2006年广东省深圳市中考数学试卷

这是一份2006年广东省深圳市中考数学试卷，共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）﹣3的绝对值是（ ）
A．3B．﹣3C．D．
2．（3分）如图所示，圆柱的俯视图是（ ）
A．B．C．D．
3．（3分）今年1﹣5月份，深圳市累计完成地方一般预算收入216.58亿元，数据216.58亿精确到（ ）
A．百亿位B．亿位C．百万位D．百分位
4．（3分）下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
5．（3分）下列不等式组的解集，在数轴上表示为如图所示的是（ ）
A． B． C． D．
6．（3分）班主任为了解学生星期六、日在家的学习情况，家访了班内的六位学生，了解到他们在家的学习时间如下表所示．那么这六位学生学习时间的众数与中位数分别是（ ）
A．4小时和4.5小时B．4.5小时和4小时
C．4小时和3.5小时D．3.5小时和4小时
7．（3分）函数（k≠0）的图象如图所示，那么函数y＝kx﹣k的图象大致是（ ）
A．B．C．D．
8．（3分）初三的几位同学拍了一张合影作留念，已知冲一张底片需要0.80元，洗一张相片需要0.35元．在每位同学得到一张相片、共用一张底片的前提下，平均每人分摊的钱不足0.5元，那么参加合影的同学人数（ ）
A．至多6人B．至少6人C．至多5人D．至少5人
9．（3分）如图，王华晚上由路灯A下的B处走到C处时，测得影子CD的长为1米，继续往前走3米到达E处时，测得影子EF的长为2米，已知王华的身高是1.5米，那么路灯A的高度AB等于（ ）
A．4.5米B．6米C．7.2米D．8米
10．（3分）如图，在▱ABCD中，AB：AD＝3：2，∠ADB＝60°，那么cs∠A的值等于（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（共5小题，每小题3分，满分15分）
11．（3分）某商场在“五•一”期间推出购物摸奖活动，摸奖箱内有除颜色以外完全相同的红色、白色乒乓球各两个．顾客摸奖时，一次摸出两个球，如果两个球的颜色相同就得奖，颜色不同则不得奖．那么顾客摸奖一次，得奖的概率是 ．
12．（3分）化简：＝ ．
13．（3分）如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA，对角线AC与BD相交于点O，若不增加任何字母与辅助线，要使四边形ABCD是正方形，则还需增加一个条件是 ．
14．（3分）人民公园的侧门口有9级台阶，小聪一步只能上1级台阶或2级台阶，小聪发现当台阶数分别为1级、2级、3级、4级、5级、6级、7级…逐渐增加时，上台阶的不同方法的种数依次为：1，2，3，5，8，13，21…这就是著名的斐波那契数列．那么小聪上这9级台阶共有 种不同方法．
15．（3分）在△ABC中，AB边上的中线CD＝3，AB＝6，BC+AC＝8，则△ABC的面积为 ．
三、解答题（共7小题，满分55分）
16．（6分）计算：﹣22+sin45°﹣2﹣1+（3.14﹣π）0．
17．（6分）解方程：．
18．（7分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC＝AD，∠ADC＝120°．
（1）求证：BD⊥DC；
（2）若AB＝4，求梯形ABCD的面积．
19．（8分）某中学图书馆将图书分为自然科学、文学艺术、社会百科、数学四类，在“深圳读书月”活动月期间，为了解图书的借阅情况．图书管理员对本月各类图书的借阅量进行了统计，图1和图2是图书管理员通过采集数据后，绘制的两幅不完整的频率分布表与频数分布直方图．请你根据图表中提供的信息，解答以下问题：
频率分布表：
（1）填充图1频率分布表中的空格；
（2）在图2中，将表示“自然科学”的部分补充完整；
