26-计数原理-五年（2018-2022）高考数学真题按知识点分类汇编

五年2018-2022高考数学真题按知识点分类汇编26-计数原理（含解析）

一、单选题

1．（2022·全国·统考高考真题）从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（    ）

A． B． C． D．

2．（2022·全国·统考高考真题）有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有（    ）

A．12种 B．24种 C．36种 D．48种

3．（2022·北京·统考高考真题）若，则（    ）

A．40 B．41 C． D．

4．（2021·全国·统考高考真题）将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（    ）

A．60种 B．120种 C．240种 D．480种

5．（2021·全国·统考高考真题）将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（    ）

A． B． C． D．

6．（2021·全国·高考真题）将3个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（    ）

A．0.3 B．0.5 C．0.6 D．0.8

7．（2020·全国·统考高考真题）的展开式中x3y3的系数为（    ）

A．5 B．10

C．15 D．20

8．（2020·海南·统考高考真题）6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（    ）

A．120种 B．90种

C．60种 D．30种

9．（2020·全国·统考高考真题）如图，将钢琴上的12个键依次记为a1，a2，…，a12.设1≤i<j<k≤12．若k–j=3且j–i=4，则称ai，aj，ak为原位大三和弦；若k–j=4且j–i=3，则称ai，aj，ak为原位小三和弦．用这12个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为（    ）

A．5 B．8 C．10 D．15

10．（2020·海南·高考真题）要安排3名学生到2个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，每个村里至少有一名志愿者，则不同的安排方法共有（    ）

A．2种 B．3种 C．6种 D．8种

11．（2020·北京·统考高考真题）在的展开式中，的系数为（    ）．

A． B．5 C． D．10

12．（2020·山东·统考高考真题）在的二项展开式中，第项的二项式系数是（    ）

A． B． C． D．

13．（2020·山东·统考高考真题）现有5位老师，若每人随机进入两间教室中的任意一间听课，则恰好全都进入同一间教室的概率是（    ）

A． B． C． D．

14．（2020·山东·统考高考真题）现从4名男生和3名女生中，任选3名男生和2名女生，分别担任5门不同学科的课代表，则不同安排方法的种数是（    ）

A．12 B．120 C．1440 D．17280

15．（2019·全国·高考真题）我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是

A． B． C． D．

16．（2019·全国·高考真题）两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是

A． B． C． D．

17．（2019·全国·统考高考真题）（1+2x2 ）（1+x）4的展开式中x3的系数为

A．12 B．16 C．20 D．24

18．（2018·全国·高考真题）的展开式中的系数为

A．10 B．20 C．40 D．80

二、填空题

19．（2022·全国·统考高考真题）从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为____________．

20．（2022·全国·统考高考真题）的展开式中的系数为________________（用数字作答）．

21．（2022·全国·统考高考真题）从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率为________．

22．（2022·浙江·统考高考真题）已知多项式，则__________，___________．

23．（2022·天津·统考高考真题）的展开式中的常数项为______.

24．（2021·天津·统考高考真题）在的展开式中，的系数是__________．

25．（2021·北京·统考高考真题）在的展开式中，常数项为__________．

26．（2020·全国·统考高考真题）的展开式中常数项是__________（用数字作答）．

27．（2020·全国·统考高考真题）4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有__________种.

28．（2020·天津·统考高考真题）在的展开式中，的系数是_________．

29．（2018·全国·高考真题）从位女生，位男生中选人参加科技比赛，且至少有位女生入选，则不同的选法共有_____________种．（用数字填写答案）

30．（2019·天津·高考真题）展开式中的常数项为________.

31．（2018·浙江·高考真题）从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成___________个没有重复数字的四位数.(用数字作答)

32．（2018·浙江·高考真题）二项式的展开式的常数项是___________．

33．（2018·天津·高考真题）在二项式的展开式中，的系数为__________．

三、解答题

34．（2019·江苏·高考真题）设.已知.

（1）求n的值；

（2）设，其中，求的值.

四、双空题

35．（2021·浙江·统考高考真题）已知多项式，则___________，___________.

36．（2020·浙江·统考高考真题）设，则________；________．

37．（2019·浙江·高考真题）在二项式的展开式中，常数项是________；系数为有理数的项的个数是_______.

