2023年山东省泰安市泰山区泰山学院附属中学九年级中考数学第一次模拟考试试题（含详细答案）

2023年山东省泰安市泰山区泰山学院附属中学九年级中考数学第一次模拟考试试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．在3，0，－2，－ 四个数中，最小的数是（     ）
A．3 B．0 C．－2 D．－
2．下列运算正确的是（    ）
A． B． C． D．
3．下列图案中，任意选取一个图案，既是中心对称图形也是轴对称图形的为（    ）

A．①② B．②③ C．②④ D．③④
4．如图，五边形是正五边形，若，则（    ）

A． B． C． D．
5．某排球队12名队员的年龄如下表所示：该队队员年龄的众数与中位数分别是（    ）
年龄/岁
18
19
20
21
22
人数/人
1
4
3
2
2

A．19岁，19岁 B．19岁，20岁 C．20岁，20岁 D．20岁，22岁
6．轮船从B处以每小时50海里的速度沿南偏东30°方向匀速航行，在B处观测灯塔A位于南偏东75°方向上，轮船航行半小时到达C处，在C处观测灯塔A位于北偏东60°方向上，则C处与灯塔A的距离是（ ）海里．

A． B． C．50 D．25
7．已知关于x的不等式组仅有三个整数解，则a的取值范围是（    ）.
A．≤a＜1 B．≤a≤1 C．＜a≤1 D．a＜1
8．九年级某班学生参加抗旱活动，女生抬水，每2位女生用1个水桶和1根扁担，男生挑水，每位男生用2个水桶和1根扁担，已知全班同学共用了水桶59个，扁担36根，若设女生有x人，男生有y人，则可列方程组为（    ）
A． B． C． D．
9．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝AC，∠BCA＝65°，作CD∥AB，并与○O相交于点D，连接BD，则∠DBC的大小为(  )

A．15° B．35° C．25° D．45°
10．如图,从一块直径为的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形.则此扇形的面积为（    ）

A． B． C． D．
11．如图所示，在平面直角坐标系中，的顶点A在第一象限，点B，C的坐标分别为，，，直线交y轴于点P，若与关于点P成中心对称，则点的坐标为（    ）

A． B． C． D．
12．如图，一次函数y=2x与反比例函数y=（k＞0）的图象交于A，B两点，点P在以C（﹣2，0）为圆心，1为半径的⊙C上，Q是AP的中点，已知OQ长的最大值为，则k的值为（　　）

A． B． C． D．

二、填空题
13．某工程预算花费约为元，实际花费约为元，预算花费约是实际花费的倍数是_____． （用科学计数法表示，保留2位有效数字）
14．若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围为______．

三、解答题
15．二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）中的x与y的部分对应值如表
x
﹣1
0
1
3
y
﹣1
3
5
3

下列结论：
①ac＜0；
②当x＞1时，y的值随x值的增大而减小．
③3是方程ax2+（b﹣1）x+c=0的一个根；
④当﹣1＜x＜3时，ax2+（b﹣1）x+c＞0．
其中正确的结论是______．

四、填空题
16．如图，在矩形中中，，，当直角三角板的直角顶点P在边上移动时，直角边始终经过点A，设直角三角板的另一直角边与相交于点Q．，，那么y与x之间的函数式为________．

17．如图，在菱形中，，点分别在边上，将四边形沿翻折，使的对应线段经过顶点，当时，的值是_____．

18．如图，将△ABC沿着过BC的中点D的直线折叠，使点B落在AC边上的处，称为第一次操作，折痕DE到AC的距离为；还原纸片后，再将△BDE沿着过BD的中点的直线折叠，使点B落在DE边上的处，称为第二次操作，折痕到AC的距离记为；按上述方法不断操作下去…经过第n次操作后得到折痕到AC的距离记为，若，则的值为______．


