2010年广东省深圳市中考数学试卷

这是一份2010年广东省深圳市中考数学试卷，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）﹣2的绝对值是（ ）
A．﹣2B．﹣C．D．2
2．（3分）为保护水资源，某社区新建了雨水再生水工程，再生水利用量达58600立方米/年．这个数据用科学记数法表示为（ ）
A．58×103B．5.8×104C．5.9×104D．6.0×104
3．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．（x﹣y）2＝x2﹣y2B．x2×y2＝（xy）4
C．x2y+xy2＝x3y3D．x6÷x2＝x4
4．（3分）升旗时，旗子的高度h（米）与时间t（分）的函数图象大致为（ ）
A．B．C．D．
5．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．“打开电视机，正在播世界杯足球赛”是必然事件
B．“掷一枚硬币正面朝上的概率是”表示每抛掷硬币2次就有1次正面朝上
C．一组数据2，3，4，5，5，6的众数和中位数都是5
D．甲组数据的方差S甲2＝0.24，乙组数据的方差S乙2＝0.03，则乙组数据比甲组数据稳定
6．（3分）下列图形中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
7．（3分）已知点P（a﹣1，a+2）在平面直角坐标系的第二象限内，则a的取值范围在数轴上可表示为（ ）
A．B．
C．D．
8．（3分）观察下列算式，用你所发现的规律得出22015的末位数字是（ ）
21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，26＝64，27＝128，28＝256，…．
A．2B．4C．6D．8
9．（3分）如图所示，△ABC中，AC＝AD＝BD，∠DAC＝80°，则∠B的度数是（ ）
A．40°B．35°C．25°D．20°
10．（3分）有四张质地相同的卡片，它们的背面相同，其中两张的正面印有“粽子”的图标，另外两张的正面印有“龙舟”的图案，现将它们背面朝上，洗均匀后排列在桌面，任意翻开两张，那么两张图案一样的概率是（ ）
A．B．C．D．
11．（3分）某单位向一所希望小学赠送1080件文具，现用A，B两种不同的包装箱进行包装，已知每个B型包装箱比A型包装箱多装15件文具，单独使用B型包装箱比单独使用A型包装箱可少用12个．设B型包装箱每个可以装x件文具，根据题意列方程式为（ ）
A．＝+12B．＝﹣12
C．＝﹣12D．＝+12
12．（3分）如图所示，点P（3a，a）是反比例函数y＝（k＞0）与⊙O的一个交点，图中阴影部分的面积为10π，则反比例函数的解析式为（ ）
A．y＝B．y＝C．y＝D．y＝
二、填空题（共4小题，每小题3分，满分12分）
13．（3分）分解因式：4x2﹣4＝ ．
14．（3分）如图所示，在▱ABCD中，AB＝5，AD＝8，DE平分∠ADC，则BE＝ ．
15．（3分）如图所示，是一个由若干个相同的小正方体组成的几何体的主视图和俯视图，则能组成这个几何体的小正方体的个数最少是 个．
16．（3分）如图所示，某渔船在海面上朝正东方向匀速航行，在A处观测到灯塔M在北偏东60°方向上，航行半小时后到达B处，此时观测到灯塔M在北偏东30°方向上，那么该船继续航行 分钟可使渔船到达离灯塔距离最近的位置．
三、解答题（共7小题，满分52分）
17．（6分）计算：2sin45°+（π﹣3.14）0++（﹣1）3．
18．（6分）先化简分式，然后在0，1，2，3中选一个你认为合适的a值，代入求值．
19．（7分）低碳发展是今年深圳市政府工作报告提出的发展理念，近期，某区与某技术支持单位合作，组织策划了该区“低碳先锋行动”，开展低碳测量和排行活动，根据调查数据制作了频数分布直方图和扇形统计图，图1中从左到右各长方形的高度之比为2：8：9：7：3：1．
（1）已知碳排放值5≤x＜7（千克/平方米•月）的单位有16个，则此次行动共调查了 个单位；
