2022-2023学年安徽省宣城市九年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年安徽省宣城市九年级（上）期末数学试卷（含解析），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 下列函数中，是二次函数的是( )
A. y=−2x2B. y=2x
C. y=2x2−2x+2D. y=2x+2
2. 如果点C是线段AB的黄金分割点(AC>BC)，那么下列结论正确的为( )
A. ACAB=0.168B. ACBC=5−12C. BC2=AC⋅ABD. AC2=BC⋅AB
3. 在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=1，AC=2，下列各式中，正确的是( )
A. tanA=12B. csA=12C. sinA=12D. tanB=12
4. 如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加下列一个条件，不正确的是( )
A. ∠ABP=∠CB. ∠APB=∠ABC
C. APAB=ABACD. APAB=BPBC
5. 小明沿斜坡AB上行40m，其上升的垂直高度CB为20米，则斜坡AB的坡度( )
A. 30°
B. 12
C. 33
D. 32
6. 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y=bx+c的图象和反比例函数y=a+b+cx的图象在同一坐标系中大致为( )
A.
B.
C.
D.
7. 如图，矩形ABCD的边AB与y轴平行，顶点B的坐标为(1,6)，D的坐标为(3,2)，反比例函数y=kx的图象与矩形ABCD有公共点，则k的取值范围为( )
A. 3≤k≤12
B. 2≤k≤18
C. 3D. 28. 如图，在边长为1的小正方形网格中，点A，B，C，D都在这些小正方形的顶点上，AB，CD相交于点O，则sin∠BOD=( )
A. 12B. 2C. 255D. 55
9. 如图，AB//GH//CD，点H在BC上，AC与BD交于点G，AB=4，CD=6，则线段GH长为( )
A. 5
B. 3
C. 2.5
D. 2.4
10. 平面直角坐标系中，随着m取值的变化，一次函数y=4x+m与函数y=(x−1)2−1(x≤3)(x−5)2−1(x>3)的图象的公共点的个数分别为( )
A. 0，1，2B. 0，1，2，3
C. 0，1，2，3，4D. 1，2，3
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
11. 反比例函数y=m−2x的图象的一个分支在第二象限，则m的取值范围是 ．
12. 在△ABC中，若sinA=12,csB=22，∠A，∠B都是锐角，则∠C的度数是 ．
13. 如图是小孔成像原理的示意图，OA=25cm，OC=10cm，AB//CD.若物体AB的高度为15cm，则像CD的高度是 cm．
14. 在“探索函数y=ax2+bx+c的系数a，b，c与图象的关系”活动中，老师给出了直角坐标系中的四个点：A(0,2)，B(1,0)，C(3,1)，D(2,3).同学们探索了经过这四个点中的三个点的二次函数图象，发现这些图象对应的函数表达式各不相同，其中a的最大值与最小值的和为 ；a的最小值为 ．
三、解答题（本大题共9小题，共90.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. (本小题8.0分)
计算：cs230°+sin245°−tan60°⋅tan30°
16. (本小题8.0分)
如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，求证：AD2=CD⋅BD．
17. (本小题8.0分)
如图，由边长为1个单位长度的小正方形组成的9×9网格中，已知点O，A，B，C均为网格线的交点．
(1)以O为位似中心，在网格中画出△ABC的位似图形△A1B1C1，使原图形与新图形的位似比为1：2；
