第04讲 概率的基本性质 -高一数学下学期考点精讲+精练(人教A版2019必修第二册)

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第4讲 概率的基本性质

知识点1 概率的性质
1．概率的性质
(1)对任意事件A，都有P(A)≥0.
(2)P(Ω)＝1，P(∅)＝0.
(3)A与B互斥，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．
(4)A与B互为对立事件，P(B)＝1－P(A)，
P(A)＝1－P(B)．
(5)如果A⊆B，P(A)≤P(B)．
(6)A，B是一个随机试验中的两个事件，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)．
注：①一般地，对于事件A和事件B，如果A⊆B ，即事件A发生，事件B一定发生，那么事件A的概率不超过事件B的概率
②对于任意事件A，因为∅⊂A⊂Ω，所以0≤P(A)≤1
③概率的一般加法公式与互斥事件的概率加法公式在限制条件上有区别：在公式P(A)+P(B)=P(A∪B)中，事件A，B是互斥事件；在公式P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)中，事件A，B可以是互斥事件，也可以不是互斥事件

2．概率的加法公式
(1)当A与B互斥(即AB＝∅)时，有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，这称为互斥事件的概率加法公式．
注：互斥事件的概率加法公式应用的前提是“事件A和事件B互斥”，否则不可以用这个公式. 实际上，对于事件A，B，有P(A∪B)≤P(A)+P(B)，只有当事件A和事件B互斥时，等号才成立.
(2)一般地，如果A1，A2，…，Am是两两互斥的事件，则P(A1∪A2∪…∪Am)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(Am)．
(3)P(A)＋P()＝1.
注：如果事件A和事件B为对立事件，那么它们的概率之和为1

3．求复杂事件的概率通常有两种方法
(1)将所求事件转化成彼此互斥事件的并事件；
(2)先求其对立事件的概率，再求所求事件的概率．






考点一 互斥事件、对立事件的概率
解题方略：
含“至多”、“至少”等词语的概率的计算
(1)互斥事件的概率加法公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．
(2)当求解的问题中有“至多”“至少”“最少”等关键词语时，常常考虑其反面，通过求其反面，然后转化为所求问题．　　　　
【例1】下列说法正确的是(　 　)
A．事件A，B中至少有一个发生的概率一定比A，B中恰有一个发生的概率大
B．事件A，B同时发生的概率一定比A，B中恰有一个发生的概率小
C．互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件
D．互斥事件一定是对立事件，对立事件不一定是互斥事件
【解析】对于A，当A、B为对立事件时，A, B中至少有一个发生的概率和A，B中恰有一个发生的概率相等，故A错；对于B，若A、B是相等事件，此时A、B恰有一个发生为不可能事件，概率为0，故B错；C正确，D错误．故选C.


【例2】某学校高一年级派甲、乙两个班参加学校组织的拔河比赛，甲、乙两个班取得冠军的概率分别为和，则该年级在拔河比赛中取得冠军的概率为(　　)
A.　　　　　　　　　　　 B.
C. D.
【解析】甲班取得冠军和乙班取得冠军是两个互斥事件，该校高一年级取得冠军是这两个互斥事件的和事件，其概率为两个互斥事件的概率之和，即为＋＝.故选A.

变式1：根据湖北某医疗所的调查，某地区居民血型的分布为：O型52%，A型15%，AB型5%，B型28%.现有一血型为A型的病人需要输血，若在该地区任选一人，则此人能为病人输血的概率为(　　)
A．67% B．85%
C．48% D．15%
【解析】O型血与A型血的人能为A型血的人输血，故所求的概率为52%＋15%＝67%.故选A.

变式2：口袋内装有一些大小质地完全相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，那么摸出黑球的概率是________．
【解析】摸出红球、白球、黑球是互斥事件，所以摸出黑球的概率是1－0.42－0.28＝0.3.
答案：0.3

变式3：一个袋子里有4个红球，2个白球，6个黑球，若随机地摸出一个球，记A＝{摸出黑球}，B＝{摸出红球}，C＝{摸出白球}，则事件A∪B及B∪C的概率分别为(　　)
A.， B．，
C.， D.，
【解析】P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝. P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝. P(B∪C)＝P(B)＋P(C)＝.故选A.

变式4：围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为，都是白子的概率是.则从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是(　 　)
A. B.
C. D．1
【解析】设“从中取出2粒都是黑子”为事件A，“从中取出2粒都是白子”为事件B，“从中任意取出2粒恰好是同一色”为事件C.则P(A)＝，P(B)＝.
由互斥事件的概率加法公式可得P(C)＝P(A)＋P(B)＝＋＝.即从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是，故选C.

