2022-2023学年浙江省杭州市西湖区九年级（上）期末数学试卷（含解析）

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这是一份2022-2023学年浙江省杭州市西湖区九年级（上）期末数学试卷（含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 若2a=3b(a,b均不为0)，则a：b的值是( )
A. 2B. 3C. 2：3D. 3：2
2. 已知AB是半径为2的圆的一条弦，则AB的长可能是( )
A. 4B. 5C. 6D. 7
3. 在一个边长为1的正方形中挖去一个边长为x(0A. y=x2B. y=1−x2C. y=x2−1D. y=1−2x
4. 从甲、乙、丙三人中任选两人参加青年志愿者活动，甲被选中的概率是( )
A. 13B. 12C. 23D. 19
5. 如图，能使△ABC∽△ADE成立的条件是( )
A. ∠A=∠A
B. ∠ADE=∠AED
C. ABAD=ACAE
D. ABAE=BCED
6. 若点P是线段AB的黄金分割点(AP>PB)，AB=2，则AP的长为( )
A. 5−1B. 3−5C. 5+1D. 3+5
7. 如图，在平面直角坐标系中，以点O为旋转中心，将点A(1,1)按逆时针方向旋转到点B，点B在y轴上，则扇形AOB的面积为( )
A. π2
B. π4
C. π6
D. π8
8. 已知二次函数y=ax2+bx+c，函数值y与自变量x的部分对应值如表：
则当y>8时，x的取值范围是( )
A. 04D. x<0或x>5
9. 如图，E，F，G，H分别是矩形ABCD四条边上的点，已知EF⊥GH，若AB=2，BC=3，则EF：GH为( )
A. 3：2
B. 2：3
C. 4：9
D. 9：4
10. 设函数y1=−(x−a1)2，y2=−(x−a2)2.直线x=1的图象与函数y1，y2的图象分别交于点A(1,c1)，B(1,c2)，得( )
A. 若1C. 若a1二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
11. 二次函数y=x2−1图象与x轴的交点坐标为．
12. 在一个不透明的袋中装有一些除颜色外完全相同的红和黑两种颜色的小球，已知袋中有红球5个，黑球m个，从袋中随机摸出一个红球的概率是13，则m的值为．
13. 如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，点P在线段OB上运动(不与O，B重合)，若∠CAB=30°，设∠ACP为α，则α的取值范围是．
14. 如图，用一个半径为6cm的定滑轮拉动砝码上升(假设绳索足够长且粗细不计，与滑轮之间无滑动)，若滑轮旋转了150°，则砝码上升了 cm.(结果保留π)
15. 对于二次函数y=ax2和y=bx2，其自变量和函数值的两组对应值如表所示(其中a、b均不为0，c≠1)，根据二次函数图象的相关性质可知：c= ，m−n= ．
16. 如图，线段AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，点M是弧BC上任意一点(不与B，C重合)，AH=1，CH=2.延长线段BM交DC的延长线于点E，直线MH交⊙O于点N，连结BN交CE于点F，则OC= ，HE⋅HF= ．
三、解答题（本大题共7小题，共56.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题8.0分)
已知y1=2x2，请写出一个二次函数y2同时满足以下两个条件：
①与y1函数图象开口大小、方向相同；
②当x>1时，y随x的增大而增大．
18. (本小题8.0分)
一个不透明的袋中装有2个红球、1个白球，这些球除颜色外，没有任何其他区别．有如下两个活动：
活动1：从袋中随机摸出一个球，记录下颜色，然后从袋中剩余的球中再随机摸出一个球，摸出的两个球都是红球的概率记为P1；
活动2：从袋中随机摸出一个球，记录下颜色，然后把这个球放回袋中并摇匀，重新从袋中随机摸出一个球，两次摸出的球都是红球的概率记为P2．
请你猜想P1，P2的大小关系，并用画树状图或列表的方法列出所有可能的结果，验证你的猜想．
19. (本小题8.0分)
如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，点E在AB上(不与点A，B重合)，连接CE交AD于点F，∠CFD=∠B．
(1)求证：△CFD∽△CBE．
(2)若BE=6，BD=8，DC=2，求DF的长．
20. (本小题8.0分)
在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+3(a≠0)的图象经过点A(1,−1)．
(1)求a+b的值．
(2)若二次函数的顶点为P(x0,y0)，求ay0的最大值．
21. (本小题8.0分)
如图，在正五边形ABCDE中，连结AC，AD，CE，CE交AD于点F．
(1)求∠CAD的度数．
(2)已知AB=2，求DF的长．
22. (本小题8.0分)
在直角坐标系中，设函数y=m(x+1)2+4n(m≠0，且m，n为实数)，
(1)求函数图象的对称轴．
(2)若m，n异号，求证：函数y的图象与x轴有两个不同的交点．
(3)已知当x=0，3，4时，对应的函数值分别为p，q，r，若2q23. (本小题8.0分)
如图，△ABC内接于⊙O，∠ABC>90°，△ABC的外角∠EAC的平分线交⊙O于点D，连接DB，DC，DB交AC于点F．
(1)求证：△DBC是等腰三角形．
(2)若DA=DF．
①求证：BC2=DC⋅BF．
②若⊙O的半径为5，BC=6，求S△BCFS△ADF的值．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：∵2a=3b，
∴a=32b，
∴a：b=32b：b=3：2，
故选：D．
依据比例的性质内项积等于外项积即可得出结论．
本题考查比例的性质，掌握内项积等于外项积是解题的关键．
2.【答案】A
【解析】解：∵圆的半径为2，
∴圆的直径为4，
∵AB是半径为2的圆的一条弦，
∴0故选：A．
求出圆的直径，根据直径是圆中最长的弦判断即可．
此题考查了圆的弦的性质：直径是圆中最长的弦，正确理解是解题的关键．
3.【答案】B
【解析】解：设剩下部分的面积为y，则：y=1−x2(0故选：B．
根据剩下部分的面积=大正方形的面积−小正方形的面积，得出y与x的函数关系式即可．
此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，利用剩下部分的面积=大正方形的面积−小正方形的面积得出是解题关键．
4.【答案】C
【解析】解：根据题意画图如下：

