2020-2021学年河南省郑州市中原区桐柏一中八年级（下）期中数学试卷(1)

这是一份2020-2021学年河南省郑州市中原区桐柏一中八年级（下）期中数学试卷(1)，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（3分）下列条件中，不能判定△ABC是等腰三角形的是（ ）
A．a＝3，b＝3，c＝4B．a：b：c＝2：3：4
C．∠B＝50°，∠C＝80°D．∠A：∠B：∠C＝1：1：2
3．（3分）下列说法错误的是（ ）
A．若a+3＞b+3，则a＞bB．若，则a＞b
C．若a＞b，则ac＞bcD．若a＞b，则a+3＞b+2
4．（3分）下列因式分解正确的是（ ）
A．n2﹣5n+6＝n（n﹣5）+6B．4x2﹣1＝（2x﹣1）2
C．y2﹣4y﹣4＝（y﹣2）2D．4t2﹣4t+1＝（2t﹣1）2
5．（3分）A、B、C分别表示三个村庄，AB＝1000米，BC＝600米，AC＝800米，为拟建一个文化活动中心，要求这三个村庄到活动中心的距离相等，则活动中心P的位置应在（ ）
A．AB中点B．BC中点
C．AC中点D．∠C的平分线与AB的交点
6．（3分）如图，一次函数y＝2x和y＝ax+4的图象相交于点A（m，3），则不等式ax+4＜2x的解集是（ ）
A．x＜B．x＜2C．x＞D．x＞2
7．（3分）在平面直角坐标系内，将M（5，2）先向下平移2个单位，再向左平移3个单位，则移动后的点的坐标是（ ）
A．（2，0）B．（3，5）C．（8，4）D．（2，3）
8．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝15°，DE垂直平分AB，交BC于点E，AC＝2，则S△ABE的值是（ ）
A．4B．5C．6D．8
9．（3分）如图，在△ABC中，BC＝5，∠A＝80°，∠B＝70°，把△ABC沿RS的方向平移到△DEF的位置，若CF＝4，则下列结论中错误的是（ ）
A．BE＝4B．∠F＝30°C．AB∥DED．DF＝5
10．（3分）在平面直角坐标系xOy中，第一次将△ABC作原点的中心对称图形得到△A1B1C1，第二次在作△A1B1C1关于x轴的对称图形得到△A2B2C2，第三次△A2B2C2作原点的中心对称图形得到△A3B3C3，第四次再作△A3B3C3关于x轴的对称图形得到△A4B4C4，按照此规律作图形的变换，可以得到△A2021B2021C2021的图形，若点C（3，2），则C2021的坐标为（ ）
A．（3，﹣2）B．（﹣3，2）C．（3，2）D．（﹣3，﹣2）
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）计算：5.352﹣4.652＝ ．
12．（3分）写一个解集为x＜﹣4的不等式为 ．
13．（3分）如图，将△ABC纸片绕点C顺时针旋转40°得到△A'B'C，连接AA'，若AC⊥A'B'，则∠AA'B'的度数为 ．
14．（3分）如图，等边三角形ABC中，点O是△ABC的∠B和∠C的角平分线的交点，∠FOG＝120°，绕点O旋转∠FOG，分别交线段AB、BC于点D、E两点，连接DE，若OA＝2，则△ODE周长最小值为 ．
15．（3分）如图所示，等腰三角形ABC的底边为8cm，腰长为5cm，一动点P（与B、C不重合）在底边上从B向C以1cm/s的速度移动，当P运动 秒时，△ACP是直角三角形．
三、解答题（8题，共75分）
16．（9分）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
17．（8分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别是A（2，4）、B（1，2）、C（5，3）．
（1）作出△ABC关于点O对称的图形△A1B1C1；
（2）以点B为旋转中心，将△ABC顺时针旋转90°，得到△A2B2C2，在坐标系中画出△A2B2C2．
18．（9分）阅读材料：已知△ABC中，AD平分∠BAC，AD是△ABC的中线，求证：AB＝AC．
小明根据已知条件发现若AD平分∠BAC可得∠BAD＝∠CAD，又AD是△ABC的中线，可得BD＝CD，加上公共边的条件AD＝AD，有两条边和一个角对应相等，就下结论得到△ABD和△ACD是全等的，从而得到结论∠B＝∠C，可证出AB＝AC成立．
