福建省泉州市2022-2023学年九年级下学期3月教学质量检测（一）数学试卷（一模）（含详细答案）

这是一份福建省泉州市2022-2023学年九年级下学期3月教学质量检测（一）数学试卷（一模）（含详细答案），共25页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．下列各式中，与是同类二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
2．若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
3．在中，，，则的值是（ ）
A．B．C．D．
4．一元二次方程的解是（ ）
A．B．C．D．
5．一个不透明的盒子中装有个红球和个白球，它们除颜色不同外其它都相同．若从中随机摸出一个球，则下列叙述正确的是（ ）
A．摸到黑球是不可能事件B．摸到白球是必然事件
C．摸到红球与摸到白球的可能性相等D．摸到红球比摸到白球的可能性大
6．用配方法解方程，若配方后结果为，则的值为（ ）
A．B．3C．D．6
7．如图，以点为位似中心，将放大后得到，，，则等于（ ）
A．B．C．D．
8．如图，在中，，点分别是优弧与劣弧上的动点，则的度数不可能是（ ）
A．B．C．D．
9．已知“为锐角时，随着的增大而增大”，则的值更靠近（ ）
A．B．C．D．
10．如图，在正方形中，点分别在边和上，，垂足为G，若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
11．若二次根式意义，则可以是_______（写出一个的值即可）．
12．二次函数的图象与轴的交点坐标为_______．
13．如图，某商场自动扶梯的坡度，过点作垂足为C．若的长为10米，则高度为_______米．
14．已知是方程的一个根，则_______．
15．如图，在中，，，是边上的一点，若，则_______．
16．如图，是的弦（不是直径），将沿翻折交于点．若，，则＝_______．
三、解答题
17．计算．
18．小明在解方程的过程中出现了错误，其解答如下：
解：，，，．．．．．．．．．．．．．．．．．第一步
，．．．．．．．．．．．．．第二步
，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．第三步
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．第四步
(1)问：小明的解答是从第________步开始出错的；
(2)请写出本题正确的解答．
19．如图，在矩形中，点在边上，，垂足为，，，，求的长．
20．我国古代数学家梅鼓成在其著作《增删算法统宗》中，有诗如下：今有门厅一座，不知门广高低，长竿横进使归室，争奈门狭四尺，随即竖笔过去，亦长二尺无疑两隅斜去恰方齐，请问三色各几？意思是；今有一房门，不知宽与高，长竿横起进门入室，门的宽度比长竿小4尺；将长竿直立过门，门的高度比长竿小2尺．将长竿斜放穿过门的对角，恰好进门，试问门的宽、高和长竿各是多少尺？
21．小明学习物理《电流和电路》后设计如图所示的一个电路图，其中、、分别表示三个可开闭的开关，“”表示小灯泡，“”表示电池．
(1)当开关闭合时，再随机闭合开关或其中一个，直接写出小灯泡发光的概率；
(2)当随机闭合开关、、中的两个，试用树状图或列表法求小灯泡发光的概率．
22．如图，在中，是钝角
(1)求作，使得圆心在边上，且经过点（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，设与的另一个交点为D，且求证：是的切线
23．某公司研发了一款产品投放市场，已知每件产品的成本为80元，试销售一段时间后统计每天的销售量（件）与售价（元/件）之间的部分数据如下表：
(1)根据表中数据，求出与之间满足的函数关系式；
(2)物价部门规定单件利润率不超过．在（1）的条件下，当产品售价不低于成本时，售价定为多少元，公司每天获得的利润最大？求出最大值．
24．在中，，将绕点旋转一定的角度得到．
(1)如图1，当边恰好经过点C时，边的延长线交于点，连接．求证：；
(2)如图2，当点恰好在中线的延长线上，且时，的延长线交于点，求的值．
25．在平面直角坐标系中，已知抛物线经过两点，交轴于点，顶点为．过线段上动点作的垂线交于点，直线交轴于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若，求线段的长；