（2）在图2中，碳排放值5≤x＜7（千克/平方米•月）部分的圆心角为 度；
（3）小明把图1中碳排放值1≤x＜2的都看成1.5，碳排放值2≤x＜3的都看成2.5，以此类推，若每个被检查单位的建筑面积均为10000平方米，则按小明的办法，可估算碳排放值x≥4（千克/平方米•月）的被检单位一个月的碳排放总值约为 吨．
20．（7分）如图所示、△AOB和△COD均为等腰直角三角形，∠AOB＝∠COD＝90°，D在AB上．
（1）求证：△AOC≌△BOD；
（2）若AD＝1，BD＝2，求CD的长．
21．（8分）儿童商场购进一批M型服装，销售时标价为75元/件，按8折销售仍可获利50%．商场现决定对M型服装开展促销活动，每件在8折的基础上再降价x元销售，已知每天销售数量y（件）与降价x（元）之间的函数关系式为y＝20+4x（x＞0）．
（1）求M型服装的进价；
（2）求促销期间每天销售M型服装所获得的利润W的最大值．
22．（9分）如图所示，抛物线y＝ax2+c（a＞0）经过梯形ABCD的四个顶点，梯形的底AD在x轴上，其中A（﹣2，0），B（﹣1，﹣3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点M为y轴上任意一点，当点M到A，B两点的距离之和为最小时，求此时点M的坐标；
（3）在第（2）问的结论下，抛物线上的点P使S△PAD＝4S△ABM成立，求点P的坐标．
23．（9分）如图1所示，以点M（﹣1，0）为圆心的圆与y轴，x轴分别交于点A，B，C，D，直线y＝﹣x﹣与⊙M相切于点H，交x轴于点E，交y轴于点F．
（1）请直接写出OE，⊙M的半径r，CH的长；
（2）如图2所示，弦HQ交x轴于点P，且DP：PH＝3：2，求cs∠QHC的值；
（3）如图3所示，点K为线段EC上一动点（不与E，C重合），连接BK交⊙M于点T，弦AT交x轴于点N．是否存在一个常数a，始终满足MN•MK＝a，如果存在，请求出a的值；如果不存在，请说明理由．
2010年广东省深圳市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）
1．（3分）﹣2的绝对值是（ ）
A．﹣2B．﹣C．D．2
【分析】计算绝对值要根据绝对值的定义求解．第一步列出绝对值的表达式；第二步根据绝对值定义去掉这个绝对值的符号．
【解答】解：∵﹣2＜0，
∴|﹣2|＝﹣（﹣2）＝2．
故选：D．
【点评】本题考查了绝对值的意义，任何一个数的绝对值一定是非负数，所以﹣2的绝对值是2．部分学生易混淆相反数、绝对值、倒数的意义，而错误的认为﹣2的绝对值是，而选择B．
2．（3分）为保护水资源，某社区新建了雨水再生水工程，再生水利用量达58600立方米/年．这个数据用科学记数法表示为（ ）
A．58×103B．5.8×104C．5.9×104D．6.0×104
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．
【解答】解：58 600用科学记数法表示为5.86×104≈5.9×104．
故选：C．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．（x﹣y）2＝x2﹣y2B．x2×y2＝（xy）4
C．x2y+xy2＝x3y3D．x6÷x2＝x4
【分析】A、利用完全平方公式即可判定；
B、利用单项式相乘的法则即可判定；
C、利用单项式加法法则即可判定；
D、利用单项式的除法即可判定．
【解答】解：A、（x﹣y）2＝x2+y2﹣2xy，故选项错误；
B、x2×y2＝（xy）2，故选项错误；
C、x2y+xy2≠x3y3，故选项错误；
D、x6÷x2＝x4，故选项正确．
故选：D．
【点评】此题主要考查整式的运算，对于相关的法则和定义一定要熟练．
4．（3分）升旗时，旗子的高度h（米）与时间t（分）的函数图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据横轴代表时间，纵轴代表高度，旗子的高度h（米）随时间t（分）的增长而变高来进行选择．
【解答】解：高度h将随时间的增长而变高，
故选：B．