五、解答题
19．先化简，再求值：，其中满足．
20．某超市预测某饮料有发展前途，用1600元购进一批饮料，面市后果然供不应求，又用6000元购进这批饮料，第二批饮料的数量是第一批的3倍，但单价比第一批贵2元．
（1）第一批饮料进货单价多少元？
（2）若二次购进饮料按同一价格销售，两批全部售完后，获利不少于1200元，那么销售单价至少为多少元？
21．自我省深化课程改革以来，铁岭市某校开设了：A．利用影长求物体高度，B．制作视力表，C．设计遮阳棚，D．制作中心对称图形，四类数学实践活动课．规定每名学生必选且只能选修一类实践活动课，学校对学生选修实践活动课的情况进行抽样调查，将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．
　　
根据图中信息解决下列问题：
(1)本次共调查　 　名学生，扇形统计图中B所对应的扇形的圆心角为　 　度；
(2)补全条形统计图；
(3)选修D类数学实践活动的学生中有2名女生和2名男生表现出色，现从4人中随机抽取2人做校报设计，请用列表或画树状图法求所抽取的两人恰好是1名女生和1名男生的概率．
22．如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y＝（m≠0）的图象交于点A、B，与y轴交于点C．过点A作AD⊥x轴于点D，AD＝2，∠CAD＝45°，连接CD，已知△ADC的面积等于6．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）若点E是点C关于x轴的对称点，求△ABE的面积．

23．如图，在中，平分交于点D，F为上一点，且．的延长线交于点E．

(1)求证：；
(2)若，求的长；
24．如图，对称轴为直线的抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且

(1)求抛物线的解析式；
(2)抛物线顶点为D，直线交y轴于E点；
①设点P为线段上一点（点P不与B、D两点重合），过点P作x轴的垂线与抛物线交于点F，求面积的最大值；
②在线段上是否存在点Q，使得？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
25．如图，在正方形ABCD中，M、N分别是射线CB和射线DC上的动点，且始终∠MAN＝45°．

（1）如图1，当点M、N分别在线段BC、DC上时，请直接写出线段BM、MN、DN之间的数量关系；
（2）如图2，当点M、N分别在CB、DC的延长线上时，（1）中的结论是否仍然成立，若成立，给予证明，若不成立，写出正确的结论，并证明；
（3）如图3，当点M、N分别在CB、DC的延长线上时，若CN＝CD＝6，设BD与AM的延长线交于点P，交AN于Q，直接写出AQ、AP的长．

参考答案：
1．C
【分析】根据比较实数大小的方法进行比较即可．根据正数都大于0，负数都小于0，两个负数绝对值大的反而小即可求解．
【详解】因为正数大于负数，两个负数比较大小，绝对值较大的数反而较小，
所以
所以最小的数是
故选C
【点睛】此题主要考查了实数的大小的比较，正数都大于0，负数都小于0，两个负数绝对值大的反而小．
2．B
【分析】根据合并同类项法则，单项式乘单项式的法则及单项式除单项式的法则直接逐个计算即可得到答案；
【详解】解：由题意可得，
，故A选项错误，不符合题意；
，故B选项正确，符合题意；
，故C选项错误，不符合题意；
，故D选项错误，不符合题意；
故选B．
【点睛】本题考查合并同类项法则，单项式乘单项式的法则及单项式除单项式的法则，解题的关键是熟练掌握几种法则．
3．C
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【详解】①、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
②、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项符合题意；
③、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意；
④、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项符合题意；
符合题意的有②④，
故选：C．
【点睛】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转后两部分重合．
4．A
【分析】过点B作的平行线，利用平行线的性质推出，，两个式子相减即可．
【详解】解：过点B作的平行线，则，

∵，
∴①，
∵五边形是正五边形，
∴，
∴②，
∴得，
故选A．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质以及正多边形的内角问题，解题的关键是通过作辅助线，搭建角之间的关系桥梁．
5．B
【分析】根据中位数和众数的定义求解．
【详解】解：观察图表可知：人数最多的是4人，年龄是19岁，故众数是19岁．
共12人，中位数是第6，7个人平均年龄，因而中位数是20岁．
故选：B．
【点睛】本题考查了众数与中位数的意义．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．众数是数据中出现次数最多的数．
6．D
【分析】根据题中所给信息，求出∠BCA=90°，再求出∠CBA=45°，从而得到△ABC为等腰直角三角形，然后根据解直角三角形的知识解答．
【详解】根据题意，∠1=∠2=30°，
∵∠ACD=60°，
∴∠ACB=30°+60°=90°，
∴∠CBA=75°﹣30°=45°，
∴∠A=45°，
∴AB=AC.
∵BC=50×0.5=25，
∴AC=BC=25（海里）．
故选：D．

