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2023年湖北省武汉市洪山区九年级下学期3月月考数学试卷（含答案）
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这是一份2023年湖北省武汉市洪山区九年级下学期3月月考数学试卷（含答案），共32页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．实数3的相反数是（ ）
A．3B．C．D．
2．“成语”是中华文化的瑰宝，是中华文化的微缩景观．下列成语描述的事件是不可能事件的是（ ）
A．水中捞月B．守株待兔C．百步穿杨D．瓮中捉鳖
3．徽章交换是现代奥林匹克运动会特有的文化活动．在2022年北京冬奥会上，徽章交换依然深受欢迎．下列徽章图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
4．下列运算结果是的是（ ）
A． B．C． D．
5．如图所示，这是由4个大小相同的小正方体摆成的几何体，从左面看到的几何体的形状图是（ ）
A．B．C．D．
6．如图，电路连接完好，且各元件工作正常，随机闭合开关S1、S2、S3中的两个，能让两个小灯泡同时发光的概率是（ ）
A．B．C．D．
7．点在反比例函数的图象上，下列推断正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．存在，使得
8．如图，某容器的底面水平放置，容器上下皆为圆柱形，且大圆柱的底面半径是小圆柱的底面半径的2倍，高度也是小圆柱的2倍，匀速地向此容器内注水，在注满水的过程中，水面的高度h与时间t的函数关系的图象如图所示，则灌满小圆柱时所需时间为（ ）
A．B．C．D．10
9．如图，是的内切圆，，过点I作分别交，于N，M，若，，则的半径是（ ）
A．B．C．D．
10．方程的根可视为函数的图象与函数的图象交点的横坐标，那么用此方法可推断出方程的实数根x所在的范围是（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题
11．计算的结果是__________．
12．为了增强学生预防甲流的安全意识，某校开展甲流防控知识竞赛.来自不同年级的26名参赛同学的得分情况如图所示，这些成绩的中位数是______.
13．分式方程的解是_________．
14．如图，有甲乙两座建筑物，从甲建筑物点处测得乙建筑物点的俯角为，点的俯角为，为两座建筑物的水平距离．已知乙建筑物的高度为，则甲建筑物的高度为________．（，，，结果保留整数）．
15．抛物线（）的对称轴为，经过点（1，n），顶点为P，下列四个结论：
①若，则；
②若c与n异号，则抛物线与x轴有两个不同的交点；
③方程一定有两个不相等的实数解；
④设抛物线交y轴于点C，不论a为何值，直线PC始终过定点（3，n）．
其中正确的是_________（填写序号）．
16．如图四边形中，，，，E为线段的中点，连接交线段于F，若，，则的长为______.
三、解答题
17．解不等式组请按下列步骤完成解答．
(1)解不等式①，得_________；
(2)解不等式②，得_________；
(3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
(4)原不等式组的解集是_________．
18．如图，，，．
(1)求的度数；
(2)若平分，求的度数．
19．近几年购物的支付方式日益增多，某数学兴趣小组就此进行了抽样调查．调查结果显示，支付方式有：A微信、B支付宝、C现金、D其他，该小组对某超市一天内购买者的支付方式进行调查统计，得到如下两幅不完整的统计图．
请你根据统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）本次一共调查了多少名购买者？
（2）请补全条形统计图；在扇形统计图中A种支付方式所对应的圆心角为 度．
（3）若该超市这一周内有1600名购买者，请你估计使用A和B两种支付方式的购买者共有多少名？
20．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，∠ACB的平分线交AB于E，交⊙O于D，连接AD，BD．
(1)求证：；
(2)若，，求的值．
21．如图，在正方形的网格中，点A，B，C均在格点上，点P为线段与网格线的交点，仅用无刻度的直尺完成以下作图，画图过程用虚线表示.
(1)在图1中，将线段绕点A逆时针旋转得到线段；连接交于F，则______
(2)在图2中，在线段上画点Q，连接，使得
(3)在图3中，分别在线段，线段上画M，N连接，，使得最小.
22．冰墩墩是2022年北京冬季奥运会的吉祥物．冰墩墩以熊猫为原型设计，寓意创造非凡、探索未来．某批发市场购进一批冰墩墩玩偶出售，每件进货价为50元．经市场调查，每月的销传量y（万件）与每件的售价x（元）满足一次函数关系，部分数据如下表：
(1)直接写出y与x之间的函数表达式为 ；
(2)批发市场销售冰墩墩玩偶希望每月获利352万元，且尽量给客户实惠，每件冰墩墩应该如何定价？
(3)批发市场规定，冰墩墩的每件利润率不低于10%，若这批玩偶每月销售量不低于20a万件，最大利润为400万元，求a的值．
23．（1）问题发现
如图1，在△OAB和△OCD中，OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=40°，连接AC，BD交于点M．填空：
①的值为 ；
②∠AMB的度数为 ．
（2）类比探究
如图2，在△OAB和△OCD中，∠AOB=∠COD=90°，∠OAB=∠OCD=30°，连接AC交BD的延长线于点M．请判断的值及∠AMB的度数，并说明理由；
（3）拓展延伸
在（2）的条件下，将△OCD绕点O在平面内旋转，AC，BD所在直线交于点M，若OD=1，OB=，请直接写出当点C与点M重合时AC的长．
24．如图1，抛物线与x轴交于A，B（点A在点B左侧），与y轴负半轴交于C，且满足OA＝OB＝OC＝2．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图2，D为y轴负半轴上一点，过D作直线l垂直于直线BC，直线l交抛物线于E，F两点（点E在点F右侧），若DF＝3DE，求D点坐标；
(3)如图3，点M为抛物线第二象限部分上一点，点M，N关于y轴对称，连接MB，P为线段MB上一点（不与M、B重合），过P点、直线x＝t（t为常数）交x轴于S，交直线NB于Q，求QS－PS的值（用含t的代数式表示）．
售价x（元/件）
60
62
68
销售量y（万件）
40
36
24
参考答案：
1．B
【分析】根据相反数的定义可直接得出答案．
【详解】解：3的相反数是，
故选B．
【点睛】本题考查求一个数的相反数，解题的关键是掌握相反数的定义．如果两个数只有符号不同，那么称其中一个数为另一个数的相反数．
2．A