（3）若该学校打算采购一万册图书，请你估算“数学”类图书应采购多少册较合适；
（4）请同学们改用扇形统计图来反映图书馆的借书情况．
20．（8分）工艺商场按标价销售某种工艺品时，每件可获利45元；按标价的八五折销售该工艺品8件与将标价降低35元销售该工艺品12件所获利润相等．
（1）该工艺品每件的进价、标价分别是多少元？
（2）若每件工艺品按（1）中求得的进价进货，标价售出，工艺商场每天可售出该工艺品100件．若每件工艺品降价1元，则每天可多售出该工艺品4件．问每件工艺品降价多少元出售，每天获得的利润最大？获得的最大利润是多少元？
21．（10分）如图，抛物线y＝ax2﹣8ax+12a（a＜0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），抛物线上另有一点C在第一象限，满足∠ACB为直角，且恰使△OCA∽△OBC．
（1）求线段OC的长；
（2）求该抛物线的函数关系式；
（3）在x轴上是否存在点P，使△BCP为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的P点的坐标；若不存在，请说明理由．
22．（10分）如图1，在平面直角坐标系xOy中，点M在x轴的正半轴上，⊙M交x轴于A、B两点，交y轴于C、D两点，且C为的中点，AE交y轴于G点，若点A的坐标为（﹣2，0），AE＝8．
（1）求点C的坐标；
（2）连接MG、BC，求证：MG∥BC；
（3）如图2，过点D作⊙M的切线，交x轴于点P．动点F在⊙M的圆周上运动时，的比值是否发生变化？若不变，求出比值；若变化，说明变化规律．
2006年广东省深圳市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1．（3分）﹣3的绝对值是（ ）
A．3B．﹣3C．D．
【分析】根据一个负数的绝对值等于它的相反数得出．
【解答】解：|﹣3|＝﹣（﹣3）＝3．
故选：A．
【点评】考查绝对值的概念和求法．绝对值规律总结：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．
2．（3分）如图所示，圆柱的俯视图是（ ）
A．B．C．D．
【分析】找到从上面看所得到的图形即可．
【解答】解：圆柱由上向下看，看到的是一个圆．
故选：C．
【点评】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．
3．（3分）今年1﹣5月份，深圳市累计完成地方一般预算收入216.58亿元，数据216.58亿精确到（ ）
A．百亿位B．亿位C．百万位D．百分位
【分析】考查近似数的精确度，要求由近似数能准确地说出它的精确度．216.58亿元中的5虽然是小数点后的第一位，但它表示5千万，同样8表示8百万，所以216.58亿元精确到百万位．
【解答】解：根据分析得：216.58亿元精确到百万位．
故选：C．
【点评】本题主要考查学生对近似数的精确度理解是否深刻，这是一个非常好的题目．许多同学不假思考地误选D，通过该题培养学生认真审题的能力和端正学生严谨治学的态度．
4．（3分）下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项正确；
B、是轴对称图形，故本选项错误；
C、是轴对称图形，故本选项错误；
D、是轴对称图形，故本选项错误．
故选：A．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
5．（3分）下列不等式组的解集，在数轴上表示为如图所示的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】分别解出各个不等式组，进行检验就可以．
【解答】解：由A得，∴不等式组无解；
由B得，∴不等式组的解集为x＜﹣2；