(2)利用图中网格线的交点用直尺在线段AB上找到一点D，使AD：DB=1：2．
18. (本小题8.0分)
如图，已知反比例函数y1=mx和一次函数y2=kx+b的图象交于点A(1,6)，B(n,32)两点．
(1)求m、n的值；
(2)连接OA、OB，求△AOB的面积．
19. (本小题10.0分)
如图，△ABC中，分别在边AB、AC上取点D、E，使ADAB=AEAC，再取BC的中点M，连接AM交DE于点N．
(1)求证：DE//BC；
(2)判断线段DN与NE的大小关系，并说明理由．
20. (本小题10.0分)
学校下午放学时校门口的“堵塞”情况已成为社会热点问题，某校对本校下午放学校门口“堵塞”情况做了一个调查发现：每天放学时间2分钟后校门外学生流量变化大致可以用“拥挤指数”y(%)与放学后时间x(分钟)的函数关系描述.如图，2～12分钟呈二次函数状态，且在第12分钟达到该函数最大值100，此后变化大致为反比例函数y=kx(x>0)的图象向右平移4个单位得到的曲线趋势.若“拥挤指数”y≥36，校门外呈现“拥挤状态”，需要志愿者维护秩序、疏导交通．
(1)求该二次函数的解析式和k的值；
(2)“拥挤状态”持续的时间是否超过20分钟？请说明理由．
21. (本小题12.0分)
居家网课学习时，小华先将笔记本电脑放置在水平的桌面上，如图(1)所示，其侧面示意图如图(2)所示，∠AOB=120°，OA=OB=40cm；使用时为了散热，他在底板下垫入散热架ACO′，并将显示屏OB旋转到O′B′的位置，如图(3)所示，其侧面示意图如图(4)所示.已知B′、O′、C三点在一条直线上，且B′C⊥AC，∠O′AC=37°(参考数据：sin37°≈0.6，cs37°≈0.8，tan37°≈0.75，3≈1.73)．

(1)求散热架ACO′底边AC的长；
(2)垫入散热架后，显示屏顶部B′比原来升高了多少cm？
22. (本小题12.0分)
现要修建一条公路隧道，其截面为抛物线型，如图所示，线段OE表示水平的路面，以O为坐标原点，以OE所在直线为x轴，以过点O垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系.根据设计要求OE=12m，隧道上距点O水平方向2米及竖直方向6米的A点有一照明灯．
(1)求满足设计要求的抛物线的函数表达式；
(2)现需在这个隧道中间位置设置双向通行车道，加中间隔离带合计宽度9米，隧道入口对车辆要求限高，请通过计算说明高度不超过4.5米的车辆能否安全通过该隧道？
23. (本小题14.0分)
如图，正方形ABCD中，E、F分别是边BC、CD上的点，AE、AF分别交BD于点G、H，连接EF，恰好有EF=BE+DF．
(1)求证：∠EAF=45°；
(2)求证：△AGH∽△AFE；
(3)直接写出EFGH的值；
(4)图中能够证明的相似三角形(不连接其它线段，包括全等三角形)共有 ．
A.4对
B.6对
C.11对
D.16对
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解；A．y=−2x2，关系式不是整式，故不是二次函数；
B.y=2x，关系式不是整式，故不是二次函数；
C.y=2x2−2x+2，自变量的次数是2，且二次项的系数不为零，故是二次函数；
D.y=2x+2，自变量的次数不是2，是一次函数，不是二次函数；
故选：C．
判断一个函数是不是二次函数，在关系式是整式的前提下，如果把关系式化简整理(去括号、合并同类项)后，能写成y=ax2+bx+c(a,b,c为常数，a≠0)的形式，那么这个函数就是二次函数，否则就不是．
本题考查了二次函数的定义，一般地，形如y=ax2+bx+c(a,b,c为常数，a≠0)的函数叫做二次函数．
2.【答案】D
【解析】解：∵点C是线段AB的黄金分割点，AC>BC，
∴AC是BC和AB的比例中项，即BCAC=ACAB=5−12，
∴AC2=AB⋅BC，
∴选项A、B、C结论错误，不符合题意，选项D结论正确，符合题意，
故选：D．
根据黄金分割的概念进行判断即可．