7．A
【分析】根据解不等式组，可得不等式组的解，根据不等式组的解是整数，可得答案．
【详解】由2x＞3（x-2）+5，解得：x≤1，
由关于x的不等式组仅有三个整数：
解得-2≤2a-3＜-1，
解得≤a＜1，
故选A．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组，利用不等式的解得出关于a的不等式是解题关键．
8．B
【分析】首先明确：抬水的同学是两个人需1根扁担，一个筐；担水的同学是一个人需一根扁担2个水桶．已知定量为扁担数和水桶数．等量关系为：①全班共用水桶59个；②全班共用扁担36根．
【详解】解：根据全班共用水桶59个，得方程；
根据全班共用扁担36根，得方程；
故方程组为：，
故选：B．
【点睛】本题应读懂题意，根据实际情况得到抬水同学和担水同学需要的扁担数和水桶数，然后根据扁担数和水桶数来列等量关系．
9．A
【分析】根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得∠A =50°，再根据平行线的性质可得∠ACD=∠A=50°，由圆周角定理可行∠D=∠A=50°，再根据三角形内角和定理即可求得∠DBC的度数.
【详解】∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=65°，
∴∠A=180°-∠ABC-∠ACB=50°，
∵DC//AB，
∴∠ACD=∠A=50°，
又∵∠D=∠A=50°，
∴∠DBC=180°-∠D -∠BCD=180°-50°-（65°+50°）=15°，
故选A.
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，圆周角定理，三角形内角和定理等，熟练掌握相关内容是解题的关键.
10．A
【详解】分析：连接AC，根据圆周角定理得出AC为圆的直径，解直角三角形求出AB，根据扇形面积公式求出即可．
详解：连接AC．
∵从一块直径为2m的圆形铁皮上剪出一个同心角为90°的扇形，即∠ABC=90°，∴AC为直径，即AC=2m，AB=BC．
    ∵AB2+BC2=22，∴AB=BC=m，∴阴影部分的面积是=（m2）．
     故选A．

点睛：本题考查了圆周角定理和扇形的面积计算，能熟记扇形的面积公式是解答此题的关键．
11．A
【分析】先求得直线解析式为，即可得出，再根据点A与点关于点P成中心对称，利用中点公式，即可得到点的坐标．
【详解】解：作轴于点E，交于点D，
∵点B，C的坐标分别为，，，

∴是等腰直角三角形，
，，
∴，
设直线解析式为，则
，解得，
∴直线解析式为，
令，则，
∴，
又∵点A与点关于点P成中心对称，
∴点P为的中点，
设，则，，
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查了中心对称，等腰直角三角形的运用，利用待定系数法得出直线的解析式是解题的关键．
12．C
【分析】如图，连接BP，由反比例函数的对称性质以及三角形中位线定理可得OQ=BP，再根据OQ的最大值从而可确定出BP长的最大值，由题意可知当BP过圆心C时，BP最长，过B作BD⊥x轴于D，继而根据正比例函数的性质以及勾股定理可求得点B坐标，再根据点B在反比例函数y=（k＞0）的图象上，利用待定系数法即可求出k的值.
【详解】如图，连接BP，
由对称性得：OA=OB，
∵Q是AP的中点，
∴OQ=BP，
∵OQ长的最大值为，
∴BP长的最大值为×2=3，
如图，当BP过圆心C时，BP最长，过B作BD⊥x轴于D，
∵CP=1，
∴BC=2，
∵B在直线y=2x上，
设B（t，2t），则CD=t﹣（﹣2）=t+2，BD=﹣2t，
在Rt△BCD中，由勾股定理得： BC2=CD2+BD2，
∴22=（t+2）2+（﹣2t）2，
t=0（舍）或t=﹣，
∴B（﹣，﹣），
∵点B在反比例函数y=（k＞0）的图象上，
∴k=﹣×（-）=，
故选C．