(3)连接，求面积的最小值．
售价（元/件）
80
90
100
110
销售量（件）
800
600
400
200
参考答案：
1．C
【分析】先化为最简二次根式，根据同类二次根式的定义一一判断选择即可．
【详解】解：A． 与不是同类二次根式，故不符合题意；
B． 与不是同类二次根式，故不符合题意；
C．与是同类二次根式，符合题意；
D．与不是同类二次根式，故不符合题意；
故选C．
【点睛】本题考查的是同类二次根式的定义与二次根式的化简，最简二次根式，能够化简选项中的二次根式是解题的关键．
2．C
【分析】先将化简成含有的代数式，然后再代入数值求值．
【详解】解：；
．
故选：C．
【点睛】本题考查了比例的性质，解答此类问题时要先化简，然后再整体代入进行求值计算．
3．C
【分析】根据三角函数的定义得到，设，，利用勾股定理得到，即可求出的值．
【详解】解：中，，，
，
设，，
由勾股定理得：，
，
故选C．
【点睛】本题考查了锐角三角函数，勾股定理，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题关键．
4．D
【分析】根据解一元二次方程的方法，移项，提取公因式，即可求解．
【详解】解：
移项，
提取公因式，，整理得，，
∴，
故选：．
【点睛】本题主要考查解一元二次方程，理解题意，掌握提取公因式方法解方程是解题的关键．
5．A
【分析】不可能事件是概率论中把在一定条件下不可能发生的事件叫不可能事件，人们通常用来表示不可能事件发生的可能性；必然事件，在一定的条件下重复进行试验时，有的事件在每次试验中必然会发生，这样的事件叫必然发生的事件，简称必然事件，必然事件发生的概率为，但概率为的事件不一定为必然事件，根据随机事件的分类及概率的计算即可求解．
【详解】解：选项，装有个红球和个白球，不可能摸到黑球，是不可能事件，符合题意；
选项，装有个红球和个白球，可能摸到白球，也可能摸到红球，是随机事件，不符合题意；
选项，装有个红球和个白球，摸到红球的概率是，摸到白球的概率是，概率不同，不符合题意；
选项，装有个红球和个白球，摸到红球的概率小于摸到白球的概率，不符合题意；
故选：．
【点睛】本题主要考查随机事件及概率，理解随机事件的分类，概率的计算方法是解题的关键．
6．B
【分析】先把常数项移到方程右边，再把方程两边加上9，把方程左边写成完全平方形式即可求解．
【详解】解：，
，
，
，
，
故选：B．
【点睛】本题考查了解一元二次方程—配方法，熟练掌握配方法解一元二次方程的步骤是解题的关键．
7．A
【分析】根据已知条件可知，继而利用相似三角形的性质求解本题．
【详解】解：由已知得：，，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查位似图形，相似三角形的性质，根据其性质列出边长比例关系是关键．
8．D
【分析】如图所示，连接，由圆周角定理求出，再由即可得到答案．
【详解】解：如图所示，连接，
∵，
∴，
∵点分别是优弧与劣弧上的动点，
∴，
∴四个选项中，只有D选项符合题意，
故选D．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，熟知同弧所对的圆周角度数是圆心角度数的一半是解题的关键．
9．B
【分析】根据题干所给定义，结合特殊角的正弦值作答即可．
【详解】解：角和角均为锐角，且，
，
，
，，，，
的值更靠近，
故选：B．
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，实数的大小比较，熟练掌握知识点是解题的关键．
10．C
【分析】根据正方形的性质及，即可判断出，得到； 根据，设，即可用含的式子表示、，利用勾股定理即可求出，进一步求出，即可求出答案．
【详解】解：∵四边形是正方形
∴，
∵
∴
∴
∵
∴
在和中
∵
∴
∴
∵
∴设，则
∴
∴
∴
∴
∵
∴
∴
∴．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质、勾股定理、等面积法求线段长度，熟练掌握证明全等的几种方法：①；②；③；④；⑤及等面积法求边线段长度的方法是解此题的关键．
11．2（答案不唯一）
【分析】直接利用二次根式有意义的条件得出答案．
【详解】解：若使在实数范围内有意义，
则，
解得：
可取．
故答案为：2（答案不唯一，只要满足即可）．
【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握二次根式的定义是解题关键．