参考答案：

1．D

【分析】由古典概型概率公式结合组合、列举法即可得解.

【详解】从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，共有种不同的取法，

若两数不互质，不同的取法有：，共7种，

故所求概率.

故选：D.

2．B

【分析】利用捆绑法处理丙丁，用插空法安排甲，利用排列组合与计数原理即可得解

【详解】因为丙丁要在一起，先把丙丁捆绑，看做一个元素，连同乙，戊看成三个元素排列,有种排列方式；为使甲不在两端，必须且只需甲在此三个元素的中间两个位置任选一个位置插入，有2种插空方式；注意到丙丁两人的顺序可交换，有2种排列方式，故安排这5名同学共有：种不同的排列方式，

故选：B

3．B

【分析】利用赋值法可求的值.

【详解】令，则，

令，则，

故，

故选：B.

4．C

【分析】先确定有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，然后利用组合，排列，乘法原理求得.

【详解】根据题意，有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，可以先从5名志愿者中任选2人，组成一个小组，有种选法；然后连同其余三人，看成四个元素，四个项目看成四个不同的位置，四个不同的元素在四个不同的位置的排列方法数有4！种，根据乘法原理，完成这件事，共有种不同的分配方案，

故选：C.

【点睛】本题考查排列组合的应用问题，属基础题，关键是首先确定人数的分配情况，然后利用先选后排思想求解.

5．C

【详解】将4个1和2个0随机排成一行，可利用插空法，4个1产生5个空，

若2个0相邻，则有种排法，若2个0不相邻，则有种排法，

所以2个0不相邻的概率为.

故选：C.

6．C

【分析】利用古典概型的概率公式可求概率.

【详解】解：将3个1和2个0随机排成一行，可以是：

，

共10种排法，

其中2个0不相邻的排列方法为：

，

共6种方法，

故2个0不相邻的概率为，

故选：C.

7．C

【分析】求得展开式的通项公式为（且），即可求得与展开式的乘积为或形式，对分别赋值为3，1即可求得的系数，问题得解.

【详解】展开式的通项公式为（且）

所以的各项与展开式的通项的乘积可表示为：

和

在中，令，可得：，该项中的系数为，

在中，令，可得：，该项中的系数为

所以的系数为

故选：C

【点睛】本题主要考查了二项式定理及其展开式的通项公式，还考查了赋值法、转化能力及分析能力，属于中档题.

8．C

【分析】分别安排各场馆的志愿者，利用组合计数和乘法计数原理求解.

【详解】首先从名同学中选名去甲场馆，方法数有；

然后从其余名同学中选名去乙场馆，方法数有；

最后剩下的名同学去丙场馆.

故不同的安排方法共有种.

故选：C

【点睛】本小题主要考查分步计数原理和组合数的计算，属于基础题.

9．C

【分析】根据原位大三和弦满足，原位小三和弦满足

从开始，利用列举法即可解出．

【详解】根据题意可知，原位大三和弦满足：．

∴；；；；．

原位小三和弦满足：．

∴；；；；．

故个数之和为10．

故选：C．

【点睛】本题主要考查列举法的应用，以及对新定义的理解和应用，属于基础题．

10．C

【分析】首先将3名学生分成两个组，然后将2组学生安排到2个村即可.

【详解】第一步，将3名学生分成两个组，有种分法

第二步，将2组学生安排到2个村，有种安排方法

所以，不同的安排方法共有种

故选：C

【点睛】解答本类问题时一般采取先组后排的策略.

11．C

【分析】首先写出展开式的通项公式，然后结合通项公式确定的系数即可.

【详解】展开式的通项公式为：，

令可得：，则的系数为：.

故选：C.

【点睛】二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整数，且n≥r，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项．

12．A

【分析】本题可通过二项式系数的定义得出结果.

【详解】第项的二项式系数为，

故选：A.

13．B

【分析】利用古典概型概率公式，结合分步计数原理，计算结果.

【详解】5位老师，每人随机进入两间教室中的任意一间听课，共有种方法，

其中恰好全都进入同一间教室，共有2种方法，所以.

故选：B

14．C

【分析】首先选3名男生和2名女生，再全排列，共有种不同安排方法.