【点睛】本题考查的是代数与几何综合题，涉及了反比例函数图象上点的坐标特征，中位线定理，圆的基本性质等，综合性较强，有一定的难度，正确添加辅助线，确定出BP过点C时OQ有最大值是解题的关键.
13．
【分析】利用预算费用除以实际费用，再用科学记数法表示即可得到答案；
【详解】解：由题意可得，

故答案为：；
【点睛】本题考查有理数的除法，科学记数法及有效数字，解题的关键正确计算有理数的除法．
14．且
【分析】根据二次项系数非零及根的判别式△，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围．
【详解】解：关于的方程有两个实数根，
，
解得：，
，
，
的取值范围为且，
故答案为：且．
【点睛】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，根据二次项系数非零及根的判别式，列出关于的一元一次不等式组是解题的关键．
15．①③④
【详解】∵x=﹣1时y=﹣1，x=0时，y=3，x=1时，y=5，
∴，
解得，
∴y=﹣x2+3x+3，
∴ac=﹣1×3=﹣3＜0，故①正确；
对称轴为直线，
∴当x＞时，y的值随x值的增大而减小，故②错误；
方程为﹣x2+2x+3=0，整理得，x2﹣2x﹣3=0，解得x1=﹣1，x2=3，
∴3是方程ax2+（b﹣1）x+c=0的一个根，正确，故③正确；
﹣1＜x＜3时，ax2+（b﹣1）x+c＞0正确，故④正确；
综上所述，结论正确的是①③④．
故答案为：①③④
16．

【分析】先证明，再利用相似三角形对应边的比相等进行转化即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
又∵矩形中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质，解题关键是正确得到相似的三角形．
17．.
【分析】延长交于点，进而利用翻折变换的性质得出，，，，，再利用菱形的性质得出，，，设，，利用勾股定理得出，再根据三角函数进行计算即可解答
【详解】延长交于点，

∵将四边形沿翻折，
∴，，，，
∵四边形是菱形
∴，，
∵，
∴设，，
∴，
∴，
∵
∴
∴
∵，
∴
∴
∴
∴，
∴，
∴
故答案为.
【点睛】此题考查翻折变换，菱形的性质，三角函数，解题关键在于利用折叠的性质进行解答
18．
【分析】根据中点的性质及折叠的性质可得，从而可得，结合折叠的性质可得，可得，进而判断，得出DE是△ABC的中位线，证得，得到，求出；同理，，……，经过第n次操作后得到的折痕到BC的距离．
【详解】解：如图，连接，由折叠性质可知，，，
又∵D是BC中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
同理，，
……
∴经过第n次操作后得到的折痕到BC的距离，
故答案为：．

【点睛】此题考查了折叠的性质以及中位线的性质，解题关键是通过观察图形，分析、归纳并发现其中的规律，并应用规律解决问题．
19．，
【分析】先将所有分式的分子与分母因式分解，同时计算括号内的减法，再计算乘法，最后计算加减法化简，再解方程组求出a，b的值代入计算即可．
【详解】解：原式


，
∵，
∴，
∴原式．
【点睛】此题考查了分式的混合运算及化简求值，解二元一次方程组，正确掌握各运算法则是解题的关键．
20．（1）第一批饮料进货单价为8元． （2）销售单价至少为11元．
【分析】（1）设第一批饮料进货单价为元，根据等量关系第二批饮料的数量是第一批的3倍，列方程进行求解即可；
（2）设销售单价为元，根据两批全部售完后，获利不少于1200元，列不等式进行求解即可得．
【详解】（1）设第一批饮料进货单价为元，则：
解得：
经检验：是分式方程的解
答：第一批饮料进货单价为8元．
（2）设销售单价为元，则：
，
化简得：，
解得：，
答：销售单价至少为11元．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，弄清题意，找出等量关系与不等关系是关键．
21．(1)60，144°；
(2)见解析；
(3)