小芳的方法是用角平分线的性质得到DE＝DF，再用中线分三角形的面积为相等两部分，再用等面积的方法可以得到结论．
请你回答小明和小芳的证明思路谁正确的？请任选择一个方法进行完整的证明．（可以与小明和小芳的方法不同）
19．（9分）为了节能减排，我区某校准备购买某种品牌的节能灯，已知4只A型节能灯和5只B型节能灯共需55元，2只A型节能灯和1只B型节能灯共需17元．
（1）求1只A型节能灯和1只B型节能灯的售价各是多少元？
（2）学校准备购买这两种型号的节能灯共300只，要求A型节能灯的数量不超过B型节能灯的数量的2倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．
20．（9分）教科书中这样写道：“我们把多项式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等．
例如：分解因式x2+2x﹣3＝（x2+2x+1）﹣4＝（x+1）2﹣4＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1）；求代数式2x2+4x﹣6的最小值．
2x2+4x﹣6＝2（x2+2x+1）﹣2﹣6＝2（x+1）2﹣8．可知当x＝﹣1时，2x2+4x﹣6有最小值，最小值是﹣8，根据阅读材料用配方法解决下列问题：
（1）分解因式：x2+4x﹣5＝ ；
（2）当x为何值时，多项式﹣2x2﹣4x+3有最大值，并求出这个最大值．
21．（9分）4月23日是“世界读书日”，甲、乙两书店在这一天举行了购书优惠活动：
甲书店：所有书籍按标价8折出售；
乙书店：一次购书标价总额不超过100元的按原价计费，超过100元的部分打6折．
设小红同学当天购书标价总额为x元，去甲书店付y甲元，去乙书店购书应付y乙元，其函数图象如图所示．
（1）求y甲、y乙与x的关系式；
（2）两图象交于点A，请求出A点坐标，并说明点A的实际意义；
（3）请根据函数图象，直接写出小红选择去哪个书店购书更合算．
22．（11分）问题探究：小江同学根据学习函数的经验，对函数y＝﹣2|x|+5的图象和性质进行了探究．下面是小刚的探究过程，请你解决相关问题：
（Ⅰ）在函数y＝﹣2|x|+5中，自变量x可以是任意实数；
（Ⅱ）如表y与x的几组对应值：
（Ⅲ）如图，在平面直角坐标系中，描出以表中各对对应值为坐标的点，
并根据描出的点，画出该函数的图象；
（1）若A（m，n），B（6，n）为该函数图象上不同的两点，则m＝ ；
（2）观察函数y＝﹣2|x|+5的图象，写出该图象的两条性质 ．
（3）直接写出，当0＜﹣2|x|+5≤3时，自变量x的取值范围是 ．
23．（11分）（一）发现探究
在△ABC中AB＝AC，点P在平面内，连接AP并将线段AP绕点A顺时针方向旋转与∠BAC相等的角度，得到线段AQ，连接BQ．
【发现问题】如图1，如果点P是BC边上任意一点，则线段BQ和线段PC的数量关系是 ；
【探究猜想】如图2，如果点P为平面内任意一点．前面发现的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．请仅以图2所示的位置关系加以证明（或说明）；
（二）拓展应用
【拓展应用】如图3，在△ABC中，AC＝2，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，P是线段BC上的任意一点连接AP，将线段AP绕点A顺时针方向旋转60°，得到线段AQ，连接CQ，请直接写出线段CQ长度的最小值．
2020-2021学年河南省郑州市中原区桐柏一中八年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（3分×10＝30分）
1．（3分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
B．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
2．（3分）下列条件中，不能判定△ABC是等腰三角形的是（ ）
A．a＝3，b＝3，c＝4B．a：b：c＝2：3：4
C．∠B＝50°，∠C＝80°D．∠A：∠B：∠C＝1：1：2
【分析】由等腰三角形的定义与等角对等边的判定定理，即可求得答案．
【解答】解：A、∵a＝3，b＝3，c＝4，
∴a＝b，
∴△ABC是等腰三角形；
B、∵a：b：c＝2：3：4
∴a≠b≠c，