共有6种等可能的结果数，其中甲被选中的结果有4种，
则甲被选中的概率为46=23．
故选：C．
画出树状图，共有6种等可能的结果，其中甲被选中的结果有4种，由概率公式即可得出结果．
本题考查了树状图法求概率以及概率公式，解题的关键是画出树状图．
5.【答案】C
【解析】解：由题意得，∠A=∠A，
若添加ABAD=ACAE，利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，可判断△ABC∽△ADE，故本选项符合题意；
A、B、D均不能判定△ABC∽△ADE，故不符合题意；
故选：C．
根据相似三角形的判定求解即可．
本题考查相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解题的关键．
6.【答案】A
【解析】解：由于P为线段AB=2的黄金分割点，且AP是较长线段；
则AP=5−12AB=5−12×2=5−1．
故选：A．
根据黄金分割点的定义，知AP是较长线段；则AP=5−12AB，代入数据即可得出AP的长．
理解黄金分割点的概念．应该识记黄金分割的公式：较短的线段=原线段的3−52，较长的线段=原线段的5−12．
7.【答案】B
【解析】解：过点A作AC⊥x轴于C，

∵A(1,1)，
∴OC=AC=1，
∴△ACO是等腰直角三角形，
∴OA=2，∠AOC=45°，
∴∠AOB=∠BOC−∠AOC=90°−45°=45°，
∴S扇形AOB=45π×(2)2360=π4，
故选：B．
过点A作AC⊥x轴于C，由A(1,1)，则OC=AC=1，则△ACO是等腰直角三角形，则OA=2，∠AOC=45°，从而求得∠AOB=45°，然后根据扇形面积公式计算即可．
本题考查扇形的面积，坐标与图形，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握勾股定理和扇形面积公式是解题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：表格数据得出抛物线开口向上，对称轴为直线x=2，当x=0时，y=8，
∴当x=4时，y=8，
∴当y>8时，x的取值范围是x<0或x>4，
故选：C．
根据表格数据得出抛物线开口向上，对称轴为直线x=2，进而得出x=4时，y=8，据此即可求解．
本题考查了二次函数图象与性质，得出抛物线的对称轴与开口方向是解题的关键．
9.【答案】B
【解析】解：过点H作HM⊥AB，垂足为M，过点F作FN⊥AD，垂足为N，设HM，FE交于点O，则NF=AB，MH=BC，