由C得，∴不等式组无解；
由D得，∴不等式组的解集为﹣1＜x≤2．
故选：D．
【点评】命题立意：考查不等式组的解法．
求不等式组解集的规律：同大取大，同小取小，大小、小大取中间，大大、小小是无解．
6．（3分）班主任为了解学生星期六、日在家的学习情况，家访了班内的六位学生，了解到他们在家的学习时间如下表所示．那么这六位学生学习时间的众数与中位数分别是（ ）
A．4小时和4.5小时B．4.5小时和4小时
C．4小时和3.5小时D．3.5小时和4小时
【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不只一个．
【解答】解：从小到大排列此数据为：3，4，4，5，6，8，数据4出现了2次最多为众数．4，5处在第5位和6位，
其平均数4.5为中位数，
所以本题这组数据的中位数是4.5，众数是4．
故选：A．
【点评】本题属于基础题，考查了确定一组数据的中位数和众数的能力．一些学生往往对这个概念掌握不清楚，计算方法不明确而误选其它选项．注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求．如果是偶数个则找中间两位数的平均数．
7．（3分）函数（k≠0）的图象如图所示，那么函数y＝kx﹣k的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】首先由反比例函数y＝的图象位于第二、四象限，得出k＜0，则﹣k＞0，所以一次函数图象经过第二四象限且与y轴正半轴相交．
【解答】解：∵反比例函数y＝的图象位于第二、四象限，
∴k＜0，﹣k＞0．
∵k＜0，∴函数y＝kx﹣k的图象过二、四象限．
又∵﹣k＞0，
∴函数y＝kx﹣k的图象与y轴相交于正半轴，
∴一次函数y＝kx﹣k的图象过一、二、四象限．
故选：C．
【点评】本题考查的知识点：
（1）反比例函数y＝的图象是双曲线，当k＜0时，它的两个分支分别位于第二、四象限．
（2）一次函数y＝kx+b的图象当k＜0，b＞0时，函数y＝kx+b的图象经过第一、二、四象限．
8．（3分）初三的几位同学拍了一张合影作留念，已知冲一张底片需要0.80元，洗一张相片需要0.35元．在每位同学得到一张相片、共用一张底片的前提下，平均每人分摊的钱不足0.5元，那么参加合影的同学人数（ ）
A．至多6人B．至少6人C．至多5人D．至少5人
【分析】本题可设参加合影的人数为x，根据平均每人分摊的钱不足0.5元，列出不等式，解出x即可．
【解答】解：设参加合影的人数为x，
则有：0.35x+0.8＜0.5x
﹣0.15x＜﹣0.8
x＞5
所以至少6人．
故选：B．
【点评】本题考查的是不等式的运用，解此类题目时常常是先设出未知数，再根据题意列出不等式、求解．
9．（3分）如图，王华晚上由路灯A下的B处走到C处时，测得影子CD的长为1米，继续往前走3米到达E处时，测得影子EF的长为2米，已知王华的身高是1.5米，那么路灯A的高度AB等于（ ）
A．4.5米B．6米C．7.2米D．8米
【分析】由于人和地面是垂直的，即和路灯到地面的垂线平行，构成两组相似．根据对应边成比例，列方程解答即可．
【解答】解：如图，GC⊥BC，AB⊥BC，
∴GC∥AB，
∴△GCD∽△ABD（两个角对应相等的两个三角形相似），
∴，
设BC＝x，则，
同理，得，
∴，
∴x＝3，
∴，
∴AB＝6．
故选：B．
【点评】本题考查相似三角形性质的应用．在解答相似三角形的有关问题时，遇到有公共边的两对相似三角形，往往会用到中介比，它是解题的桥梁，如该题中的“”．
10．（3分）如图，在▱ABCD中，AB：AD＝3：2，∠ADB＝60°，那么cs∠A的值等于（ ）
A．B．C．D．
【分析】作出辅助线，构造直角三角形，运用三角形面积相等，求出三角形的高，然后运用sin2α+cs2α＝1，根据题中所给的条件，在直角三角形中解题，由角的余弦值与三角形边的关系求解．