变式5：对一批产品的长度(单位：毫米)进行抽样检测，如图为检测结果的频率分布直方图．根据标准，产品长度在区间[20,25)上的为一等品，在区间[15,20)和区间[25,30)上的为二等品，在区间[10,15)和[30,35)上的为三等品．用频率估计概率，现从该批产品中随机抽取一件，则其为二等品的概率为(　　)

A．0.09 B．0.20
C．0.25 D．0.45
【解析】由图可知抽得一等品的概率为0.3，抽得三等品的概率为0.25，则抽得二等品的概率为1－0.3－0.25＝0.45.故选D.

变式6：若A，B为互斥事件，P(A)＝0.4，P(A∪B)＝0.7，则P(B)＝________.
【解析】∵A，B为互斥事件，
∴P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，
∴P(B)＝P(A∪B)－P(A)＝0.7－0.4＝0.3.
答案：0.3


【例3】一商店有奖促销活动中只有一等奖与二等奖两个奖项，其中中一等奖的概率为0.1，中二等奖的概率为0.25，则不中奖的概率为________.
【解析】中奖的概率为0.1＋0.25＝0.35，中奖与不中奖互为对立事件，所以不中奖的概率为1－0.35＝0.65.
答案：0.65

变式1：某产品分为甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，若生产中出现乙级品的概率为0.03，出现丙级品的概率为0.01，则对产品抽查一次抽得正品的概率是(　　)
A．0.09 B．0.98
C．0.97 D．0.96
【解析】抽查一次抽得正品与抽得次品是对立事件，而抽得次品的概率为0.03＋0.01＝0.04，故抽得正品的概率为1－0.04＝0.96.故选D.

变式2：某学校教务处决定对数学组的老师进行“评教”，根据数学成绩从某班学生中任意找出一人，如果该同学的数学成绩低于90分的概率为0.2，该同学的成绩在[90,120]之间的概率为0.5，那么该同学的数学成绩超过120分的概率为(　　)
A．0.2 B．0.3
C．0.7 D．0.8
【解析】该同学数学成绩超过120分(事件A)与该同学数学成绩不超过120分(事件B)是对立事件，而不超过120分的事件为低于90分(事件C)和[90,120](事件D)两事件的和事件，即P(A)＝1－P(B)＝1－[P(C)＋P(D)]＝ 1－(0.2＋0.5)＝0.3.故选B.


变式3：抛掷一个质地均匀的骰子的试验，事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“小于5的点数出现”，则一次试验中，事件A＋发生的概率为(　　)
A. B．
C. D.
【解析】掷一个骰子的试验有6种可能结果，依题意P(A)＝＝，P(B)＝＝，
所以P()＝1－P(B)＝1－＝，
因为表示“出现5点或6点”的事件，所以事件A与互斥，从而P(A＋)＝P(A)＋P()＝＋＝.故选C.


【例4】某射击运动员在一次射击中射中10环、9环、8环、7环、7环以下的概率分别为0.1,0.2,0.3,0.3,0.1.计算这个运动员在一次射击中：
(1)射中10环或9环的概率；
(2)至少射中7环的概率．
【解析】设“射中10环”、“射中9环”、“射中8环”、“射中7环”、“射中7环以下”的事件分别为A，B，C，D，E，则
(1)P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.1＋0.2＝0.3.
所以射中10环或9环的概率为0.3.
(2)因为射中7环以下的概率为0.1，所以由对立事件的概率公式得，至少射中7环的概率为1－0.1＝0.9.

变式1：经统计，在某储蓄所一个营业窗口等候的人数及相应的概率如下：
排队人数
0
1
2
3
4
5人及5人以上
概率
0.1
0.16
0.3
0.3
0.1
0.04

求：(1)至多2人排队等候的概率是多少？
(2)至少3人排队等候的概率是多少？
【解析】记“无人排队等候”为事件A，“1人排队等候”为事件B，“2人排队等候”为事件C，“3人排队等候”为事件D，“4人排队等候”为事件E，“5人及5人以上排队等候”为事件F，则事件A，B，C，D，E，F互斥．
(1)记“至多2人排队等候”为事件G，则G＝A∪B∪C，
所以P(G)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)
＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56.
(2)法一：记“至少3人排队等候”为事件H，
则H＝D∪E∪F，
所以P(H)＝P(D∪E∪F)＝P(D)＋P(E)＋P(F)
＝0.3＋0.1＋0.04＝0.44.
法二：记“至少3人排队等候”为事件H，则其对立事件为事件G，
所以P(H)＝1－P(G)＝0.44.



【例5】若随机事件A，B互斥，A，B发生的概率均不等于0，且P(A)＝2－a，P(B)＝4a－5，则实数a的取值范围是(　　)
A. B．
C. D.
【解析】由题意可得
即解得
变式1：若事件A和B是互斥事件，且P(A)＝0.1，则P(B)的取值范围是(　　)
A．[0,0.9] B．[0.1,0.9]
C．(0,0.9] D．[0,1]
【解析】由于事件A和B是互斥事件，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.1＋P(B)，又0≤P(A∪B)≤1，
所以0≤0.1＋P(B)≤1，所以0≤P(B)≤0.9.故选A.