本题考查的是黄金分割，理解黄金分割的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键．
3.【答案】A
【解析】解：∵∠C=90°，BC=1，AC=2，
∴AB=AC2+BC2=22+12=5，
∴sinA=BCAB=15=55,csA=ACAB=25=255，tanA=BCAC=12,tanB=ACBC=21=2．
故选：A．
先用勾股定理求出AB，再利用三角函数的定义逐一判断即可．
本题考查了锐角三角函数的定义：正确理解正弦、余弦、正切函数的定义是解决问题的关键．
4.【答案】D
【解析】解：在△ABP和△ACB中，∠BAP=∠CAB，
∴当∠ABP=∠C时，满足两组角对应相等，可判断△ABP∽△ACB，故A正确；
当∠APB=∠ABC时，满足两组角对应相等，可判断△ABP∽△ACB，故B正确；
当APAB=ABAC时，满足两边对应成比例且夹角相等，可判断△ABP∽△ACB，故C正确；
当APAB=BPBC时，其夹角不相等，则不能判断△ABP∽△ACB，故D不正确；
故选：D．
根据相似三角形的判定方法，逐项判断即可．
本题主要考查相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键，即在两个三角形中，满足三边对应成比例、两边对应成比例且夹角相等或两组角对应相等，则这两个三角形相似．
5.【答案】C
【解析】解：由题意得：AB=40m，CB=20m，BC⊥AC，
∴∠ACB=90°，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC=AB2−CB2=402−202=203(m)，
∴斜坡AB的坡度=CBAC=20203=33，
故选：C．
先由勾股定理求出AC的长，再由坡度的定义即可得出结果．
本题考查了解直角三角形的应用−坡度坡角、勾股定理等知识，熟练掌握坡度的定义是解题的关键．
6.【答案】D
【解析】解：∵二次函数的图象开口向下，
∴a<0，
∵−b2a<0，
∴b<0，
∵抛物线与y轴相交于正半轴，
∴c>0，
∴直线y=bx+c经过一、二、四象限，
由图象可知，当x=1时，y<0，
∴a+b+c<0，
∴反比例函数y=a+b+cx的图象必在二、四象限，
故A、B、C错误，D正确；
故选：D．
先根据二次函数的图象开口向下和对称轴可知b<0，由抛物线交y的正半轴，可知c>0，由当x=1时，y<0，可知a+b+c<0，然后利用排除法即可得出正确答案．
本题考查的是二次函数的图象与系数的关系，反比例函数及一次函数的性质，熟知以上知识是解答此题的关键．
7.【答案】B
【解析】解：由题可知A，C两点坐标为：A(1,2)，C(3,6)，
当双曲线y=kx经过点A时，k的值最小，此时k=1×2=2，
当双曲线y=kx经过点C时，k的值最大，此时k=3×6=18，
∴k的取值范围为2≤k≤18．
故选：B．
根据矩形写出A，C两点坐标，然后利用双曲线y=kx经过点A，C时对应的k值，从而得到k的取值范围．
本题考查反比例函数图像上点的坐标特征，熟记点的横纵坐标的积是定值k是解题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：连接CE、DE，如图：

∵由图可知：∠1=∠2=∠3=∠4=∠ABE=45°
∴∠CED=∠2+∠3=90°，AB//CE，
∴∠BOD=∠DCE
∵小正方形的边长为1
∴在Rt△CDE中，
DE=22+22=22，CD=12+32=10
∴sin∠DCE=DECD=2210=255
∴sin∠BOD=sin∠DCE=255．
故选：C．
通过添加辅助线构造出Rt△CDE后，将问题转化为求sin∠DCE的值，再利用勾股定理、锐角三角函数求解即可．
本题考查了正方形的性质、直角三角形的判定、勾股定理以及锐角三角函数．此题难度适中，解题的关键准确作出辅助线，注意转化思想与数形结合思想的应用．
9.【答案】D
【解析】解：∵AB//GH，
∴△CGH～△CAB，
∴GHAB=CHBC，
即GH4=CHBC①，
∵GH//CD，
∴△BGH～△BDC，
∴GHCD=BHBC，
即GH6=BHBC②，
