2011年广东省深圳市中考数学试卷

这是一份2011年广东省深圳市中考数学试卷，共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）﹣的相反数是（ ）
A．B．﹣C．2D．﹣2
2．（3分）如图所示的物体是一个几何体，其主视图是（ ）
A．B．C．D．
3．（3分）今年参加我市初中毕业生学业考试的总人数约为56000人，这个数据用科学记数法表示为（ ）
A．5.6×103B．5.6×104C．5.6×105D．0.56×105
4．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．x2+x3＝x5B．（x+y）2＝x2+y2
C．x2•x3＝x6D．（x2）3＝x6
5．（3分）某校开展为“希望小学”捐书活动，以下是八名学生捐书的册数：2，3，2，2，6，7，6，5，则这组数据的中位数为（ ）
A．4B．4.5C．3D．2
6．（3分）一件服装标价200元，若以6折销售，仍可获利20%，则这件服装的进价是（ ）
A．100元B．105元C．108元D．118元
7．（3分）如图，每个小正方形边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与左图中△ABC相似的是（ ）
A． B． C． D．
8．（3分）如图是两个可以自由转动的转盘，转盘各被等分成三个扇形，并分别标上1，2，3和6，7，8这6个数字．如果同时转动两个转盘各一次（指针落在等分线上重转），转盘停止后，则指针指向的数字和为偶数的概率是（ ）
A．B．C．D．
9．（3分）已知a，b，c均为实数，若a＞b，c≠0．下列结论不一定正确的是（ ）
A．a+c＞b+cB．c﹣a＜c﹣bC．D．a2＞ab＞b2
10．（3分）对抛物线：y＝﹣x2+2x﹣3而言，下列结论正确的是（ ）
A．与x轴有两个交点
B．开口向上
C．与y轴的交点坐标是（0，3）
D．顶点坐标是（1，﹣2）
11．（3分）下列命题是真命题的个数有（ ）
①垂直于半径的直线是圆的切线
②平分弦的直径垂直于弦
③若是方程x﹣ay＝3的一个解，则a＝﹣1
④若反比例函数的图象上有两点，则y1＜y2．
A．1个B．2个C．3个D．4个
12．（3分）如图，△ABC与△DEF均为等边三角形，O为BC、EF的中点，则AD：BE的值为（ ）
A．：1B．：1C．5：3D．不确定
二、填空题（共4小题，每小题3分，满分12分）
13．（3分）分解因式：a3﹣a＝ ．
14．（3分）如图，在⊙O中，圆心角∠AOB＝120°，弦AB＝2cm，则OA＝ cm．
15．（3分）如图，这是由边长为1的等边三角形摆出的一系列图形，按这种方式摆下去，则第n个图形的周长是 ．
16．（3分）如图，△ABC的内心在y轴上，点C的坐标为（2，0），点B的坐标是（0，2），直线AC的解析式为，则tanA的值是 ．
三、解答题（共7小题，满分52分）
17．（5分）计算：．
18．（6分）解分式方程：．
19．（7分）某校为了了解本校八年级学生课外阅读的喜好，随机抽取该校八年级部分学生进行问卷调查（每人只选一种书籍）．如图是整理数据后绘制的两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）这次活动一共调查了 名学生；
（2）在扇形统计图中，“其他”所在扇形圆心角等于 度；
（3）补全条形统计图；
（4）若该年级有600名学生，请你估计该年级喜欢“科普常识”的学生人数约是 人．
20．（8分）如图1，已知在⊙O中，点C为劣弧AB上的中点，连接AC并延长至D，使CD＝CA，连接DB并延长DB交⊙O于点E，连接AE．
（1）求证：AE是⊙O的直径；
（2）如图2，连接EC，⊙O半径为5，AC的长为4，求阴影部分的面积之和．（结果保留π与根号）
21．（8分）如图1，一张矩形纸片ABCD，其中AD＝8cm，AB＝6cm，先沿对角线BD对折，点C落在点C′的位置，BC′交AD于点G．
（1）求证：AG＝C′G；
（2）如图2，再折叠一次，使点D与点A重合，得折痕EN，EN交AD于点M，求EM的长．
22．（9分）深圳某科技公司在甲地、乙地分别生产了17台、15台同一种型号的检测设备，全部运往大运赛场A、B两馆，其中运往A馆18台、运往B馆14台；运往A、B两馆的运费如表1：
表1
表2
（1）设甲地运往A馆的设备有x台，请填写表2，并求出总运费y（元）与x（台）的函数关系式；
（2）要使总运费不高于20200元，请你帮助该公司设计调配方案，并写出有哪几种方案；
（3）当x为多少时，总运费最小，最小值是多少？