【解答】解：作AF⊥DB于F，作DE⊥AB于E．
设DF＝x，则AD＝2x，
∵∠ADB＝60°，
∴AF＝x，
又∵AB：AD＝3：2，
∴AB＝3x，于是BF＝x，
∴3x•DE＝（+1）x•x，
DE＝x，sin∠A＝，
cs∠A＝＝．
故选：A．
【点评】考查三角函数的定义及三角形面积公式．
二、填空题（共5小题，每小题3分，满分15分）
11．（3分）某商场在“五•一”期间推出购物摸奖活动，摸奖箱内有除颜色以外完全相同的红色、白色乒乓球各两个．顾客摸奖时，一次摸出两个球，如果两个球的颜色相同就得奖，颜色不同则不得奖．那么顾客摸奖一次，得奖的概率是 ．
【分析】列举出所有情况，看所求的情况占总情况的多少即可．
【解答】解：一次摸出两个球的所有情况有（红1，红2），（红1，白1），（红1，白2），（红2，白1），
（红2，白2），（白1，白2）6种，其中两球颜色相同的有2种．
所以得奖的概率是．
故答案为：
【点评】考查概率的概念和求法．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
12．（3分）化简：＝ ．
【分析】根据异分母分式加减，先通分，把异分母分式化为同分母分式，然后再相加减．
【解答】解：
＝
＝
＝．
【点评】命题立意：考查异分母分式的加减法和学生的计算能力．
13．（3分）如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA，对角线AC与BD相交于点O，若不增加任何字母与辅助线，要使四边形ABCD是正方形，则还需增加一个条件是 AC＝BD或AB⊥BC ．
【分析】根据菱形的判定定理及正方形的判定定理即可解答．
【解答】解：∵在四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA
∴四边形ABCD是菱形
∴要使四边形ABCD是正方形，则还需增加一个条件是：AC＝BD或AB⊥BC．
【点评】解答此题的关键是熟练掌握正方形的判定定理，即有一个角是直角的菱形是正方形．
14．（3分）人民公园的侧门口有9级台阶，小聪一步只能上1级台阶或2级台阶，小聪发现当台阶数分别为1级、2级、3级、4级、5级、6级、7级…逐渐增加时，上台阶的不同方法的种数依次为：1，2，3，5，8，13，21…这就是著名的斐波那契数列．那么小聪上这9级台阶共有 55 种不同方法．
【分析】根据斐波那契数列的特点：数列从第三项开始，每一项都等于前两项之和，可知：上第8个台阶应有13+21＝34种方法，上第9个台阶应有21+34＝55种方法．
【解答】解：由题意，可得：第8个台阶有13+21＝34种上法，因此上这9级台阶共有21+34＝55种方法．
【点评】本题主要考查学生根据已知的两组数据间的关系，进行分析推断，得出一般化关系式的能力．
15．（3分）在△ABC中，AB边上的中线CD＝3，AB＝6，BC+AC＝8，则△ABC的面积为 7 ．
【分析】本题考查三角形的中线定义，根据条件先确定△ABC为直角三角形，再求得△ABC的面积．
【解答】解：如图，在△ABC中，CD是AB边上的中线，
∵CD＝3，AB＝6，
∴AD＝DB＝3，
∴CD＝AD＝DB，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∵∠1+∠2+∠3+∠4＝180°，
∴∠1+∠3＝90°，
∴△ABC是直角三角形，
∴AC2+BC2＝AB2＝36，
又∵AC+BC＝8，
∴AC2+2AC•BC+BC2＝64，
∴2AC•BC＝64﹣（AC2+BC2）＝64﹣36＝28，
又∵S△ABC＝AC•BC，
∴S△ABC＝＝7．
【点评】熟练运用三角形的中线定义以及综合分析、解答问题的能力．关键要懂得：在一个三角形中，如果获知一条边上的中线等于这一边的一半，那么就可考虑它是一个直角三角形，通过等腰三角形的性质和内角和定理来证明一个三角形是直角三角形．