【分析】事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，必然事件和不可能事件都是确定的．
【详解】A. “水中捞月”是不可能事件，符合题意；
B. “守株待兔”是随机事件，不合题意；
C. “百步穿杨”，是随机事件，不合题意；
D. “瓮中捉鳖”是必然事件，不合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查的是随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
3．D
【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
4．B
【分析】根据同底数幂乘法、幂的乘方、合并同类项、同底数幂除法逐项排查即可．
【详解】解：A.，故A不符合题意；
B.，故B符合题意；
C.，故C不符合题意；
D.，故D不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了同底数幂乘法、幂的乘方、合并同类项、同底数幂除法等知识点，灵活运用相关算法是解答本题的关键．
5．C
【分析】根据左视图的定义即可得．
【详解】解：左视图是指从左面看物体所得到的视图，
这个几何体的左视图为 ，
故选：C．
【点睛】本题考查了左视图，熟记定义是解题关键．
6．B
【分析】根据题意画出树状图，得到共有6种等可能性，其中能让两个小灯泡同时发光有2种等可能性，根据概率公式求解即可．
【详解】解：画树状图得，由树状图得共有6种等可能性，
其中能让两个小灯泡同时发光应同时闭合 ， ，故有2种等可能性，所以概率为
故选B．
【点睛】本题考查了根据题意列表或画树状图求概率，正确列表或画出树状图是解题关键．
7．C
【分析】反比例函数的图象在一三象限，且在每个象限内，y随x到增大而减小．据此可判断．
【详解】解：反比例函数的图象在一三象限，且在每个象限内，y随x到增大而减小，那么：
A、若，且（x1，y1）、(x2，y2)在同一个象限，则，故选项错误，不符合题意；
B、若，且（x1，y1）、(x2，y2)分别在三、一象限内，则，故选项错误，不符合题意；
C、若，则，故选项正确，符合题意；
D、若，则，即y1=y2，另外，还可根据函数的定义：对于自变量x的值，y都有唯一确定的值和它相对应，所以当时，不可能．故选项错误，不符合题意．
故选：C．
【点睛】此题考查了比较反比例函数值的大小,，解题的关键是数形结合，掌握函数的定义和反比例函数图象的性质．
8．C
【分析】利用圆柱的体积公式求出大圆柱与小圆柱的容积比，进而可得灌满大圆柱所用时间与灌满小圆柱所用时间之比，由此可解．
【详解】解：设小圆柱的半径为r，高度为h，
则大圆柱的半径为，高度为，
，
灌满大圆柱所用时间为灌满小圆柱所用时间的8倍，
由图可知，灌满小圆柱和大圆柱所用时间为50，
灌满小圆柱时所需时间为，
故选C．
【点睛】本题考查圆柱的体积、从函数图象获取信息，解题的关键是掌握圆柱的体积公式．
9．D
【分析】如图，设切点分别为E，F，G，连接，，，过点M作于P，过点N作于Q，证明，可得，同理可得，再证明，设，，则，利用勾股定理可求出x，即可求解．
【详解】解：设切点分别为E，F，G，连接，，，过点M作于P，过点N作于Q，
∵是的内切圆，
∴，，，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
同理可得，
∵，
∴，
∵
∴
∴，
∴，
∴，
∴，
设，，则，
在中，由勾股定理，得
，
解得：，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查了切线的性质，三角形内切圆的性质，相似三角形的性质和判定，勾股定理等知识，关键是作辅助线，利用三角形全等和相似解决问题．
10．B
【分析】按照提示方法，方程的根可视为函数的图象与函数的图象交点的横坐标，在同一平面直角坐标系中画出两个函数的图象，根据两个函数的图象的交点位置范围，确定原方程的根x的所在范围．
【详解】解：发现的根不为0，
方程两边同除以x，得到，
方程的根可视为函数的图象与函数的图象交点的横坐标，
在同一平面直角坐标系中画出两个函数的图象，
由图象看出，两个函数的图象交点在点和点之间，
∴方程的实数根x所在范围是．
故选B
【点睛】本题考查了图象法解方程，解决问题的关键是按照题设方法把方程拆成两个函数，用两函数图象交点位置范围估计方程实数根的所在范围．
11．5
【分析】根据二次根式的性质解答．
【详解】解：根据二次根式的性质，可得．
故答案为：5
【点睛】此题考查了二次根式的性质，关键要学会二次根式的性质：|a|的运用．
12．97
【分析】将26名同学的成绩从高到低排列，找出第13，14名同学的成绩，求平均值即可．
【详解】解：由图可知，将26名同学的成绩从高到低排列，则第13名同学的成绩为98分，第14名同学的成绩为96分，
，
因此这些成绩的中位数是97．
故答案为：97．
【点睛】本题考查求一组数据的中位数，掌握中位数的定义是解题的关键．
13．
【分析】找出分式方程的最简公分母，方程左右两边同时乘以最简公分母，去分母后再利用去括号法则去括号，移项合并，将x的系数化为1，求出x的值，将求出的x的值代入最简公分母中进行检验，即可得到原分式方程的解．
【详解】解：
解：化为整式方程为：3﹣x﹣1＝x﹣4，
解得：x＝3，
经检验x＝3是原方程的解，
故答案为：．
【点睛】此题考查了分式方程的解法．注意解分式方程一定要验根，熟练掌握分式方程的解法是关键．
14．
【分析】过点作于点，则，，，在中，，设，则，，，在中，，解得，进而可得出答案．
【详解】解：如图，过点作于点，设，
根据题意可得：，，
∴，
∴四边形是矩形，
∵从甲建筑物点处测得乙建筑物点的俯角为，点的俯角为，为两座建筑物的水平距离，乙建筑物的高度为，
∴，，，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，
即，
∴
解得，
经检验是原分式方程的解且符合题意，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用一仰角俯角问题，涉及到锐角三角函数，矩形的判定和性质，等腰三角形的性质，直角三角形两锐角互余，分式方程等知识．熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．
15．①②④
【分析】利用抛物线的对称轴为顶点b=2a，将（1，n）代入解析式得到a+b+c=n，即3a+c=n，n-c=3a，，由此判断①正确；利用∆判断②正确；求出∆，根据a=c，ac判断③错误；求出点P，点C坐标，得到直线PC的解析式，计算当x=3时y=n-c+c=n，判断④正确．
【详解】解：∵抛物线（）的对称轴为，
∴，即b=2a，
∵抛物线过点（1，n），
∴a+b+c=n，即3a+c=n，
∴n-c=3a，，
若a<0，则n-c<0，即n∆==
=4a（a-c）
=
=，
∵c、n异号，