23．（9分）如图1，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点为C（1，4），交x轴于A、B两点，交y轴于点D，其中点B的坐标为（3，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，过点A的直线与抛物线交于点E，交y轴于点F，其中点E的横坐标为2，若直线PQ为抛物线的对称轴，点G为直线PQ上的一动点，则x轴上是否存在一点H，使D、G，H、F四点所围成的四边形周长最小？若存在，求出这个最小值及点G、H的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图3，在抛物线上是否存在一点T，过点T作x轴的垂线，垂足为点M，过点M作MN∥BD，交线段AD于点N，连接MD，使△DNM∽△BMD？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．
2011年广东省深圳市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）
1．（3分）﹣的相反数是（ ）
A．B．﹣C．2D．﹣2
【分析】根据相反数的定义：只有符号不同的两个数叫相反数即可求解．
【解答】解：根据概念得：﹣的相反数是．
故选：A．
【点评】本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号：一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．不要把相反数的意义与倒数的意义混淆．
2．（3分）如图所示的物体是一个几何体，其主视图是（ ）
A．B．C．D．
【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、侧面和上面看，所得到的图形．从物体正面看，看到的是一个等腰梯形．
【解答】解：从物体正面看，看到的是一个等腰梯形．故选C．
【点评】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图，解答时学生易将三种视图混淆而错误的选其它选项．
3．（3分）今年参加我市初中毕业生学业考试的总人数约为56000人，这个数据用科学记数法表示为（ ）
A．5.6×103B．5.6×104C．5.6×105D．0.56×105
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：56000＝5.6×104．
故选：B．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．x2+x3＝x5B．（x+y）2＝x2+y2
C．x2•x3＝x6D．（x2）3＝x6
【分析】根据合并同类项的法则、完全平方公式、同底数幂的乘法以及幂的乘方的性质即可求得答案．
【解答】解：A、x2+x3≠x5，故本选项错误；
B、（x+y）2＝x2+y2+2xy，故本选项错误；
C、x2•x3＝x5，故本选项错误；
D、（x2）3＝x6，故本选项正确．
故选：D．
【点评】此题考查了合并同类项的法则、完全平方公式、同底数幂的乘法以及幂的乘方的性质．解题的关键是熟记公式．
5．（3分）某校开展为“希望小学”捐书活动，以下是八名学生捐书的册数：2，3，2，2，6，7，6，5，则这组数据的中位数为（ ）
A．4B．4.5C．3D．2
【分析】把这组数据按照从小到大排列，在中间位置的数就是中位数．
【解答】解：2，2，2，3，5，6，6，7在中间位置的是3和5，
所以平均数是＝4．
故选：A．
【点评】本题考查中位数的概念，关键知道中位数是位于这组数中间位置的数，如果数据个数是偶数那么就是中间的两个数除以2．
6．（3分）一件服装标价200元，若以6折销售，仍可获利20%，则这件服装的进价是（ ）
A．100元B．105元C．108元D．118元
【分析】根据题意，找出相等关系为，进价×（1+20%）＝200×60%，设未知数列方程求解．
【解答】解：设这件服装的进价为x元，依题意得：
（1+20%）x＝200×60%，
解得：x＝100，
则这件服装的进价是100元．
故选：A．
【点评】此题考查的是一元一次方程的应用，解题的关键是找出相等关系，进价×（1+20%）＝200×60%．
7．（3分）如图，每个小正方形边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与左图中△ABC相似的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】本题主要应用两三角形相似判定定理，三边对应成比例，分别对各选项进行分析即可得出答案．