①+②，得GH4+GH6=CHBC+BHBC=1，
解得：GH=2.4，
故选：D．
根据相似三角形的性质，得出GHAB=CHBC，GHCD=BHBC，即GH3=BHBC①，GH6=BHBC②，将两个式子相加，即可求出GH的长．
本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．
10.【答案】A
【解析】解：如图所示，

由题意得，y=4x+my=(x−1)2−1，
即(x−1)2−1=4x+m，
即x2−6x−m=0，
当Δ=b2−4ac=36+4m=0，
即m=−9时，x2−6x+9=0，
解得：x1=x2=3，
则交点坐标为(3,3)，
∵y=(x−5)2−1(x>3)是由y=(x−1)2−1(x<3)向右移动4个单位，
则当x=7时，y=4x+m与y=(x−5)2−1(x>3)只有1个交点，
即当x≤3或x=7时，两函数图象公共点的个数为1，当37时没有公共点．
故选：A．
根据题意得出直线y=4x+m与二次函数y=(x−1)2−1(x≤3)以及y=(x−5)2−1(x>3)的交点，作出图像，即可求解．
本题考查了二次函数图象的性质，二次函数的平移，数形结合是解题的关键．
11.【答案】m<2
【解析】解：∵反比例函数y=m−2x的图象的一个分支在第二象限，
∴m−2<0，
解得m<2．
故答案为：m<2．
根据反比例函数y=m−2x的图象的一个分支在第二象限，可得m−2<0，解不等式即可求解．
本题考查了反比例函数的图象与性质，熟练掌握和运用反比例函数的图象与性质是解决本题的关键．
12.【答案】105°
【解析】解：∵sinA=12,csB=22,∠A,∠B都是锐角，
∴∠A=30°，∠B=45°，
∴∠C=180°−45°−30°=105°，
故答案为：105°．
根据特殊角的三角函数值求得∠A=30°，∠B=45°，根据三角形内角和定理即可求解．
本题考查了特殊角的三角函数值，三角形内角和定理，牢记特殊角的三角函数值是解题的关键．
13.【答案】6
【解析】解：∵AB//CD，
∴△AOB∽△COD，
∴ABCD=OAOC=2510，
又∵AB=15cm，
∴CD=1025×15=6(cm)．
故答案为：6．
正确理解小孔成像的原理，首先由AB//CD可证得△AOB∽△COD，再根据相似三角形的性质，即可求出CD的长．
本题考查了相似三角形的应用，掌握相似三角形的性质是解题的关键．
14.【答案】0 −52
【解析】解：当抛物线经过A(0,2)，B(1,0)，C(3,1)三点时，
得c=2a+b+c=09a+3b+c=1，
解得a=23b=−83c=2c=2，y=23x2−83x+2；
当抛物线经过A(0,2)，B(1,0)，D(2,3)三点时，
得c=2a+b+c=04a+2b+c=3，
解得a=52b=−92c=2，
∴y=52x2−92x+2；
当抛物线经过A(0,2)，D(2,3)三点时，
得c=29a+3b+c=14a+2b+c=3，
解得a=−56b=136c=6c=2，
∴y=−56x2+136x+2；
当抛物线经过B(1,0)，D(2,3)三点时，
得a+b+c=09a+3b+c=14a+2b+c=3，
解得a=−52b=212c=−8，
∴y=−52x2+212x−8，
∵52>23>−56>−52
∴a的值最大是52，a的值最小是−52，
∴52+(−52)=0．
故答案为：0，−52．
用待定系数法分别求出经过A，B，C三点，A，B，D三点，A，C，D三点，B，C，D三点的函数解析式即可求解．
本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握待定系数法求函数解析式的方法是解题的关键．
15.【答案】解：原式=(32)2+(22)2−3⋅33
=34+12−1
=14．
【解析】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．
直接利用特殊角的三角函数值分别代入求出答案．
16.【答案】证明：∵AD⊥BC于点D，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