∴∆>0，则抛物线与x轴有2个交点，故②正确；
方程，
∆=，
当a=c时，∆=0，方程只有一个实数根；
当ac时∆>0，方程有2个实数根，故③错误；
∵P为抛物线顶点，
∴P坐标为（-1，-a+c），
∵点C坐标为（0，c），
直线PC的解析式为y=ax+c，
又，则y=x+c，
点（3，n），
当x=3时y=n-c+c=n，
∴直线PC始终过（3，n），故④正确．
故答案为①②④．
【点睛】此题考查了抛物线的对称轴公式，抛物线与x轴交点情况，利用一元二次方程根的判别式确定方程的根的情况，二次函数的性质，熟练掌握各知识点是解题的关键．
16．
【分析】延长，交于点P，根据平行线分线段成比例可证．利用平行线的性质、等腰三角形的性质，通过等量代换可得，进而证明，根据对应边成比例可得，设，，再根据平行线分线段成比例得出，将数值代入求出x的值，即可求解．
【详解】解：如图，延长，交于点P，则，
E为线段的中点，
，
，
， 即．
，
，
，
，
，
E为线段的中点，，
，
，
，
，
，即，
又，
，
，
设，，
则，
，
，
，
， 即，
解得，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查平行线分线段成比例，相似三角形的判定与性质，直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的性质，平行线的性质等，难度一般，解题的关键是通过等量代换得出，进而证明．
17．(1)
(2)
(3)详见解析
(4)
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到”原则取所含不等式解集的公共部分，即确定为不等式组的解集．
【详解】（1）解：解不等式①，得
（2）解：解不等式②，得
（3）解：把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
（4）解：由图可得，原不等式组的解集是：
【点睛】本题考查解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
18．(1)
(2)
【分析】（1）根据，，得出，根据，得出即可；
（2）根据平分，，得出，根据平行线的性质，得出答案即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
（2）解：∵平分，，
∴，
∵，
∴
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握两直线平行内错角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行同位角相等．
19．（1）本次一共调查了200名购买者；（2）补全的条形统计图见解析，A种支付方式所对应的圆心角为108；（3）使用A和B两种支付方式的购买者共有928名．
【分析】（1）根据B的数量和所占的百分比可以求得本次调查的购买者的人数；
（2）根据统计图中的数据可以求得选择A和D的人数，从而可以将条形统计图补充完整，求得在扇形统计图中A种支付方式所对应的圆心角的度数；
（3）根据统计图中的数据可以计算出使用A和B两种支付方式的购买者共有多少名．
【详解】解：（1）56÷28%=200，即本次一共调查了200名购买者；
（2）D方式支付的有：200×20%=40（人），
A方式支付的有：200-56-44-40=60（人），
补全的条形统计图如图所示，
在扇形统计图中A种支付方式所对应的圆心角为：360°×=108°，
（3）1600×=928（名），
答：使用A和B两种支付方式的购买者共有928名．
【点睛】本题考查扇形统计图、条形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
20．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据角平分线的定义确定∠ACD=∠BCD，根据圆周角定理的推论和等价代换思想确定∠ABD=∠BAD，再根据等角对等边即可证明．
（2）连接OD，过点C作于H．根据圆周角定理的推论确定∠ACB=90°，根据勾股定理求出BC的长度，根据三角形面积公式求出CH的长度，根据等腰三角形三线合一的性质和垂直的定义确定∠EHC=∠EOD，根据相似三角形的判定定理和性质即可求出的值．
【详解】（1）证明：∵CD平分∠ACB，
∴．
∵∠ACD=∠ABD，∠BCD=∠BAD，
∴．
∴．
（2）解：如下图所示，连接OD，过点C作于H．
∵AB是⊙O的直径，AB=10，
∴，OA=OB=DO=5．
∵AC=6，
∴．
∴．
∴．
∵AD=BD，CH⊥AB，
∴OD垂直平分AB，∠EHC=90°．
∴∠EOD=90°．
∴∠EHC=∠EOD．
∵∠CEH=∠DEO，
∴．
∴．
【点睛】本题考查角平分线的定义，圆周角定理的推论，等角对等边，勾股定理，三角形面积公式，等腰三角形的性质，相似三角形的判定定理和性质，综合应用这些知识点是解题关键．
21．(1)
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）如图，利用格点可得，由此可得点E，再证，可得，即，再由勾股定理可得，进而可得；
（2）连接交于点Q，连接，点Q即为所作；
（3）连接交于点M，取格点，连接交网格线于点，连接并延长交于点N，点M，N即为所作．
【详解】（1）解：如图，线段即为线段绕点逆时针旋转得到线段．
由图可知，，，，
，
，，
，
，
，
线段即为所求；
，，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
（2）解：如图，连接交于点Q，连接，点Q即为所作；
，，
，
，，
，
，
；
（3）解：如图，连接交于点M，取格点，连接交网格线于点，连接并延长交于点N，
设小正方形的边长为1，
，，
是等腰直角三角形，，
，
又，
和关于对称，
点和点关于对称，
，和关于对称，
由（2）可知，
，
，
，
，
，
即此时最小，
点M，N即为所作．
【点睛】本题考查作图——应用与设计作图，平行线分线段成比例，相似三角形的判定与性质，勾股定理，轴对称的性质，等腰直角三角形的判定与性质，锐角三角函数等知识，充分利用格点特征是解题的关键．
22．(1)
(2)每件冰墩墩定价为58元
(3)
【分析】（1）由表可知单价为60元时，可买40万件，每上涨2元，销量就降4万件，据此有，整理即可得；
（2）根据题意列出一元二次方程即可求解，注意以让利给顾客为依据对根作取舍；
（3）设销售总利润为w，由题意，得，根据题意得出关于x的不等式组，求出x的取值范围，根据抛物线的性质和最大利润为400万元即可求出a的值．
【详解】（1）由表可知单价为60元时，可买40万件，每上涨2元，销量就降4万件，据此有，整理即可得：；
（2）
解得，
∵尽量给客户优惠
∴每件冰墩墩定价为58元；
（3）设销售总利润为w，由题意，
得，
又∵，则
∵二次项系数，抛物线开口向下，