【点评】读函数的图象时首先要理解横纵坐标表示的含义，理解问题叙述的过程，能够通过图象得到函数是随自变量的增大，知道函数值是增大还是减小．
5．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．“打开电视机，正在播世界杯足球赛”是必然事件
B．“掷一枚硬币正面朝上的概率是”表示每抛掷硬币2次就有1次正面朝上
C．一组数据2，3，4，5，5，6的众数和中位数都是5
D．甲组数据的方差S甲2＝0.24，乙组数据的方差S乙2＝0.03，则乙组数据比甲组数据稳定
【分析】结合随机事件、概率的意义、众数、中位数、方差等概念一一判断，找到正确选项即可．
【解答】解：A、“打开电视机，正在播世界杯足球赛”是随机事件，故错误；
B、“掷一枚硬币正面朝上的概率是”表示在大量重复试验下，抛掷硬币正面朝上次数占一半，不是一定每抛掷硬币2次就有1次正面朝上，故错误；
C、中位数是4.5，故错误；
D、方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．
故选：D．
【点评】用到的知识点为：随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件；一组数据中出现次数最多的数为这组数据的众数；一组数据按顺序排列后，中间的那两个数的平均数或中间的那个数叫做中位数；方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．
6．（3分）下列图形中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形．故此选项正确；
B、是轴对称图形，也是中心对称图形．故此选项错误；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形．故此选项错误；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形．故此选项错误．
故选：A．
【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：
轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；
中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
7．（3分）已知点P（a﹣1，a+2）在平面直角坐标系的第二象限内，则a的取值范围在数轴上可表示为（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据第二象限内点的特征，列出不等式组，求得a的取值范围，然后在数轴上分别表示出a的取值范围．
【解答】解：∵点P（a﹣1，a+2）在平面直角坐标系的第二象限内，
则有
解得﹣2＜a＜1．
故选：C．
【点评】在数轴上表示不等式的解集时，大于向右，小于向左，有等于号的画实心原点，没有等于号的画空心圆圈．第二象限的点横坐标为＜0，纵坐标＞0．
8．（3分）观察下列算式，用你所发现的规律得出22015的末位数字是（ ）
21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，26＝64，27＝128，28＝256，…．
A．2B．4C．6D．8
【分析】因为21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，26＝64，27＝128，28＝256，观察发现：2n的个位数字是2，4，8，6四个一循环，所以根据2015÷4＝503…3，得出22015的个位数字与23的个位数字相同，是8．
【解答】解：∵21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，26＝64，27＝128，28＝256，…．
2015÷4＝503…3，
∴22015的末位数字和23的末位数字相同，是8．
故选：D．
【点评】本题考查了尾数特征的应用，关键是能根据题意得出规律，进一步得出算式．