【分析】（1）用C类别人数除以其所占百分比可得总人数，用360°乘以B类别人数占总人数的比例即可得；
（2）总人数乘以A类别的百分比求得其人数，用总人数减去A，B，C的人数求得D类别的人数，据此补全图形即可；
（3）画树状图展示12种等可能的结果数，再找出所抽取的两人恰好是1名女生和1名男生的结果数，然后根据概率公式求解．
【详解】（1）解：本次调查的学生人数为12÷20%＝60（名），
则扇形统计图中B所对应的扇形的圆心角为＝144°．
故答案为：60，144°；
（2）解：A类别人数为60×15%＝9（人），则D类别人数为60−（9＋24＋12）＝15（人），
补全条形图如下：

（3）解：画树状图为：

共有12种等可能的结果数，其中所抽取的两人恰好是1名女生和1名男生的结果数为8，
所以所抽取的两人恰好是1名女生和1名男生的概率为．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．也考查了统计图．
22．（1）y＝x﹣4，y＝；（2）32
【分析】（1）依据S△AOD=S△ADC=6，可得A（6，2），将A（6，2）代入，可得到反比例函数解析式；将点A（6，2），点C（0，﹣4）代入y=kx+b，可得一次函数解析式；
（2）依据E（0，4），可得CE=8，解方程组，即可得到B（﹣2，﹣6），进而得出△ABE的面积．
【详解】（1）连接AO．
∵AD⊥x轴于点D，设A（a，2），∴AD=2．
∵∠CAD=45°，∴∠AFD=45°，∴FD=AD=2．
∵AD∥y轴，∴S△AOD=S△ADC=6，∴OD=6，∴A（6，2），将A（6，2）代入，得：m=12，∴反比例函数解析式为y；
∵∠OCF=∠CAD=45°．在△COF中，OC=OF=OD﹣FD=6﹣2=4，∴C（0，﹣4），将点A（6，2），点C（0，﹣4）代入y=kx+b，可得：
，∴，∴一次函数解析式为y=x﹣4；
（2）点E是点C关于x轴的对称点，∴E（0，4），∴CE=8，解方程组，得：或，∴B（﹣2，﹣6），∴．

【点睛】本题考查了反比例函数图象与一次函数图象的交点问题，轴对称的性质以及待定系数法的运用，灵活运用数形结合思想求出有关点的坐标和图象的解析式是解题的关键．
23．(1)见解析
(2)

【分析】（1）根据角平分线推出，利用等边对等角求出，得到，即可证明，进而得到结论；
（2）作于H，作于N，则，求出，得到，证明，得到，求出，再根据等腰三角形的三线合一求出．
【详解】（1）∵平分，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴．   
∴；
（2）作于H，作于N，则，
∴，
∴，  
∵，
∴，
∴，
∴，   
又∵，
∴．

【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，正确掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
24．(1)
(2)①1；②存在，

【分析】（1）先由对称轴为直线求得b的值，再分别得到C的坐标是和点，把点代入表达式求出c的值，即可得到抛物线的解析式；
（2）先求出点D坐标为，①设点F坐标为，表示出的面积，得到关于m的二次函数，根据二次函数的性质即可得到答案；
②连接，，先求出直线的表达式为，再证明是直角三角形，，得到，设点Q的坐标为，过点Q的坐标作轴于点H．根据当时，，得到，求得t的值，即可得到点Q的坐标．
【详解】（1）解：∵抛物线对称轴为直线，     
∴，
∴，
∵设抛物线解析式为，  
∴当时，，
∴点C的坐标是，
∵，且点B在x轴正半轴上，
∴，
把代入得，
解得（不合题意，舍去）或，
∴，,
∴抛物线解析式为；
（2）∵，
∴点D坐标为，
①设点F坐标为，
∴的面积，
整理的，
∵，
∴，
∵，
∴当时，，
即面积的最大值是1；
②存在．
如图，连接，，