①若，则当时，，不符合题意，舍去
②若，即
当时，随的增大而增大，
∴时，最大，
此时
解得，（舍）
∴．
【点睛】本题考查了一次函数和二次函数的应用，根据题意得出y与x的关系式以及列出二元二次方程是解答本题的关键．
23．（1）①1；②40°；（2），90°；（3）AC的长为3或2．
【分析】（1）①证明△COA≌△DOB（SAS），得AC=BD，比值为1；
②由△COA≌△DOB，得∠CAO=∠DBO，根据三角形的内角和定理得：∠AMB=180°-（∠DBO+∠OAB+∠ABD）=180°-140°=40°；
（2）根据两边的比相等且夹角相等可得△AOC∽△BOD，则，由全等三角形的性质得∠AMB的度数；
（3）正确画图形，当点C与点M重合时，有两种情况：如图3和4，同理可得：△AOC∽△BOD，则∠AMB=90°，，可得AC的长．
【详解】（1）问题发现：
①如图1，
∵∠AOB=∠COD=40°，
∴∠COA=∠DOB，
∵OC=OD，OA=OB，
∴△COA≌△DOB（SAS），
∴AC=BD，
∴
②∵△COA≌△DOB，
∴∠CAO=∠DBO，
∵∠AOB=40°，
∴∠OAB+∠ABO=140°，
在△AMB中，∠AMB=180°-（∠CAO+∠OAB+∠ABD）=180°-（∠DBO+∠OAB+∠ABD）=180°-140°=40°，
（2）类比探究：
如图2，，∠AMB=90°，理由是：
Rt△COD中，∠DCO=30°，∠DOC=90°，
∴，
同理得：，
∴，
∵∠AOB=∠COD=90°，
∴∠AOC=∠BOD，
∴△AOC∽△BOD，
∴ ，∠CAO=∠DBO，
在△AMB中，∠AMB=180°-（∠MAB+∠ABM）=180°-（∠OAB+∠ABM+∠DBO）=90°；
（3）拓展延伸：
①点C与点M重合时，如图3，
同理得：△AOC∽△BOD，
∴∠AMB=90°，，
设BD=x，则AC=x，
Rt△COD中，∠OCD=30°，OD=1，
∴CD=2，BC=x-2，
Rt△AOB中，∠OAB=30°，OB=，
∴AB=2OB=2，
在Rt△AMB中，由勾股定理得：AC2+BC2=AB2，
(x)2+(x−2)2＝(2)2，
x2-x-6=0，
（x-3）（x+2）=0，
x1=3，x2=-2，
∴AC=3；
②点C与点M重合时，如图4，
同理得：∠AMB=90°，，
设BD=x，则AC=x，
在Rt△AMB中，由勾股定理得：AC2+BC2=AB2，
(x)2+（x+2）2=(2)2.
x2+x-6=0，
（x+3）（x-2）=0，
x1=-3，x2=2，
∴AC=2；.
综上所述，AC的长为3或2．
【点睛】本题是三角形的综合题，主要考查了三角形全等和相似的性质和判定，几何变换问题，解题的关键是能得出：△AOC∽△BOD，根据相似三角形的性质，并运用类比的思想解决问题，本题是一道比较好的题目．
24．(1)
(2)或
(3)
【分析】（1）根据OA＝OB＝OC＝2，得出A（-2，0），B（2，0），C（0，-2），把把A、B、C三个点坐标代入，求出a、b、c的值，即可得出抛物线的解析式；
（2）过点E作EM⊥y轴于点M，过点F作FN⊥y轴于点N，设D点坐标为（0，n）（n＜0），求出直线l的解析式为：，联立，求出点E和点F的横坐标，分点E在y轴的右侧或点E在y轴的左侧两种情况，根据，列出关于n的方程，解方程，即可得出点D的坐标；
（3）设点M的坐标为，则点N的坐标为，求出直线BN的解析式为：，得出，求出直线BM的解析式为：得出，即可得出，，求出．
【详解】（1）解：∵OA＝OB＝OC＝2，
∴A（-2，0），B（2，0），C（0，-2），
把A、B、C三个点的坐标代入得：
，
解得：，
∴抛物线的解析式为．
（2）∵OB=OC，∠BOC=90°，
∴，
∵EF⊥BC，
∴∠BKF=90°，
∴，
∴，
∴，
∴OG=OD，
设D点坐标为（0，n）（n＜0），则G点坐标为（n，0），设直线l的关系式为：，把D、G点的坐标代入得：，
解得：，
∴直线l的解析式为：，
联立，
即，
解得：，，
∵点E在F的右边，
∴点的横坐标为，点的横坐标为，
当点E在y轴的右侧时，过点E作EM⊥y轴于点M，过点F作FN⊥y轴于点N，如图所示：
轴，轴，
∴，
，
即：，
解得：，
∴点D的坐标为；
当点E在y轴的左侧时，过点E作EM⊥y轴于点M，过点F作FN⊥y轴于点N，如图所示：
轴，轴，
∴，
，
即：，
解得：，
∴点D的坐标为；
综上分析可知：点D的坐标为或．
（3）设点M的坐标为，则点N的坐标为，直线BN的解析式为：，把点B和点N的坐标代入得：，
解得：，
∴直线BN的解析式为：，
把代入得：，
设直线BM的解析式为：，把点B和点M的坐标代入得：，
解得：，
∴直线BM的解析式为：，
把代入得：，
，
，
∴
【点睛】本题是二次函数的综合题，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，求一次函数解析式，平行线分线段成比例定理，平行线的判定，等腰三角形的判定和性质，作出辅助线，设出相应点的坐标，表示出直线l的解析式、直线BM、BN的解析式，是解题的关键．
一、单选题
1．实数3的相反数是（ ）
A．3B．C．D．
2．“成语”是中华文化的瑰宝，是中华文化的微缩景观．下列成语描述的事件是不可能事件的是（ ）
A．水中捞月B．守株待兔C．百步穿杨D．瓮中捉鳖
3．徽章交换是现代奥林匹克运动会特有的文化活动．在2022年北京冬奥会上，徽章交换依然深受欢迎．下列徽章图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
4．下列运算结果是的是（ ）
A． B．C． D．
5．如图所示，这是由4个大小相同的小正方体摆成的几何体，从左面看到的几何体的形状图是（ ）
A．B．C．D．
6．如图，电路连接完好，且各元件工作正常，随机闭合开关S1、S2、S3中的两个，能让两个小灯泡同时发光的概率是（ ）
A．B．C．D．
7．点在反比例函数的图象上，下列推断正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．存在，使得
8．如图，某容器的底面水平放置，容器上下皆为圆柱形，且大圆柱的底面半径是小圆柱的底面半径的2倍，高度也是小圆柱的2倍，匀速地向此容器内注水，在注满水的过程中，水面的高度h与时间t的函数关系的图象如图所示，则灌满小圆柱时所需时间为（ ）
A．B．C．D．10
9．如图，是的内切圆，，过点I作分别交，于N，M，若，，则的半径是（ ）
A．B．C．D．
10．方程的根可视为函数的图象与函数的图象交点的横坐标，那么用此方法可推断出方程的实数根x所在的范围是（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题
11．计算的结果是__________．
12．为了增强学生预防甲流的安全意识，某校开展甲流防控知识竞赛.来自不同年级的26名参赛同学的得分情况如图所示，这些成绩的中位数是______.