9．（3分）如图所示，△ABC中，AC＝AD＝BD，∠DAC＝80°，则∠B的度数是（ ）
A．40°B．35°C．25°D．20°
【分析】在△ADC中由AD＝AC、∠DAC＝80°得∠ADC度数，再由BD＝AD可得∠B＝∠ADC＝25°．
【解答】解：∵AD＝AC，∠DAC＝80°，
∴∠ADC＝＝50°，
又∵AD＝BD，
∴∠B＝∠BAD，
∵∠B+∠BAD＝∠ADC，
∴2∠B＝∠ADC，
∴∠B＝∠ADC＝25°，
故选：C．
【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，熟练运用等边对等角是解此题的关键．
10．（3分）有四张质地相同的卡片，它们的背面相同，其中两张的正面印有“粽子”的图标，另外两张的正面印有“龙舟”的图案，现将它们背面朝上，洗均匀后排列在桌面，任意翻开两张，那么两张图案一样的概率是（ ）
A．B．C．D．
【分析】列举出所有情况，看所求的情况占总情况的多少即可．
【解答】解：列树状图得：
共有12种情况，两张图案一样的有4种情况，所以概率是，故选A．
【点评】如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝．注意本题是不放回实验．
11．（3分）某单位向一所希望小学赠送1080件文具，现用A，B两种不同的包装箱进行包装，已知每个B型包装箱比A型包装箱多装15件文具，单独使用B型包装箱比单独使用A型包装箱可少用12个．设B型包装箱每个可以装x件文具，根据题意列方程式为（ ）
A．＝+12B．＝﹣12
C．＝﹣12D．＝+12
【分析】关键描述语：单独使用B型包装箱比单独使用A型包装箱可少用12个；可列等量关系为：所用B型包装箱的数量＝所用A型包装箱的数量﹣12，由此可得到所求的方程．
【解答】解：根据题意，得：
＝﹣12，
故选：B．
【点评】此题涉及的公式：包装箱的个数＝文具的总个数÷每个包装箱装的文具个数．
12．（3分）如图所示，点P（3a，a）是反比例函数y＝（k＞0）与⊙O的一个交点，图中阴影部分的面积为10π，则反比例函数的解析式为（ ）
A．y＝B．y＝C．y＝D．y＝
【分析】根据P（3a，a）和勾股定理，求出圆的半径，进而表示出圆的面积，再根据圆的面积等于阴影部分面积的四倍，求出圆的面积，建立等式即可求出a的值，从而得出反比例函数的解析式．
【解答】解：由于函数图象关于原点对称，所以阴影部分面积为圆面积，
则圆的面积为10π×4＝40π．
因为P（3a，a）在第一象限，则a＞0，3a＞0，
根据勾股定理，OP＝＝a．
于是π＝40π，a＝±2，（负值舍去），故a＝2．
P点坐标为（6，2）．
将P（6，2）代入y＝，
得：k＝6×2＝12．
反比例函数解析式为：y＝．
故选：D．
【点评】此题是一道综合题，既要能熟练正确求出圆的面积，又要会用待定系数法求函数的解析式．
二、填空题（共4小题，每小题3分，满分12分）
13．（3分）分解因式：4x2﹣4＝ 4（x+1）（x﹣1） ．
【分析】所求代数式中含有公因数4，可先提取公因数，然后再运用平方差公式分解因式．
【解答】解：原式＝4（x2﹣1）＝4（x+1）（x﹣1）．
故答案为：4（x+1）（x﹣1）．
【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式进行两次分解，注意要分解彻底．
14．（3分）如图所示，在▱ABCD中，AB＝5，AD＝8，DE平分∠ADC，则BE＝ 3 ．
【分析】先根据角平分线和平行四边形的性质求出CD＝CE，再由BE＝BC﹣CE求解．
【解答】解：在ABCD中，AB＝5，AD＝8，
∴BC＝8，CD＝5，
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE＝∠CDE，
又▱ABCD中，AD∥BC，
∴∠ADE＝∠DEC，
∴∠DEC＝∠CDE，
∴CD＝CE＝5，
∴BE＝BC﹣CE＝8﹣5＝3．
故答案为3．
【点评】本题主要考查平行四边形的性质，角平分线性质的利用是解题的关键，在平行四边形中，当出现角平分线时，一般可构造等腰三角形，进而利用等腰三角形的性质解题．