三、解答题（共7小题，满分55分）
16．（6分）计算：﹣22+sin45°﹣2﹣1+（3.14﹣π）0．
【分析】按照实数的运算法则依次计算，注意：﹣22＝﹣4，2﹣1＝，（3.14﹣π）0＝1．
【解答】解：原式＝﹣4+2+1
＝﹣4+2﹣+1
＝．
【点评】本题需注意的知识点是：乘方的相反数的符号．a﹣p＝．任何不等于0的数的0次幂是1．
17．（6分）解方程：．
【分析】观察可得方程最简公分母为（x﹣3），方程两边乘最简公分母，把分式方程转化为整式方程求解．
【解答】解：去分母：（2﹣x）＝x﹣3+1，
化简得：2x＝4，
∴x＝2，
经检验，原分式方程的根是：x＝2．
【点评】（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．
（2）解分式方程一定注意要验根．
18．（7分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC＝AD，∠ADC＝120°．
（1）求证：BD⊥DC；
（2）若AB＝4，求梯形ABCD的面积．
【分析】（1）根据已知条件发现等腰三角形，根据等腰三角形的性质以及等腰梯形的性质即可求解；
（2）根据（1）中的结论分析求得该梯形的高，即可求得面积．
【解答】（1）证明：∵AD∥BC，∠ADC＝120°，
∴∠C＝60°．
又∵AB＝DC＝AD，
∴∠ABC＝∠C＝60°，∠ABD＝∠ADB＝∠DBC＝30°，
∴∠BDC＝90°，BD⊥DC．
（2）解：过D作DE⊥BC于点E，
在Rt△DEC中，
∵∠C＝60°，AB＝DC＝4，
∴＝sin∠C＝sin60°，
∴DE＝2，
在Rt△BDC中，＝sin30°，BC＝2DC＝8，
∴S梯形＝（AD+BC）•DE＝12．
【点评】考查等腰梯形的有关性质及综合推理能力．
19．（8分）某中学图书馆将图书分为自然科学、文学艺术、社会百科、数学四类，在“深圳读书月”活动月期间，为了解图书的借阅情况．图书管理员对本月各类图书的借阅量进行了统计，图1和图2是图书管理员通过采集数据后，绘制的两幅不完整的频率分布表与频数分布直方图．请你根据图表中提供的信息，解答以下问题：
频率分布表：
（1）填充图1频率分布表中的空格；
（2）在图2中，将表示“自然科学”的部分补充完整；
（3）若该学校打算采购一万册图书，请你估算“数学”类图书应采购多少册较合适；
（4）请同学们改用扇形统计图来反映图书馆的借书情况．
【分析】（1）由频率的意义可知，数学类的频率＝1﹣0.2﹣0.5﹣0.25＝0.05，从频数分布直方图得出数学的频数为100；“数学”类图书应采购数＝2000×0.05＝100本；
（2）根据数学类图书的册数即可解决；
（3）利用图书的总册数10000，乘以数学书的频率即可求得；
（4）根据扇形所对圆心角的度数与百分比的关系是：圆心角的度数＝百分比*360度计算出各种书在扇形统计图中的对应的扇形的圆心角．
【解答】解：（1）从频数分布直方图得出数学的频数为100，数学类的频率＝1﹣0.2﹣0.5﹣0.25＝0.05；
（2）如图：
（3）“数学”类图书应采购数＝10000×0.05＝500本；
（4）表示自然科学的扇形的圆心角＝360°×0.2＝72°，
表示文学艺术的扇形的圆心角＝360°×0.5＝180°，
表示社会科学的扇形的圆心角＝360°×0.25＝90°，
表示数学的扇形的圆心角＝360°×0.05＝18°．
【点评】（1）本题属于统计内容，考查分析频数分布直方图和频率的求法，解本题要懂得频率分布直分图的意义，了解频率分布直分图是一种以频数为纵向指标的条形统计图．
（2）本题考查的是扇形统计图的制作，在扇形统计图中，每部分占总体的百分比等于该部分所对应的扇形圆心的度数与360°的比．在制作统计图时，要注意写上统计图名称．