【解答】解：已知给出的三角形的各边AB、CB、AC分别为、2、、
只有选项B的各边为1、、与它的各边对应成比例．
故选：B．
【点评】此题考查三角形相似判定定理的应用．
8．（3分）如图是两个可以自由转动的转盘，转盘各被等分成三个扇形，并分别标上1，2，3和6，7，8这6个数字．如果同时转动两个转盘各一次（指针落在等分线上重转），转盘停止后，则指针指向的数字和为偶数的概率是（ ）
A．B．C．D．
【分析】首先画树状图，根据树状图求得所有的等可能的结果与指针指向的数字和为偶数的情况，然后根据概率公式即可求得答案．
【解答】解：画树状图得：
∴一共有9种等可能的结果，
指针指向的数字和为偶数的有4种情况，
∴指针指向的数字和为偶数的概率是：．
故选：C．
【点评】此题考查了树状图法与列表法求概率．注意树状图法与列表法可以不重不漏的表示出所有的结果，然后根据概率公式求解即可．
9．（3分）已知a，b，c均为实数，若a＞b，c≠0．下列结论不一定正确的是（ ）
A．a+c＞b+cB．c﹣a＜c﹣bC．D．a2＞ab＞b2
【分析】根据不等式的性质1，不等式两边同时加上或减去同一个数，不等号的方向不变；根据不等式的性质2，不等式两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变；根据不等式的性质3，不等式两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变；利用不等式的3个性质进行分析．
【解答】解：A，根据不等式的性质一，不等式两边同时加上c，不等号的方向不变，故此选项正确；
B，∵a＞b，
∴﹣a＜﹣b，
∴﹣a+c＜﹣b+c，
故此选项正确；
C，∵c≠0，
∴c2＞0，
∵a＞b．
∴，
故此选项正确；
D，∵a＞b，
a不知正数还是负数，
∴a2，与ab，的大小不能确定，故此选项错误；
故选：D．
【点评】此题主要考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是做题的关键，此题比较基础．
10．（3分）对抛物线：y＝﹣x2+2x﹣3而言，下列结论正确的是（ ）
A．与x轴有两个交点
B．开口向上
C．与y轴的交点坐标是（0，3）
D．顶点坐标是（1，﹣2）
【分析】根据△的符号，可判断图象与x轴的交点情况，根据二次项系数可判断开口方向，令函数式中x＝0，可求图象与y轴的交点坐标，利用配方法可求图象的顶点坐标．
【解答】解：A、∵△＝22﹣4×（﹣1）×（﹣3）＝﹣8＜0，抛物线与x轴无交点，本选项错误；
B、∵二次项系数﹣1＜0，抛物线开口向下，本选项错误；
C、当x＝0时，y＝﹣3，抛物线与y轴交点坐标为（0，﹣3），本选项错误；
D、∵y＝﹣x2+2x﹣3＝﹣（x﹣1）2﹣2，∴抛物线顶点坐标为（1，﹣2），本选项正确．
故选：D．
【点评】本题考查了抛物线的性质与解析式的关系．关键是明确抛物线解析式各项系数与性质的联系．
11．（3分）下列命题是真命题的个数有（ ）
①垂直于半径的直线是圆的切线
②平分弦的直径垂直于弦
③若是方程x﹣ay＝3的一个解，则a＝﹣1
④若反比例函数的图象上有两点，则y1＜y2．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据切线、平分弦、反比例函数的性质及解方程依次进行判断即可得出答案．
【解答】解：①经过半径的外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线，故本选项错误，
②平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故本选项错误，
③若是方程x﹣ay＝3的一个解，则a＝﹣1，故本选项正确，
④∵0＜＜1，当x＞0时，反比例函数的图象y随x的增大而增大，∴y1＜y2，故本选项正确，
故选：B．
【点评】本题主要考查了切线、平分弦、反比例函数的性质及解方程，难度适中．
12．（3分）如图，△ABC与△DEF均为等边三角形，O为BC、EF的中点，则AD：BE的值为（ ）
A．：1B．：1C．5：3D．不确定
【分析】连接OA、OD，由已知可以推出OB：OA＝OE：OD，推出△ODA∽△OEB，根据锐角三角函数即可推出AD：BE的值．
【解答】解：连接OA、OD，
∵△ABC与△DEF均为等边三角形，O为BC、EF的中点，
∴AO⊥BC，DO⊥EF，∠EDO＝30°，∠BAO＝30°，