【详解】首先从4名男生和3名女生中，任选3名男生和2名女生，共有种情况，

再分别担任5门不同学科的课代表，共有种情况.

所以共有种不同安排方法.

故选：C

15．A

【分析】本题主要考查利用两个计数原理与排列组合计算古典概型问题，渗透了传统文化、数学计算等数学素养，“重卦”中每一爻有两种情况，基本事件计算是住店问题，该重卦恰有3个阳爻是相同元素的排列问题，利用直接法即可计算．

【详解】由题知，每一爻有2种情况，一重卦的6爻有情况，其中6爻中恰有3个阳爻情况有，所以该重卦恰有3个阳爻的概率为=，故选A．

【点睛】对利用排列组合计算古典概型问题，首先要分析元素是否可重复，其次要分析是排列问题还是组合问题．本题是重复元素的排列问题，所以基本事件的计算是“住店”问题，满足条件事件的计算是相同元素的排列问题即为组合问题．

16．D

【解析】男女生人数相同可利用整体发分析出两位女生相邻的概率，进而得解.

【详解】两位男同学和两位女同学排成一列，因为男生和女生人数相等，两位女生相邻与不相邻的排法种数相同，所以两位女生相邻与不相邻的概率均是．故选D．

【点睛】本题考查常见背景中的古典概型，渗透了数学建模和数学运算素养．采取等同法，利用等价转化的思想解题．

17．A

【分析】本题利用二项展开式通项公式求展开式指定项的系数．

【详解】由题意得x3的系数为，故选A．

【点睛】本题主要考查二项式定理，利用展开式通项公式求展开式指定项的系数．

18．C

【详解】分析：写出，然后可得结果

详解：由题可得

令,则

所以

故选C.

点睛：本题主要考查二项式定理，属于基础题．

19．##0.3

【分析】根据古典概型计算即可

【详解】解法一：设这5名同学分别为甲，乙，1,2,3，从5名同学中随机选3名，

有：(甲，乙，1)，(甲，乙，2)，(甲，乙，3)，(甲，1，2)，(甲，1，3)，(甲，2，3)，(乙，1，2)，(乙，1，3)，(乙，2，3)，(1，2，3)，共10种选法；

其中，甲、乙都入选的选法有3种，故所求概率.

故答案为：.

解法二：从5名同学中随机选3名的方法数为

甲、乙都入选的方法数为，所以甲、乙都入选的概率

故答案为：

20．-28

【分析】可化为，结合二项式展开式的通项公式求解.

【详解】因为，

所以的展开式中含的项为，

的展开式中的系数为-28

故答案为：-28

21．.

【分析】根据古典概型的概率公式即可求出．

【详解】从正方体的个顶点中任取个，有个结果，这个点在同一个平面的有个，故所求概率．

故答案为：．

22．         

【分析】第一空利用二项式定理直接求解即可，第二空赋值去求，令求出，再令即可得出答案．

【详解】含的项为：，故；

令，即，

令，即，

∴，

故答案为：；．

23．

【分析】由题意结合二项式定理可得的展开式的通项为，令，代入即可得解.

【详解】由题意的展开式的通项为，

令即，则，

所以的展开式中的常数项为.

故答案为：.

【点睛】本题考查了二项式定理的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.

24．160

【分析】求出二项式的展开式通项，令的指数为6即可求出.

【详解】的展开式的通项为，

令，解得，

所以的系数是.

故答案为：160.

25．

【分析】利用二项式定理求出通项公式并整理化简，然后令的指数为零，求解并计算得到答案.

【详解】的展开式的通项

令，解得，

故常数项为．

故答案为：.

26．

【分析】写出二项式展开通项，即可求得常数项.

【详解】

其二项式展开通项：

当，解得

的展开式中常数项是：.

故答案为：.

【点睛】本题考查二项式定理，利用通项公式求二项展开式中的指定项，解题关键是掌握的展开通项公式，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.

27．

【分析】根据题意，有且只有2名同学在同一个小区，利用先选后排的思想，结合排列组合和乘法计数原理得解.

【详解】4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学

先取2名同学看作一组，选法有：

现在可看成是3组同学分配到3个小区，分法有：

根据分步乘法原理，可得不同的安排方法种

故答案为：.

【点睛】本题主要考查了计数原理的综合应用，解题关键是掌握分步乘法原理和捆绑法的使用，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.