13．分式方程的解是_________．
14．如图，有甲乙两座建筑物，从甲建筑物点处测得乙建筑物点的俯角为，点的俯角为，为两座建筑物的水平距离．已知乙建筑物的高度为，则甲建筑物的高度为________．（，，，结果保留整数）．
15．抛物线（）的对称轴为，经过点（1，n），顶点为P，下列四个结论：
①若，则；
②若c与n异号，则抛物线与x轴有两个不同的交点；
③方程一定有两个不相等的实数解；
④设抛物线交y轴于点C，不论a为何值，直线PC始终过定点（3，n）．
其中正确的是_________（填写序号）．
16．如图四边形中，，，，E为线段的中点，连接交线段于F，若，，则的长为______.
三、解答题
17．解不等式组请按下列步骤完成解答．
(1)解不等式①，得_________；
(2)解不等式②，得_________；
(3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
(4)原不等式组的解集是_________．
18．如图，，，．
(1)求的度数；
(2)若平分，求的度数．
19．近几年购物的支付方式日益增多，某数学兴趣小组就此进行了抽样调查．调查结果显示，支付方式有：A微信、B支付宝、C现金、D其他，该小组对某超市一天内购买者的支付方式进行调查统计，得到如下两幅不完整的统计图．
请你根据统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）本次一共调查了多少名购买者？
（2）请补全条形统计图；在扇形统计图中A种支付方式所对应的圆心角为 度．
（3）若该超市这一周内有1600名购买者，请你估计使用A和B两种支付方式的购买者共有多少名？
20．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，∠ACB的平分线交AB于E，交⊙O于D，连接AD，BD．
(1)求证：；
(2)若，，求的值．
21．如图，在正方形的网格中，点A，B，C均在格点上，点P为线段与网格线的交点，仅用无刻度的直尺完成以下作图，画图过程用虚线表示.
(1)在图1中，将线段绕点A逆时针旋转得到线段；连接交于F，则______
(2)在图2中，在线段上画点Q，连接，使得
(3)在图3中，分别在线段，线段上画M，N连接，，使得最小.
22．冰墩墩是2022年北京冬季奥运会的吉祥物．冰墩墩以熊猫为原型设计，寓意创造非凡、探索未来．某批发市场购进一批冰墩墩玩偶出售，每件进货价为50元．经市场调查，每月的销传量y（万件）与每件的售价x（元）满足一次函数关系，部分数据如下表：
(1)直接写出y与x之间的函数表达式为 ；
(2)批发市场销售冰墩墩玩偶希望每月获利352万元，且尽量给客户实惠，每件冰墩墩应该如何定价？
(3)批发市场规定，冰墩墩的每件利润率不低于10%，若这批玩偶每月销售量不低于20a万件，最大利润为400万元，求a的值．
23．（1）问题发现
如图1，在△OAB和△OCD中，OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=40°，连接AC，BD交于点M．填空：
①的值为 ；
②∠AMB的度数为 ．
（2）类比探究
如图2，在△OAB和△OCD中，∠AOB=∠COD=90°，∠OAB=∠OCD=30°，连接AC交BD的延长线于点M．请判断的值及∠AMB的度数，并说明理由；
（3）拓展延伸
在（2）的条件下，将△OCD绕点O在平面内旋转，AC，BD所在直线交于点M，若OD=1，OB=，请直接写出当点C与点M重合时AC的长．
24．如图1，抛物线与x轴交于A，B（点A在点B左侧），与y轴负半轴交于C，且满足OA＝OB＝OC＝2．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图2，D为y轴负半轴上一点，过D作直线l垂直于直线BC，直线l交抛物线于E，F两点（点E在点F右侧），若DF＝3DE，求D点坐标；
(3)如图3，点M为抛物线第二象限部分上一点，点M，N关于y轴对称，连接MB，P为线段MB上一点（不与M、B重合），过P点、直线x＝t（t为常数）交x轴于S，交直线NB于Q，求QS－PS的值（用含t的代数式表示）．
售价x（元/件）
60
62
68
销售量y（万件）
40
36
24
参考答案：
1．B
【分析】根据相反数的定义可直接得出答案．
【详解】解：3的相反数是，
故选B．
【点睛】本题考查求一个数的相反数，解题的关键是掌握相反数的定义．如果两个数只有符号不同，那么称其中一个数为另一个数的相反数．
2．A
【分析】事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，必然事件和不可能事件都是确定的．
【详解】A. “水中捞月”是不可能事件，符合题意；
B. “守株待兔”是随机事件，不合题意；
C. “百步穿杨”，是随机事件，不合题意；
D. “瓮中捉鳖”是必然事件，不合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查的是随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
3．D
【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
4．B
【分析】根据同底数幂乘法、幂的乘方、合并同类项、同底数幂除法逐项排查即可．
【详解】解：A.，故A不符合题意；
B.，故B符合题意；
C.，故C不符合题意；
D.，故D不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了同底数幂乘法、幂的乘方、合并同类项、同底数幂除法等知识点，灵活运用相关算法是解答本题的关键．
5．C
【分析】根据左视图的定义即可得．
【详解】解：左视图是指从左面看物体所得到的视图，
这个几何体的左视图为 ，
故选：C．
【点睛】本题考查了左视图，熟记定义是解题关键．