∴OD：OE＝OA：OB＝：1，
∵∠DOE+∠EOA＝∠BOA+∠EOA
即∠DOA＝∠EOB，
∴△DOA∽△EOB，
∴OD：OE＝OA：OB＝AD：BE＝：1．
故选：A．
【点评】本题主要考查了相似三角形的判定及性质、等边三角形的性质，本题的关键在于找到需要证相似的三角形，找到对应边的比即可．
二、填空题（共4小题，每小题3分，满分12分）
13．（3分）分解因式：a3﹣a＝ a（a+1）（a﹣1） ．
【分析】先提取公因式a，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
【解答】解：a3﹣a，
＝a（a2﹣1），
＝a（a+1）（a﹣1）．
故答案为：a（a+1）（a﹣1）．
【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式进行二次分解，注意要分解彻底．
14．（3分）如图，在⊙O中，圆心角∠AOB＝120°，弦AB＝2cm，则OA＝ 2 cm．
【分析】过点O作OC⊥AB，根据垂径定理，可得出AC的长，再由余弦函数求得OA的长．
【解答】解：过点O作OC⊥AB，
∴AC＝AB，
∵AB＝2cm，
∴AC＝cm，
∵∠AOB＝12O°，OA＝OB，
∴∠A＝30°，
在直角三角形OAC中，cs∠A＝＝，
∴OA＝＝2cm，
故答案为2．
【点评】本题考查了垂径定理和解直角三角形，是基础知识要熟练掌握．
15．（3分）如图，这是由边长为1的等边三角形摆出的一系列图形，按这种方式摆下去，则第n个图形的周长是 2+n ．
【分析】观察摆放的一系列图形，可得到依次的周长分别是3，4，5，6，7，…，从中得到规律，根据规律写出第n个图形的周长．
【解答】解：由已知一系列图形观察图形依次的周长分别是：
（1）2+1＝3，
（2）2+2＝4，
（3）2+3＝5，
（4）2+4＝6，
（5）2+5＝7，
…，
所以第n个图形的周长为：2+n．
故答案为：2+n．
【点评】此题考查的是图形数字的变化类问题，关键是通过观察分析得出规律，根据规律求解．
16．（3分）如图，△ABC的内心在y轴上，点C的坐标为（2，0），点B的坐标是（0，2），直线AC的解析式为，则tanA的值是 ．
【分析】根据三角形内心的特点知∠ABO＝∠CBO，根据点C、点B的坐标得出OB＝OC，∠OBC＝45°，∠ABC＝90°可知△ABC为直角三角形，BC＝2，然后根据两点间距离公式及勾股定理得出点A坐标，从而得出AB，即可得出答案．
【解答】解：根据三角形内心的特点知∠ABO＝∠CBO，
∵已知点C、点B的坐标，
∴OB＝OC，∠OBC＝45°，∠ABC＝90°可知△ABC为直角三角形，BC＝2，
∵点A在直线AC上，设A点坐标为（x，x﹣1），
根据两点距离公式可得：
AB2＝x2+，
AC2＝（x﹣2）2+，
在Rt△ABC中，
AB2+BC2＝AC2，
解得：x＝﹣6，y＝﹣4，
∴AB＝6，
∴tanA＝＝＝．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了三角形内心的特点，两点间距离公式、勾股定理，综合性较强，难度较大．
三、解答题（共7小题，满分52分）
17．（5分）计算：．
【分析】分别根据负整数指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值的性质及0指数幂计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行解答即可．
【解答】解：原式＝+×+5﹣1
＝++5﹣1
＝6．
故答案为：6．
【点评】本题考查的是实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．
18．（6分）解分式方程：．
【分析】公分母为（x+1）（x﹣1），去分母，转化为整式方程求解，结果要检验．
【解答】解：去分母，得2x（x﹣1）+3（x+1）＝2（x+1）（x﹣1），
去括号，得2x2﹣2x+3x+3＝2x2﹣2，
移项，合并，解得x＝﹣5，
检验：当x＝﹣5时，（x+1）（x﹣1）≠0，
∴原方程的解为x＝﹣5．
【点评】本题考查了解分式方程的方法：（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．（2）解分式方程一定注意要验根．
19．（7分）某校为了了解本校八年级学生课外阅读的喜好，随机抽取该校八年级部分学生进行问卷调查（每人只选一种书籍）．如图是整理数据后绘制的两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）这次活动一共调查了 200 名学生；