∴△ABC不是等腰三角形；
C、∵∠B＝50°，∠C＝80°，
∴∠A＝180°﹣∠B﹣∠C＝50°，
∴∠A＝∠B，
∴AC＝BC，
∴△ABC是等腰三角形；
D、∵∠A：∠B：∠C＝1：1：2，
∵∠A＝∠B，
∴AC＝BC，
∴△ABC是等腰三角形．
故选：B．
【点评】此题考查了等腰三角形的判定．此题比较简单，注意掌握等腰三角形的定义与等角对等边的判定定理是解题的关键．
3．（3分）下列说法错误的是（ ）
A．若a+3＞b+3，则a＞bB．若，则a＞b
C．若a＞b，则ac＞bcD．若a＞b，则a+3＞b+2
【分析】根据不等式的性质进行判断．
【解答】解：A、若a+3＞b+3，则a＞b，原变形正确，故此选项不符合题意；
B、若＞，则a＞b，原变形正确，故此选项不符合题意；
C、若a＞b，则ac＞bc，这里必须满足c≠0，原变形错误，故此选项符合题意；
D、若a＞b，则a+3＞b+2，原变形正确，故此选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了不等式的性质．要认真弄清不等式的基本性质与等式的基本性质的异同，特别是在不等式两边同乘以（或除以）同一个数时，不仅要考虑这个数不等于0，而且必须先确定这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向必须改变．
4．（3分）下列因式分解正确的是（ ）
A．n2﹣5n+6＝n（n﹣5）+6B．4x2﹣1＝（2x﹣1）2
C．y2﹣4y﹣4＝（y﹣2）2D．4t2﹣4t+1＝（2t﹣1）2
【分析】分别利用十字相乘法、平方差公式、完全平方公式对各选项逐一分解即可．
【解答】解：A、n2﹣5n+6＝（n﹣2）（n﹣3），故A错误；
B、4x2﹣1＝（2x+1）（2x﹣1），故B错误；
C、不可因式分解；
D、4t2﹣4t+1＝（2t﹣1）2，故D正确．
故选：D．
【点评】此题主要考查了十字相乘法、以及公式法分解因式，熟练掌握因式分解方法是解题关键．
5．（3分）A、B、C分别表示三个村庄，AB＝1000米，BC＝600米，AC＝800米，为拟建一个文化活动中心，要求这三个村庄到活动中心的距离相等，则活动中心P的位置应在（ ）
A．AB中点B．BC中点
C．AC中点D．∠C的平分线与AB的交点
【分析】根据勾股定理的逆定理得到△ABC为以AB为斜边的直角三角形，根据直角三角形的性质解答即可．
【解答】解：∵AB2＝10002＝1000000，BC2＝6002＝360000，AC2＝8002640000，
∴AB2＝BC2+AC2，
∴△ABC为以AB为斜边的直角三角形，
当点P在AB的中点时，CP＝AB＝PA＝PB，
故选：A．
【点评】本题考查的是直角三角形的性质，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
6．（3分）如图，一次函数y＝2x和y＝ax+4的图象相交于点A（m，3），则不等式ax+4＜2x的解集是（ ）
A．x＜B．x＜2C．x＞D．x＞2
【分析】首先利用待定系数法求出A点坐标，再以交点为分界，结合图象写出不等式ax+4＜2x解集即可．
【解答】解：∵函数y＝2x过点A（m，3），
∴2m＝3，
解得：m＝，
∴A（，3），
∴不等式ax+4＜2x的解集为x＞．
故选：C．
【点评】此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，关键是求出A点坐标．
7．（3分）在平面直角坐标系内，将M（5，2）先向下平移2个单位，再向左平移3个单位，则移动后的点的坐标是（ ）
A．（2，0）B．（3，5）C．（8，4）D．（2，3）
【分析】根据横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减可得答案．
【解答】解：平移后的坐标为（5﹣3，2﹣2），即坐标为（2，0），
故选：A．
【点评】此题主要考查了坐标与图形的变化﹣平移，关键是掌握平移规律．
8．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝15°，DE垂直平分AB，交BC于点E，AC＝2，则S△ABE的值是（ ）
A．4B．5C．6D．8
【分析】由线段垂直平分线的性质和直角三角形的性质以及三角形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：∵DE垂直平分AB，
