上海市虹口区2023年九年级下学期期中数学试题【含答案】

这是一份上海市虹口区2023年九年级下学期期中数学试题【含答案】，共12页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．下列实数中，有理数是（ ）
A．B．C．D．
2．在下列各组根式中，是同类二次根式的是（ ）
A．和B．和
C．和D．和
3．下列命题中，正确的是（ ）
A．正多边形都是中心对称图形
B．正多边形一个内角的大小与边数成正比例
C．正多边形一个外角的大小与边数成反比例
D．边数大于3的正多边形的对角线长都相等
4．将抛物线向左平移两个单位，以下不改变的是（ ）
A．开口方向B．对称轴
C．y随x的变化情况D．与y轴的交点
5．六个学生进行投篮比赛，投进的个数分别为2、10、3、3、13、5，这六个数的中位数为（ ）
A．3B．4C．5D．6
6．已知圆、圆的半径不相等，圆的半径长为5，若圆上的点A满足，则圆与圆的位置关系是（ ）
A．相交或相切B．相切或相离C．相交或内含D．相切或内含
二、填空题
7．计算 .
8．已知，则 ．
9．不等式组的解集是 ．
10．方程的解是 ．
11．如果关于x的一元二次方程 有两个相等的实数根，那么实数k的值是 .
12．已知点P位于第三象限内，且点P到两坐标轴的距离分别为3和2．若反比例函数图象经过点P，则该反比例函数的解析式为 ．
13．女生小琳所在班级共有40名学生，其中女生占60%.现学校组织部分女生去市三女中参观，需要从小琳所在班级的女生当中随机抽取一名女生参加，那么小琳被抽到的概率是 ．
14．已知平行四边形相邻两个内角相差40°，则该平行四边形中较小内角的度数是 ．
15．半径为4的圆的内接正三角形的边长为 ．
16．如图，已知梯形ABCD中，，对角线AC、BD交于点O，．设，，则 ．（用含、的式子表示）
17．如图，在四边形ABCD中， ，M、N分别是AC、BD的中点，则线段MN的长为
18．已知，、之间的距离是5cm，圆心O到直线的距离是2cm，如果圆O与直线、有三个公共点，那么圆O的半径为 cm．
三、解答题
19．计算：
20．解方程组：
21．如图，AH是△ABC的高，D是边AB上一点，CD与AH交于点E．已知，．
（1）求；
（2）若以H为圆心、HB为半径的圆恰好经过点D，求的值．
22．已知反比例函数的图像和一次函数的图像都经过点．
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）如果等腰梯形ABCD的顶点A、B在这个一次函数的图象上，顶点C、D在这个反比例函数的图象上，两底AD、BC与y轴平行，且A和B的横坐标分别为a和，求a的值．
23．已知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，DE∥AB，与对角线交于点，∥，且FG=EF.
（1）求证：四边形是菱形；
（2）联结AE，又知AC⊥ED，求证： .
24．如图，抛物线y=ax2+6x+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C．直线y=x﹣5经过点B，C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点A的直线交直线BC于点M．
①当AM⊥BC时，过抛物线上一动点P（不与点B，C重合），作直线AM的平行线交直线BC于点Q，若以点A，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的横坐标；
②连接AC，当直线AM与直线BC的夹角等于∠ACB的2倍时，请直接写出点M的坐标．
25．如图，△ABC中，，是AC边上的中线，AO平分且交BD于点O．
（1）求证：；
（2）当△BCD是等腰三角形时，求的余弦值；
（3）以O为圆心、OD长为半径的圆交线段BO于点E，连结CE．当△CDE与△AOB相似时，求AB：BC的值．
1．C
2．B
3．C
4．A
5．B
6．A
7．
8．1
9．
10．
11．
12．
13．
14．70
15．
16．
17．5
18．3或7
19．解：
＝
＝