28．10

【分析】写出二项展开式的通项公式，整理后令的指数为2，即可求出．

【详解】因为的展开式的通项公式为，令，解得．

所以的系数为．

故答案为：．

【点睛】本题主要考查二项展开式的通项公式的应用，属于基础题．

29．

【分析】方法一：反面考虑，先求出所选的人中没有女生的选法种数，再根据从人中任选人的选法种数减去没有女生的选法种数，即可解出.

【详解】［方法一］：反面考虑

没有女生入选有种选法，从名学生中任意选人有种选法，

故至少有位女生入选，则不同的选法共有种．

故答案为：.

［方法二］：正面考虑

若有1位女生入选，则另2位是男生，于是选法有种；

若有2位女生入选，则另有1位是男生，于是选法有种，则不同的选法共有种．

故答案为：.

【整体点评】方法一：根据“正难则反”，先考虑“至少有位女生入选”的反面种数，再利用没有限制的选法种数减去反面种数即可求出，对于正面分类较多的问题是不错的方法；

方法二：正面分类较少，直接根据女生的人数分类讨论求出．

30．

【分析】根据二项展开式的通项公式得出通项，根据方程思想得出的值，再求出其常数项．

【详解】，

由，得，

所以的常数项为.

【点睛】本题考查二项式定理的应用，牢记常数项是由指数幂为0求得的．

31．1260.

【详解】分析:按是否取零分类讨论，若取零，则先排首位，最后根据分类与分步计数原理计数.

详解：若不取零，则排列数为若取零，则排列数为

因此一共有个没有重复数字的四位数.

点睛：求解排列、组合问题常用的解题方法：

(1)元素相邻的排列问题——“捆邦法”；(2)元素相间的排列问题——“插空法”；(3)元素有顺序限制的排列问题——“除序法”；(4)带有“含”与“不含”“至多”“至少”的排列组合问题——间接法.

32．7

【详解】分析:先根据二项式展开式的通项公式写出第r+1项，再根据项的次数为零解得r，代入即得结果.

详解：二项式的展开式的通项公式为,

令得，故所求的常数项为

点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略：

(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第项，再由特定项的特点求出值即可.

(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数的值，再由通项写出第项，由特定项得出值，最后求出特定项的系数.

33．.

【分析】由题意结合二项式定理展开式的通项公式得到的值，然后求解的系数即可.

【详解】结合二项式定理的通项公式有：，

令可得：，则的系数为：.

【点睛】（1）二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件（特定项）和通项公式，建立方程来确定指数（求解时要注意二项式系数中和的隐含条件，即、均为非负整数，且，如常数项指数为零、有理项指数为整数等）)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项．

（2）求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解．

34．（1）；

（2）-32.

【分析】(1)首先由二项式展开式的通项公式确定的值，然后求解关于的方程可得的值；

(2)解法一：利用(1)中求得的n的值确定有理项和无理项从而可得a,b的值，然后计算的值即可；

解法二：利用(1)中求得的n的值，由题意得到的展开式，最后结合平方差公式即可确定的值.

【详解】（1）因为，

所以，

．

因为，

所以，

解得．

（2）由（1）知，．

．

解法一：

因为，所以，

从而．

解法二：

．

因为，所以．

因此．

【点睛】本题主要考查二项式定理、组合数等基础知识，考查分析问题能力与运算求解能力.

35．     ;     .

【分析】根据二项展开式定理，分别求出的展开式，即可得出结论.

【详解】，

，

所以，

，

所以.

故答案为：.

36．         

【分析】利用二项式展开式的通项公式计算即可.

【详解】的通项为，

令，则，故；

.

故答案为：；.

【点晴】本题主要考查利用二项式定理求指定项的系数问题，考查学生的数学运算能力，是一道基础题.

37．         

【分析】本题主要考查二项式定理、二项展开式的通项公式、二项式系数，属于常规题目.从写出二项展开式的通项入手，根据要求，考察的幂指数，使问题得解.

【详解】的通项为

可得常数项为，

因系数为有理数，，有共5个项

【点睛】此类问题解法比较明确，首要的是要准确记忆通项公式，特别是“幂指数”不能记混，其次，计算要细心，确保结果正确.