∴∠B+∠BAD=90°，
而∠BAD=∠DAC=90°，
∴∠B=∠DAC，
∴Rt△ADB∽Rt△CDA，
∴AD：CD=BD：AD，
∴AD2=CD⋅BD．
【解析】利用等角的余角相等得到∠B=∠DAC，则可判断Rt△ADB∽Rt△CDA，所以AD：CD=BD：AD，然后根据比例的性质即可得到结论．
本题考查了射影定理：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项．每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．也考查了相似三角形的判定与性质．
17.【答案】解：(1)如图所示：△A1B1C1即为所求；
(2)如图，点D为所求，

如图，AE//DF，
故点D满足题意．
【解析】(1)连接OA并延长到点A1，使得AA1=OA，连接OB并延长到点B1，使得BB1=OB，连接OC并延长到点C1，使得CC1=OC，顺次连接A1、B1、C1即可；
(2)如图，AE//DF，根据平行线分线段成比例定理即可得到所求的点．
此题考查了位似图形的作图、平行线分线段成比例定理等知识，熟练掌握作图步骤和平行线分线段成比例定理是解题的关键．
18.【答案】解：(1)把A(1,6)代入y1=mx得：m=6，
∴y1=6x，
把B(n,32)代入y=6x得：n=4；
(2)作AC⊥x轴于点C，BD⊥x轴于点D，

则S△AOD=S△AOC+S梯ACDB--S△BOD，
∵S△AOC=S△BOD=62=3，
∴S△AOB=S梯形ACDB=12×(32+6)×3=454．
【解析】(1)先将点A的坐标代入反比例函数的解析式，求出m的值，再把点B的坐标代入反比例函数的解析式，即可求出n的值；
(2)作AC⊥x轴于点C，BD⊥x轴于点D，根据S△AOB=S△AOC+S梯形ACDB−S△BOD、S△AOC=S△BOD进行求解即可．
本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，求反比例函数图象上点的坐标，比例系数k的几何意义，反比例函数与图形的面积，熟练掌握知识点是解题的关键．
19.【答案】(1)证明：∵ADAB=AEAC,∠DAE=∠BAC，
∴△ADE∽△ABC
∴∠ADE=∠ABC，
∴DE//BC；
(2)解：结论：DN=NE．
理由：∵DE//BC，
∴AEAC=NECM，
∵ADAB=AEAC，
∴DNBM=NECM，
∵M是BC的中点，
∴BM=CM，
∴DN=NE．
【解析】(1)根据两边成比例，且夹角相等的两个三角形相似得△ADE～△ABC，即而得∠ADE=∠B，从而可得结论；
(2)由△ADN∽△ABM和△ANE∽△AMC得DNBM=NECM，再由BM=CM，从而得DN=NE．
本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；灵活运用相似三角形的性质表示线段之间的关系．
20.【答案】解：(1)设该二次函数的解析式为y=a(x−12)2+100，
把点(2,0)代入，得100a+100=0，
解得：a=−1，
∴所求二次函数的解析式为y=−(x−12)2+100，
把点(12,100)向左平移4个单位，得(8,100)，
代入y=kx得：k=800；
(2)解：超过20分钟，理由如下：
由y=−(x−12)2+100=36解得：x1=4，x2=20(舍去)，
由y=800x=36，解得：x=2229，x+4=2229+4=2629，
而2629−4=2229>20，
所以“拥挤状态”持续的时间超过20分钟．
【解析】(1)设该二次函数的解析式为y=a(x−12)2+100，把点(2,0)代入，即可求得二次函数的解析式；把点(12,100)向左平移4个单位，得(8,100)，把该点的坐标代入y=kx，即可求得k的值；
(2)由y=−(x−12)2+100=36可得x=4，再由y=800x=36，得x=2229，可得反比例函数y=kx(x>0)的图象向右平移4个单位得到的时间，再由2629−4=2229>20，即可判定．
