﹣30°）其它情况研究方法相同，
（III）当P在⊙E上时，MN＝0．
【点评】本题主要考查了待定系数法求函数解析式，并且考查了三角函数的定义．
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日期：2021/6/18 15:45:27；用户：初中数学；邮箱：sxljy01@xyh.cm；学号：24425668

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