6．B
【分析】根据题意画出树状图，得到共有6种等可能性，其中能让两个小灯泡同时发光有2种等可能性，根据概率公式求解即可．
【详解】解：画树状图得，由树状图得共有6种等可能性，
其中能让两个小灯泡同时发光应同时闭合 ， ，故有2种等可能性，所以概率为
故选B．
【点睛】本题考查了根据题意列表或画树状图求概率，正确列表或画出树状图是解题关键．
7．C
【分析】反比例函数的图象在一三象限，且在每个象限内，y随x到增大而减小．据此可判断．
【详解】解：反比例函数的图象在一三象限，且在每个象限内，y随x到增大而减小，那么：
A、若，且（x1，y1）、(x2，y2)在同一个象限，则，故选项错误，不符合题意；
B、若，且（x1，y1）、(x2，y2)分别在三、一象限内，则，故选项错误，不符合题意；
C、若，则，故选项正确，符合题意；
D、若，则，即y1=y2，另外，还可根据函数的定义：对于自变量x的值，y都有唯一确定的值和它相对应，所以当时，不可能．故选项错误，不符合题意．
故选：C．
【点睛】此题考查了比较反比例函数值的大小,，解题的关键是数形结合，掌握函数的定义和反比例函数图象的性质．
8．C
【分析】利用圆柱的体积公式求出大圆柱与小圆柱的容积比，进而可得灌满大圆柱所用时间与灌满小圆柱所用时间之比，由此可解．
【详解】解：设小圆柱的半径为r，高度为h，
则大圆柱的半径为，高度为，
，
灌满大圆柱所用时间为灌满小圆柱所用时间的8倍，
由图可知，灌满小圆柱和大圆柱所用时间为50，
灌满小圆柱时所需时间为，
故选C．
【点睛】本题考查圆柱的体积、从函数图象获取信息，解题的关键是掌握圆柱的体积公式．
9．D
【分析】如图，设切点分别为E，F，G，连接，，，过点M作于P，过点N作于Q，证明，可得，同理可得，再证明，设，，则，利用勾股定理可求出x，即可求解．
【详解】解：设切点分别为E，F，G，连接，，，过点M作于P，过点N作于Q，
∵是的内切圆，
∴，，，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
同理可得，
∵，
∴，
∵
∴
∴，
∴，
∴，
∴，
设，，则，
在中，由勾股定理，得
，
解得：，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查了切线的性质，三角形内切圆的性质，相似三角形的性质和判定，勾股定理等知识，关键是作辅助线，利用三角形全等和相似解决问题．
10．B
【分析】按照提示方法，方程的根可视为函数的图象与函数的图象交点的横坐标，在同一平面直角坐标系中画出两个函数的图象，根据两个函数的图象的交点位置范围，确定原方程的根x的所在范围．
【详解】解：发现的根不为0，
方程两边同除以x，得到，
方程的根可视为函数的图象与函数的图象交点的横坐标，
在同一平面直角坐标系中画出两个函数的图象，
由图象看出，两个函数的图象交点在点和点之间，
∴方程的实数根x所在范围是．
故选B
【点睛】本题考查了图象法解方程，解决问题的关键是按照题设方法把方程拆成两个函数，用两函数图象交点位置范围估计方程实数根的所在范围．
11．5
【分析】根据二次根式的性质解答．
【详解】解：根据二次根式的性质，可得．
故答案为：5
【点睛】此题考查了二次根式的性质，关键要学会二次根式的性质：|a|的运用．
12．97
【分析】将26名同学的成绩从高到低排列，找出第13，14名同学的成绩，求平均值即可．
【详解】解：由图可知，将26名同学的成绩从高到低排列，则第13名同学的成绩为98分，第14名同学的成绩为96分，
，
因此这些成绩的中位数是97．
故答案为：97．
【点睛】本题考查求一组数据的中位数，掌握中位数的定义是解题的关键．
13．
【分析】找出分式方程的最简公分母，方程左右两边同时乘以最简公分母，去分母后再利用去括号法则去括号，移项合并，将x的系数化为1，求出x的值，将求出的x的值代入最简公分母中进行检验，即可得到原分式方程的解．
【详解】解：
解：化为整式方程为：3﹣x﹣1＝x﹣4，
解得：x＝3，
经检验x＝3是原方程的解，
故答案为：．
【点睛】此题考查了分式方程的解法．注意解分式方程一定要验根，熟练掌握分式方程的解法是关键．
14．
【分析】过点作于点，则，，，在中，，设，则，，，在中，，解得，进而可得出答案．
【详解】解：如图，过点作于点，设，
根据题意可得：，，
∴，
∴四边形是矩形，
∵从甲建筑物点处测得乙建筑物点的俯角为，点的俯角为，为两座建筑物的水平距离，乙建筑物的高度为，
∴，，，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，
即，
∴
解得，
经检验是原分式方程的解且符合题意，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用一仰角俯角问题，涉及到锐角三角函数，矩形的判定和性质，等腰三角形的性质，直角三角形两锐角互余，分式方程等知识．熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．
15．①②④
【分析】利用抛物线的对称轴为顶点b=2a，将（1，n）代入解析式得到a+b+c=n，即3a+c=n，n-c=3a，，由此判断①正确；利用∆判断②正确；求出∆，根据a=c，ac判断③错误；求出点P，点C坐标，得到直线PC的解析式，计算当x=3时y=n-c+c=n，判断④正确．
【详解】解：∵抛物线（）的对称轴为，
∴，即b=2a，
∵抛物线过点（1，n），
∴a+b+c=n，即3a+c=n，
∴n-c=3a，，
若a<0，则n-c<0，即n
=4a（a-c）
=
=，
∵c、n异号，
∴∆>0，则抛物线与x轴有2个交点，故②正确；
方程，
∆=，
当a=c时，∆=0，方程只有一个实数根；
当ac时∆>0，方程有2个实数根，故③错误；
∵P为抛物线顶点，
∴P坐标为（-1，-a+c），
∵点C坐标为（0，c），
直线PC的解析式为y=ax+c，
又，则y=x+c，