15．（3分）如图所示，是一个由若干个相同的小正方体组成的几何体的主视图和俯视图，则能组成这个几何体的小正方体的个数最少是 9 个．
【分析】易得这个几何体共有3层，由俯视图可得第一层正方体的个数，由主视图可得第二层和第三层正方体的可能的最少个数，相加即可．
【解答】解：由俯视图易得最底层有6个正方体，由主视图第二层最少有2个正方体，第三层最少有1个正方体，那么共有9个正方体组成．
故答案为：9．
【点评】俯视图小正方形的个数即为最底层的小正方体的个数，主视图第二层和第三层小正方形的个数即为其余层数小正方体的最少个数．
16．（3分）如图所示，某渔船在海面上朝正东方向匀速航行，在A处观测到灯塔M在北偏东60°方向上，航行半小时后到达B处，此时观测到灯塔M在北偏东30°方向上，那么该船继续航行 15 分钟可使渔船到达离灯塔距离最近的位置．
【分析】过M作AB的垂线，设垂足为N．由题易知∠MAB＝30°，∠MBN＝60°；则∠BMA＝∠BAM＝30°，得BM＝AB．由此可在Rt△MBN中，根据BM（即AB）的长求出BN的长，进而可求出该船需要继续航行的时间．
【解答】解：作MN⊥AB于N．
易知：∠MAB＝30°，∠MBN＝60°，
则∠BMA＝∠BAM＝30°．
设该船的速度为x，则BM＝AB＝0.5x．
Rt△BMN中，∠MBN＝60°，
∴BN＝BM＝0.25x．
故该船需要继续航行的时间为0.25x÷x＝0.25小时＝15分钟．
【点评】本题主要考查了方向角含义，正确记忆三角函数的定义是解决本题的关键．需注意的是单位的统一．
三、解答题（共7小题，满分52分）
17．（6分）计算：2sin45°+（π﹣3.14）0++（﹣1）3．
【分析】本题涉及零指数幂、乘方运算、特殊角的三角函数值、二次根式化简、负指数幂5个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
【解答】解：原式＝9﹣2×+1+﹣1＝9．
【点评】本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．
18．（6分）先化简分式，然后在0，1，2，3中选一个你认为合适的a值，代入求值．
【分析】先把分式中的分子、分母进行因式分解，在进行化简，最后根据分式有意义的条件选择合适的值代入求解即可．
【解答】解：原式＝÷﹣
＝÷+a
＝×+a
＝a+a
＝2a．
∵若使分式有意义，则a（a+3）≠0，且a﹣1≠0，
解得，a≠1，a≠0且a≠﹣3．
∴在0，1，2，3中只需a≠0，a≠1即可，
当a＝2时，原式＝2a＝4．
【点评】先把原式化简，再根据分式有意义的条件选出合适的值计算即可．
19．（7分）低碳发展是今年深圳市政府工作报告提出的发展理念，近期，某区与某技术支持单位合作，组织策划了该区“低碳先锋行动”，开展低碳测量和排行活动，根据调查数据制作了频数分布直方图和扇形统计图，图1中从左到右各长方形的高度之比为2：8：9：7：3：1．
（1）已知碳排放值5≤x＜7（千克/平方米•月）的单位有16个，则此次行动共调查了 120 个单位；
（2）在图2中，碳排放值5≤x＜7（千克/平方米•月）部分的圆心角为 48 度；
（3）小明把图1中碳排放值1≤x＜2的都看成1.5，碳排放值2≤x＜3的都看成2.5，以此类推，若每个被检查单位的建筑面积均为10000平方米，则按小明的办法，可估算碳排放值x≥4（千克/平方米•月）的被检单位一个月的碳排放总值约为 2180 吨．
【分析】（1）先算出每一份有多少个单位，16÷4＝4，再算一共调查了多少个单位，4×（2+8+9+7+3+1）＝120（个）；
（2）先算出碳排放值5≤x＜7（千克/平方米•月）部分所占的百分比16÷120×100%，然后计算出圆心角；
（3）先计算碳排放值4≤x＜5的单位，碳排放值5≤x＜6的单位，碳排放值6≤x＜7的单位分别有28个，12个，4个，再算出碳排放值x≥（4千克/平方米•月）的被检单位一个月的碳排放总值．
【解答】解：（1）16÷＝120（个），
答：则此次行动共调查了120个单位；
（2）16÷120×360°＝48°；