本题考查了函数图象，待定系数法求二次函数与反比例函数的解析式，图象的平移，求出函数解析式是关键．
21.【答案】解：(1)∵O′C⊥AC，
∴∠ACO′=90°，
∵∠CAO′=37°，cs37°≈0.8，
∴AC≈0.8AO′=0.8×40=32(cm)，
答：AC的长约为32cm；
(2)过点B作BD⊥AO交AO的延长线于D，
∵∠AOB=120°，
∴∠BOD=60°，
∴∠OBD=30°，
∴OD=12OB=20cm，
∴BD=OB2−OD2=203≈20×1.73=34.6(cm)，
∵O′C⊥OA，∠CAO′=37°，
∴O′C=AO′sin37°≈40×0.6=24(cm)，
∴B′C=O′B+O′C≈40+24=64(cm)，
因为64−34.6=29.4(cm)．
所以显示屏顶部B′比原来升高了约29.4cm．
【解析】(1)利用AC=AO′cs∠O′AC计算即可；
(2)过点B作BD⊥AO交AO的延长线于D，先计算BD，再解△O′AC，计算O′C=AO′sin37°，得到B′C=O′B+O′C，再计算B′C−BD即可得解．
本题主要考查解直角三角形的应用，结合图形，熟练运用锐角三角函数解直角三角形是解题的关键．
22.【答案】解：(1)抛物线经过点(0,0)，(12,0)，
∴可以设抛物线的解析式为y=ax(x−12)，
把点A(2,6)代入，可得a=−310，
∴抛物线的解析式为y=−310x(x−12)
即y=−310x2+185x；
(2)解：12−9=3，
根据对称性，令x=32，得y=−310×32×(32−12)=18940﹒
∵18940>4.5，
∴高度不超过4.5米的车辆能安全通过该隧道．
【解析】(1)设抛物线的解析式为y=ax(x−12)，把点A(2,6)代入，即可求解；
(2)令x=32，求得y的值，再与4.5比较，即可解答．
本题考查二次函数的应用，待定系数法，解题的关键是熟练掌握待定系数法．
23.【答案】D
【解析】(1)证明：将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABM.如图所示：

由旋转可得AM=AF，MB=FD，∠DAF=∠BAM，∠ABM=∠ADF=90°．
∴∠ABM+∠ABE=90°+90°=180°．
∴点M、B、E在同一条直线上．
∵EF=BE+DF，
∴EF=EM
∴△AEM≌△AEF(SSS)，
∴∠EAM=∠EAF，
∵∠BAD=90°，∠DAF=∠BAM，
∴∠FAM=90°．
∴∠EAF=45°；
(2)证明：由(1)知△AEM≌△AEF，
∴∠AEM=∠AEF，
∵∠GBE=∠EAF=45°，∠BGE=∠AGH，
∴∠BGE=∠AFE，
∴∠AGH=∠AFE，
∵∠HAG=∠EAF，
∴△AGH∽△AFE；
(3)解：连接AC交BD于点O，如图所示：

∴AC⊥BD，AO为△AGH边上的高，
由(1)得△AEM≌△AEF(SSS)且AB⊥BC，AB为△AME边上的高且与△AEF的边EF上的高相等，
∵正方形ABCD，
∴ABAO=2，
由(2)得△AGH∽△AFE，
∴EFGH=2；
(4)解：同(2)中证明方法一致可得：△AGH∽△AFE∽△BAH∽△DGA∽△BGE∽△DFH，两两相似共15对，
另外△ABC≌△CDB，合计16对．
故答案为：D．
(1)将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABM，根据旋转的性质确定点M、B、E在同一条直线上，再由全等三角形的判定和性质得出∠EAM=∠EAF，利用等量代换求解即可；
(2)由(1)知△AEM≌△AEF，利用三角形内角和定理及等量代换得出∠AGH=∠AFE，再由相似三角形的判定证明即可；
(3)连接AC交BD于点O，根据正方形的性质及(1)(2)中结果求解即可；
(4)同(2)中证明方法一致找出相似三角形即可．
题目主要考查正方形的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等，理解题意，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题关键．