20．（8分）工艺商场按标价销售某种工艺品时，每件可获利45元；按标价的八五折销售该工艺品8件与将标价降低35元销售该工艺品12件所获利润相等．
（1）该工艺品每件的进价、标价分别是多少元？
（2）若每件工艺品按（1）中求得的进价进货，标价售出，工艺商场每天可售出该工艺品100件．若每件工艺品降价1元，则每天可多售出该工艺品4件．问每件工艺品降价多少元出售，每天获得的利润最大？获得的最大利润是多少元？
【分析】（1）根据“每件获利45元”可得出：每件标价﹣每件进价＝45元；根据“标价的八五折销售该工艺品8件与将标价降低35元销售该工艺品12件所获利润相等”可得出等量关系：每件标价的八五折×8﹣每件进价×8＝（每件标价﹣35元）×12﹣每件进价×12．
（2）可根据题意列出关于总利润和每天利润的二次函数，以此求出问题．
【解答】解：（1）设该工艺品每件的进价是x元，标价是y元．
依题意得方程组：
解得：．
故该工艺品每件的进价是155元，标价是200元．
（2）设每件应降价a元出售，每天获得的利润为W元．
依题意可得W与a的函数关系式：W＝（45﹣a）（100+4a），
W＝﹣4a2+80a+4500，
配方得：W＝﹣4（a﹣10）2+4900，
当a＝10时，W最大＝4900．
故每件应降价10元出售，每天获得的利润最大，最大利润是4900元．
【点评】题（1）要根据标价、进价和利润的关系，找出等量关系．
题（2）主要考查抛物线的性质．
21．（10分）如图，抛物线y＝ax2﹣8ax+12a（a＜0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），抛物线上另有一点C在第一象限，满足∠ACB为直角，且恰使△OCA∽△OBC．
（1）求线段OC的长；
（2）求该抛物线的函数关系式；
（3）在x轴上是否存在点P，使△BCP为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的P点的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）令抛物线中y＝0，可得出A、B的坐标，即可确定OA，OB的长．根据△OCA∽△OBC，可得出关于OC、OA、OB的比例关系式即可求出OC的长．
（2）利用相似三角形的对应边成比例和勾股定理来求C点的坐标．将C点坐标代入抛物线中即可求出抛物线的解析式．
（3）应该有四个符合条件的点：
①以C为圆心，BC为半径作弧，交x轴于一点，这点符合P点要求，此时CP＝BC，已知了B、C的坐标，即可求出P点坐标．
②以B为圆心，BC为半径作弧，交x轴于两点，这两点也符合P点要求，此时BC＝BP，根据B、C的坐标，不难得出BC的长，将B点坐标向左或向右平移BC个单位即可得出P点坐标．
③作BC的垂直平分线，与x轴的交点也符合P点要求，此时CP＝BP，可设出P点坐标，用坐标系两点间距离公式表示出BP和CP的长，即可求出P点坐标．
因此共有4个符合条件的P点．
【解答】解：（1）由ax2﹣8ax+12a＝0（a＜0）
得x1＝2，x2＝6．
即：OA＝2，OB＝6．
∵△OCA∽△OBC，
∴OC2＝OA•OB＝2×6．
∴OC＝2（﹣2舍去）．
∴线段OC的长为2．
（2）∵△OCA∽△OBC
∴
设AC＝k，则BC＝k
由AC2+BC2＝AB2得
k2+（k）2＝（6﹣2）2
解得k＝2（﹣2舍去）
∴AC＝2，BC＝2＝OC
过点C作CD⊥AB于点D
∴OD＝OB＝3
∴CD＝
∴C的坐标为（3，）
将C点的坐标代入抛物线的解析式得＝a（3﹣2）（3﹣6）
∴a＝﹣
∴抛物线的函数关系式为：
y＝﹣x2+x﹣4．
（3）①当P1与O重合时，△BCP1为等腰三角形
∴P1的坐标为（0，0）；
②当P2B＝BC时（P2在B点的左侧），△BCP2为等腰三角形
∴P2的坐标为（6﹣2，0）；