点（3，n），
当x=3时y=n-c+c=n，
∴直线PC始终过（3，n），故④正确．
故答案为①②④．
【点睛】此题考查了抛物线的对称轴公式，抛物线与x轴交点情况，利用一元二次方程根的判别式确定方程的根的情况，二次函数的性质，熟练掌握各知识点是解题的关键．
16．
【分析】延长，交于点P，根据平行线分线段成比例可证．利用平行线的性质、等腰三角形的性质，通过等量代换可得，进而证明，根据对应边成比例可得，设，，再根据平行线分线段成比例得出，将数值代入求出x的值，即可求解．
【详解】解：如图，延长，交于点P，则，
E为线段的中点，
，
，
， 即．
，
，
，
，
，
E为线段的中点，，
，
，
，
，
，即，
又，
，
，
设，，
则，
，
，
，
， 即，
解得，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查平行线分线段成比例，相似三角形的判定与性质，直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的性质，平行线的性质等，难度一般，解题的关键是通过等量代换得出，进而证明．
17．(1)
(2)
(3)详见解析
(4)
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到”原则取所含不等式解集的公共部分，即确定为不等式组的解集．
【详解】（1）解：解不等式①，得
（2）解：解不等式②，得
（3）解：把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
（4）解：由图可得，原不等式组的解集是：
【点睛】本题考查解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
18．(1)
(2)
【分析】（1）根据，，得出，根据，得出即可；
（2）根据平分，，得出，根据平行线的性质，得出答案即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
（2）解：∵平分，，
∴，
∵，
∴
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握两直线平行内错角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行同位角相等．
19．（1）本次一共调查了200名购买者；（2）补全的条形统计图见解析，A种支付方式所对应的圆心角为108；（3）使用A和B两种支付方式的购买者共有928名．
【分析】（1）根据B的数量和所占的百分比可以求得本次调查的购买者的人数；
（2）根据统计图中的数据可以求得选择A和D的人数，从而可以将条形统计图补充完整，求得在扇形统计图中A种支付方式所对应的圆心角的度数；
（3）根据统计图中的数据可以计算出使用A和B两种支付方式的购买者共有多少名．
【详解】解：（1）56÷28%=200，即本次一共调查了200名购买者；
（2）D方式支付的有：200×20%=40（人），
A方式支付的有：200-56-44-40=60（人），
补全的条形统计图如图所示，
在扇形统计图中A种支付方式所对应的圆心角为：360°×=108°，
（3）1600×=928（名），
答：使用A和B两种支付方式的购买者共有928名．
【点睛】本题考查扇形统计图、条形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
20．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据角平分线的定义确定∠ACD=∠BCD，根据圆周角定理的推论和等价代换思想确定∠ABD=∠BAD，再根据等角对等边即可证明．
（2）连接OD，过点C作于H．根据圆周角定理的推论确定∠ACB=90°，根据勾股定理求出BC的长度，根据三角形面积公式求出CH的长度，根据等腰三角形三线合一的性质和垂直的定义确定∠EHC=∠EOD，根据相似三角形的判定定理和性质即可求出的值．
【详解】（1）证明：∵CD平分∠ACB，
∴．
∵∠ACD=∠ABD，∠BCD=∠BAD，
∴．
∴．
（2）解：如下图所示，连接OD，过点C作于H．
∵AB是⊙O的直径，AB=10，
∴，OA=OB=DO=5．
∵AC=6，
∴．
∴．
∴．
∵AD=BD，CH⊥AB，
∴OD垂直平分AB，∠EHC=90°．
∴∠EOD=90°．
∴∠EHC=∠EOD．
∵∠CEH=∠DEO，
∴．
∴．
【点睛】本题考查角平分线的定义，圆周角定理的推论，等角对等边，勾股定理，三角形面积公式，等腰三角形的性质，相似三角形的判定定理和性质，综合应用这些知识点是解题关键．
21．(1)
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）如图，利用格点可得，由此可得点E，再证，可得，即，再由勾股定理可得，进而可得；
（2）连接交于点Q，连接，点Q即为所作；
（3）连接交于点M，取格点，连接交网格线于点，连接并延长交于点N，点M，N即为所作．
【详解】（1）解：如图，线段即为线段绕点逆时针旋转得到线段．
由图可知，，，，
，
，，
，
，
，
线段即为所求；
，，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
（2）解：如图，连接交于点Q，连接，点Q即为所作；
，，
，
，，
，
，
；
（3）解：如图，连接交于点M，取格点，连接交网格线于点，连接并延长交于点N，
设小正方形的边长为1，
，，
是等腰直角三角形，，
，
又，
和关于对称，
点和点关于对称，
，和关于对称，
由（2）可知，
，
，
，
，
，
即此时最小，
点M，N即为所作．
【点睛】本题考查作图——应用与设计作图，平行线分线段成比例，相似三角形的判定与性质，勾股定理，轴对称的性质，等腰直角三角形的判定与性质，锐角三角函数等知识，充分利用格点特征是解题的关键．