∴∠ENF=∠GMH=90°，
∵EF⊥GH，
∴∠GHM+∠HOE=∠EFN+∠FOM=90°，
又∵∠HOE=∠FOM，
∴∠GHM=∠EFN，
∴△MHG∽△NFE，
∴EF：GH=NF：HM=AB：BC=2：3．
故选：B．
过点H作HM⊥AB，垂足为M，过点F作FN⊥AD，垂足为N，设HM，FE交于点O，再证明△MHG∽△NFE，根据相似三角形的性质即可求解．
此题主要考查相似三角形的判定和性质，熟练进行逻辑推理是解题关键．
10.【答案】C
【解析】解：∵直线x=1的图象与函数y1，y2的图象分别交于点A(1,c1)，B(1,c2)，
A.若1
则c1>c2
B.若a1<1
则c1>c2

则c1故B选项不合题意，
C.若a1
∴c1故选：C．
根据题意分别画出y1，y2的图象，继而根据图象即可求解．
本题考查了二次函数图象的性质，数形结合是解题的关键．
11.【答案】(−1,0)，(1,0)
【解析】解：令y=0，得x2−1=0，
解得：x1=−1，x2=1，
∴二次函数y=x2−1图象与x轴的交点坐标为(−1,0)，(1,0)，
故答案为：(−1,0)，(1,0)．
令y=0，解方程即可求解．
本题考查了求二次函数图象与x轴的交点，根据题意解方程是解题的关键．
12.【答案】10
【解析】解：根据题意得55+m=13，
解得：m=10，
经检验，m=10是原方程的解，也符合题意．
故答案为：10．
利用概率公式得到方程，解方程即可．
本题考查的是概率公式：随机事件A的概率P(A)事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数是解题的关键．
13.【答案】30°<α<90°
【解析】解：当点P位于O点时，OA=OC，
则α=∠CAB=30°，此时α的值最小；
当点P位于B点时，根据直径所对的角是90°可得α=∠ACB=90°，此时α的值最大；
由于点P不与O，B重合，
于是30°<α<90°．
故答案为：30°<α<90°．
由于P为动点，由图可知，当点P位于O点时α取得最小值，当点P位于B点时α取得最大值．
此题考查了圆周角定理与等腰三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用．
14.【答案】5π
【解析】解：由题意得，重物上升的距离是半径为6cm，圆心角为150°所对应的弧长，
即150π×6180=5π(cm)，
故答案为：5π．
根据弧长的计算方法计算半径为6cm，圆心角为150°的弧长即可．
本题考查弧长的计算，掌握弧长的计算方法是正确解答的前提．
15.【答案】−1 3
【解析】解：y=ax2和y=bx2对称轴都为y轴，
可将表格中的数表示为坐标(1,n)，(c,n)，(1,n+3)，(c,m)，
∵(1,n)，(c,n)两点纵坐标相等，且c≠1，
∴c=−1，
∵(1,n+3)，(c,m)横坐标关于y轴对称，
∴m=n+3，
∴m−n=3．
故答案为：−1；3．
先将表格的自变量和函数值转化为点的坐标，然后根据函数的对称性直接写出每个字母的值即可．
此题考查二次函数的图像和性质，解题关键是纵坐标相同的不同点关于对称轴对称．
16.【答案】2.5 4
【解析】解：连接OC．

∵CD⊥AB，
∴∠CHO=90°，
设OC=r，则OH=r−1，
在Rt△COH中，
∵CH=2，
∴r2=22+(r−1)2，
∴r=2.5，即OC=2.5；
连接AM．