20．解：由方程②得（x-6y）（x+y）=0，
∴x-6y=0或x+y=0，即x=6y③或x=-y④，
∴原方程组为或，
把x=6y代入得：6y-y=10，
解得y=2，
∴x=6y=12；
把x=-y代入得：-y-y=10，
解得y=-5，
∴x=-y=5；
∴方程组的解为或．
21．（1）解：过点D作DF⊥BC交BC于点F
∵，AH为△的高，
∴∠
∵∠
∴△
∴
∴
∵
∴
设，则
∴
∵
∴
∴
∴
∵∠
∴△
∴
∴
∴
（2）解：以H为圆心，HB为半径作圆，如图，
∵
∴BC是⊙O的直径
∴∠
由（1）知，
∵
∴设
∴
∴
在中，
在中，
∴
∴
∵
∴
在中，
22．（1）解：∵点P（m，2）在函数的图象上，
∴m=6，
∵一次函数y=kx-7的图象经过点P（6，2），
得6k-7=2，
∴k=，
∴所求的一次函数解析式是y=x-7；
（2）解：过B作BF⊥AD，过C作CE⊥AD，
∵点A、B的横坐标分别是a和a+2，
∴可得，，，
∵AB=CD，
在Rt△CDE与Rt△ABF中，
由勾股定理得：，
AB2=AF2+BF2=22+32，
∵四边形ABCD是等腰梯形，
∴AB=CD，即，
即，
①由，化简得a2+2a+8=0，方程无实数根，
②由，化简得a2+2a-8=0，
∴a1=-4，a2=2．
经检验，a1=-4，a2=2均为所求的值．
所以，a的值是-4或2
23．（1）解：∵∥∥，∴四边形是平行四边形．
∵∥，∴．
同理 ．
得：＝
∵，∴．
∴四边形是菱形．
（2）解：连接，与交于点．
∵四边形是菱形，∴⊥．
得 ．同理．
∴．
又∵是公共角，∴△∽△．
∴．
∴．
24．（1）解：当x=0时，y=x﹣5=﹣5，则C（0，﹣5），
当y=0时，x﹣5=0，解得x=5，则B（5，0），
把B（5，0），C（0，﹣5）代入y=ax2+6x+c得
，解得 ，
∴抛物线解析式为y=﹣x2+6x﹣5
（2）解：①解方程﹣x2+6x﹣5=0得x1=1，x2=5，则A（1，0），∵B（5，0），C（0，﹣5），
∴△OCB为等腰直角三角形，
∴∠OBC=∠OCB=45°，∵AM⊥BC，
∴△AMB为等腰直角三角形，
∴AM= AB= ×4=2 ，
∵以点A，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，AM∥PQ，
∴PQ=AM=2 ，PQ⊥BC，
作PD⊥x轴交直线BC于D，如图1，则∠PDQ=45°，
∴PD= PQ= ×2 =4，
设P（m，﹣m2+6m﹣5），则D（m，m﹣5），
当P点在直线BC上方时，
PD=﹣m2+6m﹣5﹣（m﹣5）=﹣m2+5m=4，解得m1=1，m2=4，
当P点在直线BC下方时，
PD=m﹣5﹣（﹣m2+6m﹣5）=m2﹣5m=4，解得m1= ，m2= ，综上所述，P点的横坐标为4或 或 ；
②作AN⊥BC于N，NH⊥x轴于H，作AC的垂直平分线交BC于M1，交AC于E，如图2，
∵M1A=M1C，∴∠ACM1=∠CAM1，∴∠AM1B=2∠ACB，
∵△ANB为等腰直角三角形，
∴AH=BH=NH=2，
∴N（3，﹣2），易得AC的解析式为y=5x﹣5，E点坐标为（ ，﹣ ，
设直线EM1的解析式为y=﹣ x+b，
把E（ ，﹣ ）代入得﹣ +b=﹣ ，解得b=﹣ ，
∴直线EM1的解析式为y=﹣ x﹣
解方程组 得 ，则M1（ ，﹣ ）；
作直线BC上作点M1关于N点的对称点M2，如图2，则∠AM2C=∠AM1B=2∠ACB，
设M2（x，x﹣5），
∵3=
∴x= ，
∴M2（ ，﹣ ）.
综上所述，点M的坐标为（ ，﹣ ）或（ ，﹣ ）
25．（1）解：延长AO交BC于点E，使EF=OE
∵，AO平分
∴E为BC边中点，
∴
又∵∠
∴△
∴
∴BD//CF
∴
∵是AC边上的中线，
∴D为AC边中点，
∴AD=CD
∴AO=FO
∴O为AF的中点，
∴OD是△ACF的中位线，
∴
∴
（2）解：由（1）得，
∴
∵△BCD是等腰三角形
∴BC=BD=
∴
（3）解：如图
已知△
∴
∵
∴
∴△
∴
∵AC=AB，D为AC的中点，
∴
设OG=x，与（1）同理可得AO=2OG=2x
又AB=2AO=4x，
在Rt△ABG中，
∴
∴