12．
【分析】令，求出的值即可得到答案．
【详解】解：令，则，
二次函数的图象与轴的交点坐标为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数与轴的交点，解题关键是掌握二次函数图象与y轴的交点，横坐标为0．
13．4
【分析】根据坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比计算即可．
【详解】解：∵自动扶梯的坡度，
∴，
∵，
∴，
故答案为：4．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，熟记坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比是解题的关键．
14．
【分析】解一元二次方程可确定的值，代入即可求解．
【详解】解：
移项，配方得，，
∴，
等式两边同时开方，，
∴，，
∵，
∴当时，；
当时，；
故答案为：．
【点睛】本题主要考查解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法，代入求值的方法是解题的关键．
15．
【分析】过点D作于点E，设，可得，是等腰直角三角形，再由，可得的长，从而得到的长，即可求解．
【详解】解：如图，过点D作于点E，
设，
∵，
∴，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了解直角三角形，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等知识，熟练掌握解直角三角形，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理是解题的关键．
16．
【分析】设翻折前点的对应点是点，连接、、、、，易证四边形是菱形，得到，推出，证明，得到，进而得到进行求解即可．
【详解】解：设翻折前点的对应点是点，连接、、、、，如图：
则：
∴，
∵，
∴
∴，
∴四边形是菱形，
∴，
∴ ，
∴，
∴，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即：
∴，
∴
∵，
∴，
∴；
故答案为：．
【点睛】本题考查弧，弦，角之间的关系，同弧所对的圆周角相等，菱形的判定和性质，相似三角形的判定和性质．熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键．
17．
【分析】根据二次根式的运算法则即可求解．
【详解】解：
．
【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算，掌握二次根式的运算法则是解题的关键．
18．(1)一
(2)见解析
【分析】（1）根据等式的性质，移项需要改变移动的项的符号可得出答案；
（2）先移项，再利用公式法解一元二次方程即可．
【详解】（1）解：移项需要变号，
，
故答案为：一；
（2）解：，
，，，
，
，
．
【点睛】本题考查了用公式法解一元二次方程，等式的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
19．
【分析】根据矩形的性质可得，，由平行线的性质得，由可得，进而，根据相似三角形的性质，即可求解．
【详解】解：四边形是矩形，
，，
．
，
，
，
，
．
又，，，
，
．
【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，平行的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
20．宽为6尺，高为8尺，长为10尺
【分析】设长竿的长x尺，再表示宽和高，根据勾股定理列出方程，然后求出解，即可确定答案．
【详解】解：设竿长为尺，则门的宽为尺，高为尺，依题意，得
整理，得
解得，，
，
只取，
故，．
答：宽为6尺，高为8尺，长为10尺．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，一元二次方程的应用，勾股定理是求线段长的常用方法．
21．(1)
(2)
【分析】（1）根据电路图可知，当开关闭合时，想要小灯泡发光，只有闭合，从而可得出随机闭合开关或其中一个，小灯泡发光的概率；
（2）用树状图或列表法列出所有的情况，再找出能让小灯泡发光的情况，利用概率公式求解即可．
【详解】（1）解：当开关闭合时，想要小灯泡发光，只有闭合，