答：碳排放值5≤x＜7（千克/平方米•月）部分的圆心角为48度；
（3）碳排放值x≥（4千克/平方米•月）的被检单位是第4，5，6组，
×120＝28，×120＝12，×120＝4，
即分别有28个，12个，4个单位，
10000×28×4.5+12×5.5+4×6.5＝10000×（126+66+26）＝2180000（千克），
2180000千克＝2180（吨）
答：碳排放值x≥（4千克/平方米•月）的被检单位一个月的碳排放总值约为2180吨．
【点评】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
20．（7分）如图所示、△AOB和△COD均为等腰直角三角形，∠AOB＝∠COD＝90°，D在AB上．
（1）求证：△AOC≌△BOD；
（2）若AD＝1，BD＝2，求CD的长．
【分析】（1）因为∠AOB＝∠COD＝90°，由等量代换可得∠DOB＝∠AOC，又因为△AOB和△COD均为等腰直角三角形，所以OC＝OD，OA＝OB，则△AOC≌△BOD；
（2）由（1）可知△AOC≌△BOD，所以AC＝BD＝2，∠CAO＝∠DBO＝45°，由等量代换求得∠CAB＝90°，则CD＝．
【解答】（1）证明：∵∠DOB＝90°﹣∠AOD，∠AOC＝90°﹣∠AOD，
∴∠BOD＝∠AOC，
又∵OC＝OD，OA＝OB，
在△AOC和△BOD中，
∴△AOC≌△BOD（SAS）；
（2）解：∵△AOC≌△BOD，
∴AC＝BD＝2，∠CAO＝∠DBO＝45°，
∴∠CAB＝∠CAO+∠BAO＝90°，
∴CD＝＝＝．
【点评】此题为全等三角形判定的综合题．考查学生综合运用数学知识的能力．
21．（8分）儿童商场购进一批M型服装，销售时标价为75元/件，按8折销售仍可获利50%．商场现决定对M型服装开展促销活动，每件在8折的基础上再降价x元销售，已知每天销售数量y（件）与降价x（元）之间的函数关系式为y＝20+4x（x＞0）．
（1）求M型服装的进价；
（2）求促销期间每天销售M型服装所获得的利润W的最大值．
【分析】（1）销售时标价为75元/件，按8折销售仍可获利50%．可得：标价打8折等于（1+0.5）乘进价．
（2）开展促销活动，每件在8折的基础上再降价x元销售，则实际销价为60﹣x，利润W＝（60﹣x）（20+4x）．
【解答】解：
（1）设进价为z，
∵销售时标价为75元/件，按8折销售仍可获利50%．
则75×0.8＝（1+0.5）z．
∴z＝40；
答：M型服装的进价为40元；
（2）∵销售时标价为75元/件，开展促销活动每件在8折的基础上再降价x元销售，
∴M型服装开展促销活动的实际销价为75×0.8﹣x＝60﹣x，销售利润为60﹣x﹣40＝20﹣x．
而每天销售数量y（件）与降价x（元）之间的函数关系式为y＝20+4x，
∴促销期间每天销售M型服装所获得的利润：
W＝（20﹣x）（20+4x）
＝﹣4x2+60x+400
＝﹣4+625．
∴当x＝＝7.5（元）时，利润W最大值为625元．
【点评】解答函数的实际应用问题时，要注意自变量的取值范围还必须使实际问题有意义．
22．（9分）如图所示，抛物线y＝ax2+c（a＞0）经过梯形ABCD的四个顶点，梯形的底AD在x轴上，其中A（﹣2，0），B（﹣1，﹣3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点M为y轴上任意一点，当点M到A，B两点的距离之和为最小时，求此时点M的坐标；
（3）在第（2）问的结论下，抛物线上的点P使S△PAD＝4S△ABM成立，求点P的坐标．
【分析】（1）将A、B点的坐标代入抛物线的解析式中即可求出待定系数的值；
（2）由于A、D关于抛物线对称轴即y轴对称，那么连接BD，BD与y轴的交点即为所求的M点，可先求出直线BD的解析式，即可得到M点的坐标；
（3）设直线BC与y轴的交点为N，那么△ABM的面积即为梯形ABNO、△BMN、△AOM的面积差，由此可求出△ABM和△PAD的面积；在△PAD中，AD的长为定值，可根据其面积求出P点纵坐标的绝对值，然后代入抛物线的解析式中即可求出P点的坐标．
【解答】解：（1）由题意可得：，