∵AB是直径，
∴∠AMB=90°，
∴∠MAB+∠ABM=90°，
∵∠E+∠ABM=90°，
∴∠E=∠MAB，
∴∠MAB=∠MNB=∠E，
∵∠EHM=∠NHF，
∴△EHM∽△NHF，
∴HEHN=HMHF，
∴HE⋅HF=HM⋅HN，
∵HM⋅HN=AH⋅HB，
∴HE⋅HF=AH⋅HB=1×(5−1)=4，
故答案为：2.5，4．
连接OC，设OC=r，在Rt△COH中，利用勾股定理求出OC；由△EHM∽△NHF，推出HEHN=HMHF，推出HE⋅HF=HM⋅HN，又HM⋅HN=AH⋅HB，推出HE⋅HF=AH⋅HB，由此即可解决问题．
本题考查圆综合题、垂径定理、勾股定理、相似三角形的判定和性质、相交弦定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．
17.【答案】解：∵当x>1时，y随x的增大而增大，
∴可设对称轴为直线x=1，
∵该函数的开口大小、形状均与函数y1=2x2的图象相同，
∴二次项系数为2，
∴满足条件二次函数表达式可为y2=2(x−1)2(答案不唯一)．
【解析】利用二次函数的性质可设对称轴为直线x=1，二次项系数为2，据此即可写出满足条件一个二次函数表达式．
本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的性质．
18.【答案】解：猜想P1活动1，画树状图如下：

共有6种等可能的结果，其中摸出的两个球都是红球的结果有2种，
∴P1=26=13；
活动2，画树状图如下：

共有9种等可能的结果，两次摸出的球都是红球的结果有4种，
∴P2=49，
∵13=39<49，
∴P1【解析】分别画树状图，由概率公式求出P1，P2的大小，即可得出结论．
本题考查了树状图法求概率；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比；正确画出树状图是解题的关键．
19.【答案】(1)证明：∵∠CFD=∠B，∠DCF=∠ECB，
∴△CFD∽△CBE；
(2)解：∵BD=8，DC=2，
∴BC=10，
∵BE=6，AD⊥BC，
∴CE=102−62=8，
由(1)得△CFD∽△CBE，
∴CDCE=DFBE，
∴28=DF6，
∴DF=32．
【解析】(1)根据两角相等两个三角形相似证明即可；
(2)利用勾股定理先求解CE，再由相似三角形的性质求解即可．
本题考查的是四边形的内角和定理的应用，相似三角形的判定与性质，熟练的利用相似三角形的判定和性质是解本题的关键．
20.【答案】解：(1)∵二次函数y=ax2+bx+3(a≠0)的图象经过点A(1,−1)，
∴−1=a+b+3，
∴a+b=−4；
(2)∵二次函数的顶点为P(x0,y0)，
∴y0=4ac−b24a=12a−(−4−a)24a=−a2+4a−164a，
∴ay0=−14(a2−4a+16)=−14(a−2)2−3，
∵−14<0，
∴ay0的最大值为−3．
【解析】(1)把点A(1,−1)代入二次函数的解析式，即可求解；
(2)利用二次函数的顶点公式求得y0=4ac−b24a=−a2+4a−164a，再求得ay0=−14(a−2)2−3，利用二次函数的性质即可求解．
本题考查了二次函数的性质，顶点坐标，掌握二次函数的性质是解题的关键．
21.【答案】解：(1)∵五边形ABCDE是正五边形，
∴AB=BC=CD=DE=AE，BA//CE，AD//BC，DE//AC，AC=AD=CE，∠BAE=15(5−2)×180°=108°．
∴四边形ABCF是菱形，
∴∠BAC=∠CAD，
同理可求：∠CAD=∠DAE，
∴∠BAC=∠CAD=∠DAE=13×108°=36°；
(2)∵四边形ABCF是菱形，
∴CF=AF=AB=2．
∵∠BAC=∠CAD=∠DAE=36°，
同理∠DCE=36°，
∴△DCF∽△DAC，
∴CDDF=ADCD，即CD2=DF×AD，
设DF=x，则AD=x+2，
∴22=x(x+2)，即x2+2x−4=0，
解得x=5−1(舍去负值)．
∴DF的长是5−1．
【解析】(1)根据五边形ABCDE是正五边形，判断出AB=BC=CD=DE=AE，BA//CE，AD//BC，DE//AC，AC=AD=CE，∠BAE=108°.即可得到∠BAC=∠CAD=∠DAE=13×108°=36°；
(2)证明△DCF∽△DAC，推出CD2=DF×AD，设DF=x，则AD=x+2，列出方程，解方程即可求出DF的长．
本题考查了正多边形和圆，根据正五边形的性质，找到相似三角形，利用相似三角形的性质是解题的关键．
22.【答案】(1)解：∵函数y=m(x+1)2+4n(m≠0，且m，n为实数)，
∴函数图象的对称轴为x=−1；
(2)证明：令y=0，则0=m(x+1)2+4n，
即(x+1)2=−4nm，
∵m，n异号，
∴−4nm>0，
∴一元二次方程有两个不相等的实数根，即函数y的图象与x轴有两个不同的交点；
(3)证明：由题可知p=m+4n，q=16m+4n，r=25m+4n，
∵2q−(p+r)=2(16m+4n)−(m+4n+25m+4n)=6m<0，
∴m<0．
【解析】(1)把(1,5)代入函数关系式，再利用a=b解方程组求出a，b即可解题；
(2)令y=0，则有(x+1)2=−4nm，由m，n异号，可知一元二次方程有两个实数根，即函数y的图象与x轴有两个不同的交点；
(3)把x=0，3，4代入y=m(x+1)2+4n表示出p，q，r，再利用2q−(p+r)<0，解题即可．
本题考查二次函数解析式，顶点坐标，一元二次方程根的情况，整式的加减，熟练掌握数形结合的思想是解题的关键．
23.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠BCD+∠BAD=180°，
∵∠DAB+∠EAD=180°，
∴∠EAD=∠BCD，
∴∠CAD=∠CBD，
∵AD平分∠EAC，
∴∠EAD=∠DAC，
∴∠BCD=∠CBD，
∴DB=DC，
∴△DBC是等腰三角形；
(2)①证明：∵DA=DF，
∴∠DAF=∠DFA，
∴∠DAF=∠DFA=∠CBD=∠BCD，
∴△DAF∽△DBC，
∴∠ADF=∠BDC，
∴∠DFA=∠DCB，
∵∠DBC=∠FBC，
∴△FBC∽△BCD，
∴FBBC=BCBD，
∴BC2=BD⋅BF，
∵DB=DC，
∴BC2=DC⋅BF；
②解：连接DO交BC于G，