随机闭合开关或其中一个，小灯泡发光的概率为；
（2）法一：画出树状图如下：
共有6种等可能结果，其中能使小灯泡发光的组合共有4种，故（小灯泡发光）．
法二：
列表如下：
共有6种等可能结果，其中能使小灯泡发光的组合共有4种，故P（小灯泡发光）．
【点睛】本题考查了用树状图或列表法求概率，解题的关键是结合物理知识，知道必须闭合，且闭合或中一个，小灯泡才会发光．
22．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）由经过点可知圆心到点的距离相等，因此线段的垂直平分线与的交点即为圆心，由此可解；
（2）连接，设，则，，利用勾股定理的逆定理判断，即可证明是的切线．
【详解】（1）解：如图1，是所求作的圆：
图1
（2）证明：如图2，连接，
图2
设，则，，
，
，
．
在中，，，
，
，即．
点在上，
是的切线．
【点睛】本题考查线段垂直平分线的作法及性质，圆的基本性质，勾股定理的逆定理，切线的判定等，难度不大，解题的关键是正确作出辅助线，综合运用上述知识点．
23．(1)
(2)售价定为92元，公司每天获得的利润最大，最大利润为6720元
【分析】（1）根据表格中的数据可知售价每上涨10元，销售量就减少200件，由此列出对应的函数关系式即可；
（2）设公司每天获得的利润为元，根据利润（售价成本价）销售量列出w关于x的二次函数关系式，再利用二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：由表格中的数据可知，售价每上涨10元，销售量就减少200件，
∴；
（2）解：设公司每天获得的利润为元，
依题意，得
，
，
抛物线开口向下．
对称轴为直线，
又，即，随的增大而增大，
当时，最大值为6720元．
∴售价定为92元，公司每天获得的利润最大，最大利润为6720元．
【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，列函数关系式，正确理解题意列出对应的关系式是解题的关键．
24．(1)见解析
(2)
【分析】由旋转性质得出为等腰三角形，从而得出，有三角形内角和得出，再通过角之间的关系推出最后结论．
设，由旋转性质推出，由直角三角形内角之间关系得，，进而得出，再由相似三角形对应边成比例得出，设，所以，有对应角相等推出，得出，进而表示出，再得出最后结果即可．
【详解】（1）证明：如图1，由旋转的性质得，，
．
，，
又，
，即．
，，
，
＝，
即．
（2）如图2，设，由旋转的性质得
，，，，，
在等腰中，，
，，
．
，
．
是斜边上的中线，
，
，即，，
，
，
，
，
．
，
．
又，
，即，
，
，．
设，则
，．
，，
，
，即，，
．
【点睛】本题主要考查了旋转性质、三角形内角和、相似三角形的判定及相似三角形对应边成比例的知识，旋转后对应边和角相等是解答本题的关键．
25．(1)
(2)1
(3)
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）连接，过点作轴于点，过点作轴于点，先求出点C、点E和点G的坐标，进而可得直线和直线的解析式，联立两直线解析式求出点D的坐标，设，可得，然后根据等角的正切值相等列式求出t的值即可；
（3）连接，过点作轴于点，过点作轴交于点，设，，则，求出，可得，由（2）知，整理可得，然后根据方程有实根求出m的取值范围，进而可得面积的最小值．
【详解】（1）解：把代入，得，
解得，
抛物线的解析式为：；
（2）解：如图，连接，过点作轴于点，过点作轴于点，
∵抛物线的解析式为，
∴，
∴在中，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
设直线的解析式为：，
代入得：，
解得：，
直线的解析式为：，
设直线的解析式为，
代入得：，
解得：，
∴直线的解析式为，
联立，
解得：，
∴，
，
，
，
，
，
，即，
设，则，
，
解得：，
；
（3）解：如图，连接，过点作轴于点，
由（2）可知直线的解析式为，，
设，，则，
过点作轴交于点，
，
当时，，
，
，
，
由（2）知，即，
整理得：，
方程有实根，
，即，
或，
解得或（舍去），
，即面积的最小值为．
【点睛】本题考查了待定系数法的应用，二次函数及一次函数的图象和性质，解直角三角形，一元二次方程根的判别式的意义等知识，能够根据题意作出合适的辅助线，熟练掌握数形结合思想的应用是解题的关键．
（，）
（，）
（，）
（，）
（，）
（，）