解得；
∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣4；
（2）由于A、D关于抛物线的对称轴（即y轴）对称，连接BD．
则BD与y轴的交点即为M点；
设直线BD的解析式为：y＝kx+b（k≠0），则有：
，
解得；
∴直线BD的解析式为y＝x﹣2，点M（0，﹣2）；
（3）设BC与y轴的交点为N，则有N（0，﹣3）；
∴MN＝1，BN＝1，ON＝3；
S△ABM＝S梯形AONB﹣S△BMN﹣S△AOM＝（1+2）×3﹣×2×2﹣×1×1＝2；
∴S△PAD＝4S△ABM＝8；
由于S△PAD＝AD•|yp|＝8，
即|yp|＝4；
当P点纵坐标为4时，x2﹣4＝4，
解得x＝±2，
∴P1（﹣2，4），P2（2，4）；
当P点纵坐标为﹣4时，x2﹣4＝﹣4，
解得x＝0，
∴P3（0，﹣4）；
故存在符合条件的P点，且P点坐标为：P1（﹣2，4），P2（2，4），P3（0，﹣4）．
【点评】此题主要考查了二次函数解析式的确定、函数图象交点及图形面积的求法，轴对称的性质等知识的综合应用能力；当所求图形不规则时，一般要将不规则图形转换为几个规则图形面积的和差来求．
23．（9分）如图1所示，以点M（﹣1，0）为圆心的圆与y轴，x轴分别交于点A，B，C，D，直线y＝﹣x﹣与⊙M相切于点H，交x轴于点E，交y轴于点F．
（1）请直接写出OE，⊙M的半径r，CH的长；
（2）如图2所示，弦HQ交x轴于点P，且DP：PH＝3：2，求cs∠QHC的值；
（3）如图3所示，点K为线段EC上一动点（不与E，C重合），连接BK交⊙M于点T，弦AT交x轴于点N．是否存在一个常数a，始终满足MN•MK＝a，如果存在，请求出a的值；如果不存在，请说明理由．
【分析】（1）在直线y＝﹣x﹣中，令y＝0，可求得E的坐标，即可得到OE的长为5；连接MH，根据△EMH与△EFO相似即可求得半径为2；再由EC＝MC＝2，∠EHM＝90°，可知CH是RT△EHM斜边上的中线，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得出CH的长；
（2）连接DQ、CQ．根据相似三角形的判定得到△CHP∽△QDP，从而求得DQ的长，在直角三角形CDQ中，即可求得∠D的余弦值，即为cs∠QHC的值；
（3）连接AK，AM，延长AM，与圆交于点G，连接TG，由圆周角定理可知，∠GTA＝90°，∠3＝∠4，故∠AKC＝∠MAN，再由△AMK∽△NMA即可得出结论．
【解答】解：（1）∵直线y＝﹣x﹣中，令y＝0，则x＝﹣5，即OE＝5；
令x＝0，则y＝﹣，故F点坐标为（0，﹣），
∴EF＝＝，
∵M（﹣1，0），
∴EM＝4，
∵∠E＝∠E，∠AOE＝∠EHM，
∴△EMH∽△EFO，
∴＝，即＝，
∴r＝2；
∵CH是RT△EHM斜边上的中线，
∴CH＝EM＝2．
（2）连接DQ、CQ．
∵∠CHP＝∠D，∠CPH＝∠QPD，
∴△CHP∽△QDP．
∴CH：DQ＝HP：PD＝2：3，
∴DQ＝3．
∴cs∠QHC＝cs∠D＝．
（3）如图3，连接AK，AM，延长AM，与圆交于点G，连接TG，则∠GTA＝90°，
∴∠MAN+∠4＝90°，
∵∠3＝∠4
∴∠MAN+∠3＝90°
由于∠BKO+∠3＝90°，故∠BKC＝∠MAN；
而∠BKC＝∠AKC，
∴∠AKC＝∠2，
在△AMK和△NMA中，∠AKC＝∠MAN；∠AMK＝∠NMA，
故△MAK∽△MNA，
＝；
即：MN•MK＝AM2＝4，
故存在常数a，始终满足MN•MK＝a，
常数a＝4．
【点评】此题要能够把一次函数的知识和圆的知识结合起来．掌握相似三角形的判定和性质、圆周角定理的推论、锐角三角函数的概念等，此题的综合性较强．
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日期：2021/6/18 15:43:59；用户：初中数学；邮箱：sxljy01@xyh.cm；学号：24425668

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