由，,，
设直线的表达式为，
则，
解得，
∴直线的表达式为，
∵
，
，
∵，
∴，
∴是直角三角形，，
∴，  
∵点Q在线段BD上，
∴可设点Q的坐标为，
过点Q的坐标作轴于点H．
当时，，
此时，
解得．
此时．
∴点Q的坐标为．
【点睛】此题是二次函数综合题，考查了二次函数的图象和性质、待定系数法、锐角三角函数、勾股定理的逆定理、一次函数的图象和性质等知识，数形结合和准确计算是解题的关键．
25．（1）BM+DN＝MN；（2）（1）中的结论不成立，DN﹣BM＝MN．理由见解析；（3）AP＝AM+PM＝3．
【分析】（1）在MB的延长线上，截取BE=DN，连接AE，则可证明△ABE≌△ADN，得到AE=AN，进一步证明△AEM≌△ANM，得出ME=MN，得出BM+DN=MN；
（2）在DC上截取DF=BM，连接AF，可先证明△ABM≌△ADF，得出AM=AF，进一步证明△MAN≌△FAN，可得到MN=NF，从而可得到DN-BM=MN；
（3）由已知得出DN=12，由勾股定理得出AN＝＝＝6 ，由平行线得出△ABQ∽△NDQ，得出＝＝＝＝，∴＝，求出AQ=2 ；由（2）得出DN-BM=MN．设BM=x，则MN=12-x，CM=6+x，在Rt△CMN中，由勾股定理得出方程，解方程得出BM=2，由勾股定理得出AM＝＝，由平行线得出△PBM∽△PDA，得出＝＝，，求出PM= PM＝AM＝，
得出AP＝AM+PM＝3.
【详解】（1）BM+DN＝MN，理由如下：
如图1，在MB的延长线上，截取BE＝DN，连接AE，

∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠BAD＝∠ABC＝∠D＝90°，
∴∠ABE＝90°＝∠D，
在△ABE和△ADN中，，
∴△ABE≌△ADN（SAS），
∴AE＝AN，∠EAB＝∠NAD，
∴∠EAN＝∠BAD＝90°，
∵∠MAN＝45°，
∴∠EAM＝45°＝∠NAM，
在△AEM和△ANM中，，
∴△AEM≌△ANM（SAS），
∴ME＝MN，
又∵ME＝BE+BM＝BM+DN，
∴BM+DN＝MN；
故答案为：BM+DN＝MN；
（2）（1）中的结论不成立，DN﹣BM＝MN．理由如下：
如图2，在DC上截取DF＝BM，连接AF，

则∠ABM＝90°＝∠D，
在△ABM和△ADF中，，
∴△ABM≌△ADF（SAS），
∴AM＝AF，∠BAM＝∠DAF，
∴∠BAM+∠BAF＝∠BAF+∠DAF＝∠BAD＝90°，
即∠MAF＝∠BAD＝90°，
∵∠MAN＝45°，
∴∠MAN＝∠FAN＝45°，
在△MAN和△FAN中，，
∴△MAN≌△FAN（SAS），
∴MN＝NF，
∴MN＝DN﹣DF＝DN﹣BM，
∴DN﹣BM＝MN．
（3）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝AD＝CD＝6，AD∥BC，AB∥CD，∠ABC＝∠ADC＝∠BCD＝90°，
∴∠ABM＝∠MCN＝90°，
∵CN＝CD＝6，
∴DN＝12，
∴AN＝＝＝6 ，
∵AB∥CD，
∴△ABQ∽△NDQ，
∴＝＝＝＝，
∴＝，
∴AQ＝AN＝2 ；
由（2）得：DN﹣BM＝MN．
设BM＝x，则MN＝12﹣x，CM＝6+x，
在Rt△CMN中，由勾股定理得：62+（6+x）2＝（12﹣x）2，
解得：x＝2，
∴BM＝2，
∴AM＝＝＝2，
∵BC∥AD，
∴△PBM∽△PDA，
∴＝＝＝，
∴PM＝AM＝，
∴AP＝AM+PM＝3．
【点睛】本题是四边形的综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，证明三角形全等和三角形相似是解题的关键．