22．(1)
(2)每件冰墩墩定价为58元
(3)
【分析】（1）由表可知单价为60元时，可买40万件，每上涨2元，销量就降4万件，据此有，整理即可得；
（2）根据题意列出一元二次方程即可求解，注意以让利给顾客为依据对根作取舍；
（3）设销售总利润为w，由题意，得，根据题意得出关于x的不等式组，求出x的取值范围，根据抛物线的性质和最大利润为400万元即可求出a的值．
【详解】（1）由表可知单价为60元时，可买40万件，每上涨2元，销量就降4万件，据此有，整理即可得：；
（2）
解得，
∵尽量给客户优惠
∴每件冰墩墩定价为58元；
（3）设销售总利润为w，由题意，
得，
又∵，则
∵二次项系数，抛物线开口向下，
①若，则当时，，不符合题意，舍去
②若，即
当时，随的增大而增大，
∴时，最大，
此时
解得，（舍）
∴．
【点睛】本题考查了一次函数和二次函数的应用，根据题意得出y与x的关系式以及列出二元二次方程是解答本题的关键．
23．（1）①1；②40°；（2），90°；（3）AC的长为3或2．
【分析】（1）①证明△COA≌△DOB（SAS），得AC=BD，比值为1；
②由△COA≌△DOB，得∠CAO=∠DBO，根据三角形的内角和定理得：∠AMB=180°-（∠DBO+∠OAB+∠ABD）=180°-140°=40°；
（2）根据两边的比相等且夹角相等可得△AOC∽△BOD，则，由全等三角形的性质得∠AMB的度数；
（3）正确画图形，当点C与点M重合时，有两种情况：如图3和4，同理可得：△AOC∽△BOD，则∠AMB=90°，，可得AC的长．
【详解】（1）问题发现：
①如图1，
∵∠AOB=∠COD=40°，
∴∠COA=∠DOB，
∵OC=OD，OA=OB，
∴△COA≌△DOB（SAS），
∴AC=BD，
∴
②∵△COA≌△DOB，
∴∠CAO=∠DBO，
∵∠AOB=40°，
∴∠OAB+∠ABO=140°，
在△AMB中，∠AMB=180°-（∠CAO+∠OAB+∠ABD）=180°-（∠DBO+∠OAB+∠ABD）=180°-140°=40°，
（2）类比探究：
如图2，，∠AMB=90°，理由是：
Rt△COD中，∠DCO=30°，∠DOC=90°，
∴，
同理得：，
∴，
∵∠AOB=∠COD=90°，
∴∠AOC=∠BOD，
∴△AOC∽△BOD，
∴ ，∠CAO=∠DBO，
在△AMB中，∠AMB=180°-（∠MAB+∠ABM）=180°-（∠OAB+∠ABM+∠DBO）=90°；
（3）拓展延伸：
①点C与点M重合时，如图3，
同理得：△AOC∽△BOD，
∴∠AMB=90°，，
设BD=x，则AC=x，
Rt△COD中，∠OCD=30°，OD=1，
∴CD=2，BC=x-2，
Rt△AOB中，∠OAB=30°，OB=，
∴AB=2OB=2，
在Rt△AMB中，由勾股定理得：AC2+BC2=AB2，
(x)2+(x−2)2＝(2)2，
x2-x-6=0，
（x-3）（x+2）=0，
x1=3，x2=-2，
∴AC=3；
②点C与点M重合时，如图4，
同理得：∠AMB=90°，，
设BD=x，则AC=x，
在Rt△AMB中，由勾股定理得：AC2+BC2=AB2，
(x)2+（x+2）2=(2)2.
x2+x-6=0，
（x+3）（x-2）=0，
x1=-3，x2=2，
∴AC=2；.
综上所述，AC的长为3或2．
【点睛】本题是三角形的综合题，主要考查了三角形全等和相似的性质和判定，几何变换问题，解题的关键是能得出：△AOC∽△BOD，根据相似三角形的性质，并运用类比的思想解决问题，本题是一道比较好的题目．
24．(1)
(2)或
(3)
【分析】（1）根据OA＝OB＝OC＝2，得出A（-2，0），B（2，0），C（0，-2），把把A、B、C三个点坐标代入，求出a、b、c的值，即可得出抛物线的解析式；
（2）过点E作EM⊥y轴于点M，过点F作FN⊥y轴于点N，设D点坐标为（0，n）（n＜0），求出直线l的解析式为：，联立，求出点E和点F的横坐标，分点E在y轴的右侧或点E在y轴的左侧两种情况，根据，列出关于n的方程，解方程，即可得出点D的坐标；
（3）设点M的坐标为，则点N的坐标为，求出直线BN的解析式为：，得出，求出直线BM的解析式为：得出，即可得出，，求出．
【详解】（1）解：∵OA＝OB＝OC＝2，
∴A（-2，0），B（2，0），C（0，-2），
把A、B、C三个点的坐标代入得：
，
解得：，
∴抛物线的解析式为．
（2）∵OB=OC，∠BOC=90°，
∴，
∵EF⊥BC，
∴∠BKF=90°，
∴，
∴，
∴，
∴OG=OD，
设D点坐标为（0，n）（n＜0），则G点坐标为（n，0），设直线l的关系式为：，把D、G点的坐标代入得：，
解得：，
∴直线l的解析式为：，
联立，
即，
解得：，，
∵点E在F的右边，
∴点的横坐标为，点的横坐标为，
当点E在y轴的右侧时，过点E作EM⊥y轴于点M，过点F作FN⊥y轴于点N，如图所示：
轴，轴，
∴，
，
即：，
解得：，
∴点D的坐标为；
当点E在y轴的左侧时，过点E作EM⊥y轴于点M，过点F作FN⊥y轴于点N，如图所示：
轴，轴，
∴，
，
即：，
解得：，
∴点D的坐标为；
综上分析可知：点D的坐标为或．
（3）设点M的坐标为，则点N的坐标为，直线BN的解析式为：，把点B和点N的坐标代入得：，
解得：，
∴直线BN的解析式为：，
把代入得：，
设直线BM的解析式为：，把点B和点M的坐标代入得：，
解得：，
∴直线BM的解析式为：，
把代入得：，
，
，
∴
【点睛】本题是二次函数的综合题，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，求一次函数解析式，平行线分线段成比例定理，平行线的判定，等腰三角形的判定和性质，作出辅助线，设出相应点的坐标，表示出直线l的解析式、直线BM、BN的解析式，是解题的关键．
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