∵BD=DC，OB=OC，
∴D、O都在中垂线上，即D、O、G共线，
∴DO⊥BC且BG=GC=3，
∵OB=5，
∴在Rt△BOG中，OG=4，
∴DG=4+OD=9，
∴在Rt△BDG中，BD=92+32=310，
∵△FBC∽△BCD，
∴FBBC=BCBD，
∴FB6=6310，
解得：FB=6510，
∴DF=310−6510=9510，
∴AD=DF=9510，
∵∠DAC=∠DBC，∠DFA=∠BFC，
∴△AFD∽△BFC，
∴BCAD=69105=103，
∴S△BCFS△ADF=(BCAD)2=109．
【解析】(1)由题意易得∠BCD+∠BAD=180°，则有∠EAD=∠BCD，进而可得∠EAD=∠DAC，则∠BCD=∠CBD，然后问题可求证；
(2)①由题意易证△DAF∽△DBC，则有∠ADF=∠BDC，进而可得∠DFA=∠DCB，再由相似三角形的判定得出△FBC∽△BCD，利用其性质即可证明；
②连接DO交BC于G，由题意易得D、O都在中垂线上，即D、O、G共线，进而可得DO⊥BC且BG=GC=3，则有DG=4+OD=9，由①得FB=6510，根据相似三角形的性质得出AD=DF=9510，再由相似三角形的判定得出△AFD∽△BFC，利用其性质即可求解．
本题主要考查圆内接四边形的性质及相似三角形的判定与性质，垂径定理及圆周角定理，熟练掌握圆内接四边形的性质及相似三角形的判定与性质是解题的关键．
x
…
−1
0
1
2
3
…
y
…
18
8
2
0
2
…
x
1
c
y=ax2
n
n
y=bx2
n+3
m