考点二 互斥事件与对立事件概率的综合问题
解题方略：
化归转化思想的应用
(1)互斥事件的概率加法公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)是一个非常重要的公式，运用公式解题时，首先要分清事件间是否互斥，同时要学会把一个事件分拆为几个互斥事件，然后求出各事件的概率，用加法公式得出结果．
(2)当直接计算复合条件的事件的概率比较麻烦时，可间接地计算出其对立事件的概率，求得对立事件的概率，然后再用对立事件的概率加法公式求解．　

【例6】在数学考试中，小明的成绩在90分(含90分)以上的概率是0.18，在80分～89分(包括89分，下同)的概率是0.51，在70分～79分的概率是0.15，在60分～69分的概率是0.09，在60分以下的概率是0.07，计算：
(1)小明在数学考试中取得80分以上的成绩的概率；
(2)小明数学考试及格的概率．
【解析】分别记小明的成绩“在90分以上”“在80分～89分”“在70分～79分”在“60分～69分”为事件B，C，D，E，这四个事件彼此互斥，根据互斥事件的概率加法公式，得
(1)小明的成绩在80分以上的概率是
P(B∪C)＝P(B)＋P(C)＝0.18＋0.51＝0.69.
(2)法一：小明数学考试及格的概率是
P(B∪C∪D∪E)＝P(B)＋P(C)＋P(D)＋P(E)
＝0.18＋0.51＋0.15＋0.09＝0.93.
法二：小明数学考试不及格的概率是0.07，所以小明数学考试及格的概率是1－0.07＝0.93.

变式1：一盒中装有大小质地完全相同的各种色球12个，其中5个红球、4个黑球、2个白球、1个绿球．从中随机取出1球，求：
(1)取出1球是红球或黑球的概率；
(2)取出的1球是红球或黑球或白球的概率．
【解析】法一：(利用互斥事件求概率)
记事件A1＝{任取1球为红球}，
A2＝{任取1球为黑球}，A3＝{任取1球为白球}，
A4＝{任取1球为绿球}，
则P(A1)＝，P(A2)＝，P(A3)＝，P(A4)＝.
根据题意知，事件A1，A2，A3，A4彼此互斥，
由互斥事件的概率加法公式，得
(1)取出1球为红球或黑球的概率为
P(A1∪A2)＝P(A1)＋P(A2)＝＋＝.
(2)取出1球为红球或黑球或白球的概率为P(A1∪A2∪A3)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝＋＋＝.
法二：(利用对立事件求概率)
(1)由法一知，取出1球为红球或黑球的对立事件为取出1球为白球或绿球，即A1∪A2的对立事件为A3∪A4，所以取得1球为红球或黑球的概率为
P(A1∪A2)＝1－P(A3∪A4)＝1－P(A3)－P(A4)
＝1－－＝＝.
(2)A1∪A2∪A3的对立事件为A4.
所以P(A1∪A2∪A3)＝1－P(A4)＝1－＝.


练习一 互斥事件、对立事件的概率

1、甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为40%，甲不输的概率为90%，则甲、乙两人下成和棋的概率为(　　)
A．60% B．30%
C．10% D．50%
【解析】设A＝{甲获胜}，B＝{甲不输}，C＝{甲、乙和棋}，则A，C互斥，且B＝A∪C，故P(B)＝P(A∪C)＝P(A)＋P(C)，即P(C)＝P(B)－P(A)＝50%.故选D.

2、掷一枚均匀的正六面体骰子，设A表示事件“出现3点”，B表示事件“出现偶数点”，则P(A∪B)等于________．
【解析】显然事件A与事件B互斥，所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝＋＝.
答案：

3、某城市2019年的空气质量状况如下表所示：
污染指数T
30
60
100
110
130
140
概率P







其中污染指数T≤50时，空气质量为优；50＜T≤100时，空气质量为良；100＜T≤150时，空气质量为轻微污染．该城市2019年空气质量达到良或优的概率为________．
【解析】所求概率为＋＋＝.答案：



4、抛掷一枚质地均匀的骰子(骰子的六个面上分别标有1,2,3,4,5,6个点)一次，观察掷出向上的点数，设事件A为“掷出向上为偶数点”，事件B为“掷出向上为3点”，则P(A∪B)＝(　　)
A. B．
C. D.
【解析】事件A为“掷出向上为偶数点”，所以P(A)＝.
事件B为“掷出向上为3点”，所以P(B)＝.
又事件A，B是互斥事件，根据互斥事件的概率加法公式，所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝.故选B.