③当P3为AB的中点时，P3B＝P3C，△BCP3为等腰三角形
∴P3的坐标为（4，0）；
④当BP4＝BC时（P4在B点的右侧），△BCP4为等腰三角形
∴P4的坐标为（6+2，0）；
∴在x轴上存在点P，使△BCP为等腰三角形，符合条件的点P的坐标为：
（0，0），（6﹣2，0），（4，0），（6+2，0）．
【点评】命题立意：考查数形结合问题，由抛物线求二次函数的解析式，用几何中相似三角形的性质求点的坐标等知识．
22．（10分）如图1，在平面直角坐标系xOy中，点M在x轴的正半轴上，⊙M交x轴于A、B两点，交y轴于C、D两点，且C为的中点，AE交y轴于G点，若点A的坐标为（﹣2，0），AE＝8．
（1）求点C的坐标；
（2）连接MG、BC，求证：MG∥BC；
（3）如图2，过点D作⊙M的切线，交x轴于点P．动点F在⊙M的圆周上运动时，的比值是否发生变化？若不变，求出比值；若变化，说明变化规律．
【分析】（1）求C点的坐标，即求出OC的长．根据垂径定理可得出弧CD＝2弧AC，而题中已经告诉了C是弧AE的中点，即弧AE＝2弧AC，即弧CD＝弧AE，因此CD＝AE，那么OC＝AE＝4，即可求出C点坐标；
（2）由于无法直接证明∠OMG＝∠OBC来得出两直线平行，因此可通过相似三角形来求解，可设出圆的半径，然后分别求出OG、OM、OB的长，然后通过证OG、OM，OC、OB对应成比例来得出△OMG与△OBC相似来得出∠OMG＝∠OBC，进行得出所求的结论；
（3）OF与OP的比例关系不变，在直角三角形DMP中，根据射影定理有DM2＝MO•MP，①同理可求出OD2＝OM•OP；
②然后分三种情况：
A：F与A重合时，OF＝OA，PF＝PA，可根据②求出OP的长根据①求出MP的长即可求出OP的长，进而可求出所求的比例关系；
B：F与B重合，同一；
C：F不与A、B重合．可通过相似三角形来求解．由于MF＝DM，根据①可得出△OMF与△FMP相似，可得出．
综合三种情况即可得出OF：PF的值．
【解答】（1）解：方法（一）
∵直径AB⊥CD，
∴CO＝CD，
＝，
∵C为的中点，
∴＝，
∴＝，
∴CD＝AE，
∴CO＝CD＝4，
∴C点的坐标为（0，4）．
方法（二）如图1，连接BG，GM，连接CM，交AE于点N，
∵C为的中点，M为圆心，
∴AN＝AE＝4，
CM⊥AE，
∴∠ANM＝∠COM＝90°，
在△ANM和△COM中：
∵，
∴△ANM≌△COM（AAS），
∴CO＝AN＝4，
∴C点的坐标为（0，4）．
（2）证明：设半径AM＝CM＝r，则OM＝r﹣2，
由OC2+OM2＝MC2得：
42+（r﹣2）2＝r2，
解得：r＝5，（1分）
∴OM＝r﹣OA＝3
∵∠AOC＝∠ANM＝90°，
∠EAM＝∠MAE，
∴△AOG∽△ANM，
∴，
∵MN＝OM＝3，
即，
∴OG＝，（2分）
∵，
，
∴，
∵∠BOC＝∠BOC，
∴△GOM∽△COB，
∴∠GMO＝∠CBO，
∴MG∥BC．
（3）解：如图2，连接DM，则DM⊥PD，DO⊥PM，
∴△MOD∽△MDP，△MOD∽△DOP，
∴DM2＝MO•MP；
DO2＝OM•OP，
即42＝3•OP，
∴OP＝．
当点F与点A重合时：，
当点F与点B重合时：，
当点F不与点A、B重合时：连接OF、PF、MF，
∵DM2＝MO•MP，
∴FM2＝MO•MP，
∴，
∵∠AMF＝∠FMA，
∴△MFO∽△MPF，
∴．
∴综上所述，的比值不变，比值为．
【点评】命题立意：考查坐标系和圆的有关知识．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布
日期：2021/6/18 15:44:59；用户：初中数学；邮箱：sxljy01@xyh.cm；学号：24425668

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