（2）在扇形统计图中，“其他”所在扇形圆心角等于 36 度；
（3）补全条形统计图；
（4）若该年级有600名学生，请你估计该年级喜欢“科普常识”的学生人数约是 180 人．
【分析】（1）根据条形图可知阅读小说的有80人，根据在扇形图中所占比例得出调查学生数；
（2）根据条形图可知阅读其他的有20人，根据总人数可求出它在扇形图中所占比例；
（3）求出第3组人数画出图形即可；
（4）根据科普常识的学生所占比例，即可估计全校人数．
【解答】解：（1）80÷40%＝200人，
（2）20÷200×360°＝36°，
（3）200×30%＝60（人），如图所示：
（4）600×30%＝180人，
故答案为：（1）200，（2）36，（4）180．
【点评】此题主要考查了条形图与扇形图的综合应用，根据图形得出正确信息，两图形有机结合是解决问题的关键．
20．（8分）如图1，已知在⊙O中，点C为劣弧AB上的中点，连接AC并延长至D，使CD＝CA，连接DB并延长DB交⊙O于点E，连接AE．
（1）求证：AE是⊙O的直径；
（2）如图2，连接EC，⊙O半径为5，AC的长为4，求阴影部分的面积之和．（结果保留π与根号）
【分析】（1）连接CB，AB，CE，由点C为劣弧AB上的中点，可得出CB＝CA，再根据CD＝CA，得△ABD为直角三角形，可得出∠ABE为直角，根据90度的圆周角所对的弦为直径，从而证出AE是⊙O的直径；
（2）由（1）得△ACE为直角三角形，根据勾股定理得出CE的长，阴影部分的面积等于半圆面积减去三角形ACE的面积．
【解答】（1）证明：连接CB，AB，CE，
∵点C为劣弧AB上的中点，
∴CB＝CA，
又∵CD＝CA，
∴AC＝CD＝BC，
∴∠D＝∠CBD，∠CAB＝∠CBA，
∴2∠CBD+2∠CBA＝180°，
∴∠CBD+∠CBA＝90°，
∴∠ABD＝90°，
∴∠ABE＝90°，
即弧AE的度数是180°，
∴AE是⊙O的直径；
（2）解：∵AE是⊙O的直径，
∴∠ACE＝90°，
∵AE＝10，AC＝4，
∴根据勾股定理得：CE＝2，
∴S阴影＝S半圆﹣S△ACE＝12.5π﹣×4×2＝12.5π﹣4．
【点评】本题考查了扇形面积的计算、勾股定理以及圆周角定理，是基础知识要熟练掌握．
21．（8分）如图1，一张矩形纸片ABCD，其中AD＝8cm，AB＝6cm，先沿对角线BD对折，点C落在点C′的位置，BC′交AD于点G．
（1）求证：AG＝C′G；
（2）如图2，再折叠一次，使点D与点A重合，得折痕EN，EN交AD于点M，求EM的长．
【分析】（1）通过证明△GAB≌△GC′D即可证得线段AG、C′G相等；
（2）在直角三角形DMN中，利用勾股定理求得MN的长，则EN﹣MN＝EM的长．
【解答】（1）证明：∵沿对角线BD对折，点C落在点C′的位置，
∴∠A＝∠C′，AB＝C′D
∴在△GAB与△GC′D中，
∴△GAB≌△GC′D
∴AG＝C′G；
（2）解：∵点D与点A重合，得折痕EN，
∴DM＝4cm，
∵AD＝8cm，AB＝6cm，
在Rt△ABD中，BD＝＝10cm，
∵EN⊥AD，AB⊥AD，
∴EN∥AB，
∴MN是△ABD的中位线，
∴DN＝BD＝5cm，
在Rt△MND中，
∴MN＝＝3（cm），
由折叠的性质可知∠NDE＝∠NDC，
∵EN∥CD，
∴∠END＝∠NDC，
∴∠END＝∠NDE，
∴EN＝ED，设EM＝x，则ED＝EN＝x+3，
由勾股定理得ED2＝EM2+DM2，即（x+3）2＝x2+42，
解得x＝，即EM＝cm．
【点评】本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后对应线段相等．同时考查了勾股定理在折叠问题中的运用．
22．（9分）深圳某科技公司在甲地、乙地分别生产了17台、15台同一种型号的检测设备，全部运往大运赛场A、B两馆，其中运往A馆18台、运往B馆14台；运往A、B两馆的运费如表1：
表1
表2
（1）设甲地运往A馆的设备有x台，请填写表2，并求出总运费y（元）与x（台）的函数关系式；
（2）要使总运费不高于20200元，请你帮助该公司设计调配方案，并写出有哪几种方案；
（3）当x为多少时，总运费最小，最小值是多少？
【分析】（1）根据甲地、乙地分别生产了17台、15台同一种型号的检测设备，全部运往大运赛场A、B两馆，其中运往A馆18台、运往B馆14台，得出它们之间的等量关系；
（2）根据要使总运费不高于20200元，得出200x+19300≤20200，即可得出答案；
（3）根据一次函数的增减性得出一次函数的最值．