5、向三个相邻的军火库投一枚炸弹，炸中第一军火库的概率为0.025，炸中第二、三军火库的概率均为0.1，只要炸中一个，另两个也会发生爆炸，军火库爆炸的概率为________．
【解析】设A，B，C分别表示炸弹炸中第一、第二、第三军火库这三个事件，D表示军火库爆炸，则P(A)＝0.025，P(B)＝0.1，P(C)＝0.1，其中A，B，C互斥，故P(D)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.025＋0.1＋0.1＝0.225.
答案：0.225

6、某家庭电话在家中有人时，打进的电话响第一声时被接的概率为0.1，响第二声时被接的概率为0.3，响第三声时被接的概率为0.4，响第四声时被接的概率为0.1，那么电话在响前四声内被接的概率是多少？
【解析】记“响第一声时被接”为事件A，“响第二声时被接”为事件B，“响第三声时被接”为事件C，“响第四声时被接”为事件D.“响前四声内被接”为事件E，则易知A，B，C，D互斥，且E＝A∪B∪C∪D，所以由互斥事件的概率加法公式得，
P(E)＝P(A∪B∪C∪D)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＋P(D)＝0.1＋0.3＋0.4＋0.1＝0.9.
即电话在响前四声内被接的概率是0.9.

7、若A，B是互斥事件，P(A)＝0.2，P(A∪B)＝0.5，则P(B)等于(　　)
A．0.3　　　　　　　　　 B．0.7
C．0.1 D．1
【解析】∵A，B是互斥事件，∴P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.5，∵P(A)＝0.2，∴P(B)＝0.5－0.2＝0.3.故选A.


8、如图所示，靶子由一个中心圆面Ⅰ和两个同心圆环Ⅱ，Ⅲ构成，射手命中Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别为0.35,0.30,0.25，则不命中靶的概率是________．





【解析】“射手命中圆面Ⅰ”为事件A，“命中圆环Ⅱ”为事件B，“命中圆环Ⅲ”为事件C，“不中靶”为事件D，则A、B、C彼此互斥，故射手中靶的概率为P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.35＋0.30＋0.25＝0.90.因为中靶和不中靶是对立事件，故不命中靶的概率为P(D)＝1－P(A∪B∪C)＝1－0.90＝0.10.
答案：0.10

练习二 互斥事件与对立事件概率的综合问题
1、某公务员去开会，他乘火车、轮船、汽车、飞机去的概率分别为0.3,0.2,0.1,0.4.
(1)求他乘火车或乘飞机去的概率；
(2)求他不乘轮船去的概率；
(3)如果他乘某种交通工具的概率为0.5，请问他有可能乘哪种交通工具去？
【解析】(1)记“他乘火车去”为事件A，“他乘轮船去”为事件B，“他乘汽车去”为事件C，“他乘飞机去”为事件D.这四个事件两两不可能同时发生，故它们彼此互斥．
所以P(A∪D)＝P(A)＋P(D)
＝0.3＋0.4＝0.7.
即他乘火车或乘飞机去的概率为0.7.
(2)设他不乘轮船去的概率为P()，则
P()＝1－P(B)＝1－0.2＝0.8，
所以，他不乘轮船去的概率为0.8.
(3)由于P(A)＋P(B)＝0.3＋0.2＝0.5，
P(C)＋P(D)＝0.1＋0.4＝0.5，故他可能乘火车或乘轮船去，也有可能乘汽车或乘飞机去．

2、某商场有奖销售中，购满100元商品得一张奖券，多购多得，每1 000张奖券为一个开奖单位．设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A，B，C，求：
(1)P(A)，P(B)，P(C)；
(2)抽取1张奖券中奖概率；
(3)抽取1张奖券不中特等奖或一等奖的概率．
【解析】(1)∵每1 000张奖券中设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个，
∴P(A)＝，P(B)＝＝，
P(C)＝＝.
(2)设“抽取1张奖券中奖”为事件D，则
P(D)＝P(A)＋P(B)＋P(C)
＝＋＋＝.
(3)设“抽取1张奖券不中特等奖或一等奖”为事件E，则
P(E)＝1－P(A)－P(B)＝1－－＝.

3、袋中有12个大小质地完全相同的小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球的概率是，得到黑球或黄球的概率是，得到黄球或绿球的概率也是，试求得到黑球，得到黄球，得到绿球的概率各是多少？
【解析】从袋中任取一球，记事件“得到红球”“得到黑球”“得到黄球”“得到绿球”分别为A，B，C，D，则
P(A)＝，P(B∪C)＝P(B)＋P(C)＝，P(C∪D)＝P(C)＋P(D)＝，
P(B∪C∪D)＝P(B)＋P(C)＋P(D)＝1－P(A)
＝1－＝.
联立
解得P(B)＝，P(C)＝，P(D)＝，
故得到黑球，得到黄球，得到绿球的概率分别为，，.