【解答】解：（1）根据题意得：甲地运往A馆的设备有x台，
∴乙地运往A馆的设备有（18﹣x）台，
∵甲地生产了17台设备，
∴甲地运往B馆的设备有（17﹣x）台，
乙地运往B馆的设备有14﹣（17﹣x）＝（x﹣3）台，
∴y＝800x+700（18﹣x）+500（17﹣x）+600（x﹣3），
＝200x+19300（3≤x≤17）；
（2）∵要使总运费不高于20200元，
∴200x+19300≤20200，
解得：x≤4.5，又x﹣3≥0，x≥3，
∴x＝3或4，
故该公司设计调配方案有：
甲地运往A馆4台，运往B馆13台，乙地运往A馆14台，运往B馆1台；
甲地运往A馆3台，运往B馆14台，乙地运往A馆15台，运往B馆0台；
∴共有两种运输方案；
（3）∵y＝200x+19300，
∵200＞0，
∴y随x的增大而增大，
∴当x为3时，总运费最小，最小值是y＝200×3+19300＝19900元．
【点评】此题主要考查了一次函数的应用以及不等式的解法和一次函数的最值问题，根据题意用x表示出运往各地的台数是解决问题的关键．
23．（9分）如图1，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点为C（1，4），交x轴于A、B两点，交y轴于点D，其中点B的坐标为（3，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，过点A的直线与抛物线交于点E，交y轴于点F，其中点E的横坐标为2，若直线PQ为抛物线的对称轴，点G为直线PQ上的一动点，则x轴上是否存在一点H，使D、G，H、F四点所围成的四边形周长最小？若存在，求出这个最小值及点G、H的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图3，在抛物线上是否存在一点T，过点T作x轴的垂线，垂足为点M，过点M作MN∥BD，交线段AD于点N，连接MD，使△DNM∽△BMD？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）设抛物线的解析式为：y＝a（x﹣1）2+4，然后将点B的坐标代入函数解析式即可求得此抛物线的解析式；
（2）作F关于x轴的对称点F′（0，﹣1），连接EF′交x轴于H，交对称轴x＝1于G，四边形DFHG的周长即为最小，则根据题意即可求得这个最小值及点G、H的坐标；
（3）首先设M的坐标为（a，0），求得BD与DM的长，由平行线分线段成比例定理，求得MN的长，然后由相似三角形对应边成比例，即可得DM2＝BD•MN，则可得到关于a的一元二次方程，解方程即可求得答案．
【解答】解：（1）设抛物线的解析式为：y＝a（x﹣1）2+4，
∵点B的坐标为（3，0）．
∴4a+4＝0，
∴a＝﹣1，
∴此抛物线的解析式为：y＝﹣（x﹣1）2+4＝﹣x2+2x+3；
（2）存在．
抛物线的对称轴方程为：x＝1，
∵点E的横坐标为2，
∴y＝﹣4+4+3＝3，
∴点E（2，3），
∴设直线AE的解析式为：y＝kx+b，
∴，
∴，
∴直线AE的解析式为：y＝x+1，
∴点F（0，1），
∵D（0，3），
∴D与E关于x＝1对称，
作F关于x轴的对称点F′（0，﹣1），
连接EF′交x轴于H，交对称轴x＝1于G，
四边形DFHG的周长即为最小，
设直线EF′的解析式为：y＝mx+n，
∴，
解得：，
∴直线EF′的解析式为：y＝2x﹣1，
∴当y＝0时，2x﹣1＝0，得x＝，
即H（，0），
当x＝1时，y＝1，
∴G（1，1）；
∴DF＝2，FH＝F′H＝＝，DG＝＝，
∴使D、G，H、F四点所围成的四边形周长最小值为：DF+FH+GH+DG＝2+++＝2+2；
（3）存在．
∵BD＝＝3，
设M（c，0），
∵MN∥BD，
∴，
即＝，
∴MN＝（1+c），DM＝，
要使△DNM∽△BMD，
需，即DM2＝BD•MN，
可得：9+c2＝3×（1+c），
解得：c＝或c＝3（舍去）．
当x＝时，y＝﹣（﹣1）2+4＝．
∴存在，点T的坐标为（，）．
【点评】此题考查了待定系数法求函数的解析式，周长最短问题，相似三角形的判定与性质，以及平行线分线段成比例定理等知识．此题综合性很强，解题的关键是注意数形结合思想的应用．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布
日期：2021/4/25 10:46:41；用户：初中数学；邮箱：sxljy01@xyh.cm；学号：24425668

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