∴AE＝BE，
∴∠EAB＝∠B＝15°，
∴∠AEC＝∠B+∠BAE＝30°，
∵∠ACE＝90°，AC＝2，
∴AE＝BE＝2AC＝4，
∴S△ABE＝BE•AC＝，
故选：A．
【点评】本题考查了含30°直角三角形的性质，三角形的面积公式，线段垂直平分线的性质，正确的识别图形是解题的关键．
9．（3分）如图，在△ABC中，BC＝5，∠A＝80°，∠B＝70°，把△ABC沿RS的方向平移到△DEF的位置，若CF＝4，则下列结论中错误的是（ ）
A．BE＝4B．∠F＝30°C．AB∥DED．DF＝5
【分析】根据平移的性质，平移只改变图形的位置，不改变图形的大小与形状，平移后对应点的连线互相平行，对各选项分析判断后利用排除法．
【解答】解：∵把△ABC沿RS的方向平移到△DEF的位置，BC＝5，∠A＝80°，∠B＝70°，
∴CF＝BE＝4，∠F＝∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣80°﹣70°＝30°，AB∥DE，
∴A、B、C正确，D错误，
故选：D．
【点评】本题考查了平移的性质，熟练掌握平移性质是解题的关键．
10．（3分）在平面直角坐标系xOy中，第一次将△ABC作原点的中心对称图形得到△A1B1C1，第二次在作△A1B1C1关于x轴的对称图形得到△A2B2C2，第三次△A2B2C2作原点的中心对称图形得到△A3B3C3，第四次再作△A3B3C3关于x轴的对称图形得到△A4B4C4，按照此规律作图形的变换，可以得到△A2021B2021C2021的图形，若点C（3，2），则C2021的坐标为（ ）
A．（3，﹣2）B．（﹣3，2）C．（3，2）D．（﹣3，﹣2）
【分析】画出图形，探究规律，利用规律解决问题即可．
【解答】解：如图，由题意，4次一个循环，
∵2021÷4＝，
∴C2021与C1的坐标相同，（﹣3，﹣2）．
故选：D．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，规律型﹣点的坐标等知识，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）计算：5.352﹣4.652＝ 7 ．
【分析】直接利用平方差公式分解因式进而计算即可．
【解答】解：5.352﹣4.652＝（5.35+4.65）×（5.35﹣4.65）
＝10×0.7
＝7．
故答案为：7．
【点评】此题主要考查了公式法分解因式，正确运用乘法公式是解题关键．
12．（3分）写一个解集为x＜﹣4的不等式为 ﹣2x＞8 ．
【分析】不等式两边加上或减去同一个数，不等号的方向不变；不等式的两边乘或除以同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边乘或除以同一个负数，不等号的方向改变．掌握这个性质是解题关键．
【解答】解：不等式两边同乘﹣2得：
﹣2x＞8．
故答案为：﹣2x＞8．
【点评】本题考查不等式的性质，掌握性质是解题关键．
13．（3分）如图，将△ABC纸片绕点C顺时针旋转40°得到△A'B'C，连接AA'，若AC⊥A'B'，则∠AA'B'的度数为 20° ．
【分析】在直角△A′CD中，求得∠DA′C的度数，然后在等腰△ACA′中利用等边对等角求得∠AA′C的度数，即可求解．
【解答】解：若AC⊥A′B′，垂足为D，
∵AC⊥A′B′，
∴直角△A′CD中，∠DA′C＝90°﹣∠DCA′＝90°﹣40°＝50°．
∵CA＝CA′，
∴∠CAA′＝∠CA′A＝（180°﹣∠ACA′）＝×（180°﹣40°）＝70°，
∴∠AA′B′＝70°﹣50°＝20°．
故答案为：20°．
【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，熟练掌握旋转的性质是本题的关键．
14．（3分）如图，等边三角形ABC中，点O是△ABC的∠B和∠C的角平分线的交点，∠FOG＝120°，绕点O旋转∠FOG，分别交线段AB、BC于点D、E两点，连接DE，若OA＝2，则△ODE周长最小值为 ．
【分析】由“ASA”可证△BOD≌△COE，可得BD＝CE，OD＝OE，可求△ODE周长＝OD+OE+DE＝2OD+OD，当OD取最小值时，△ODE周长有最小值，即可求解．
【解答】解：连接OB、OC，过点H作OH⊥DE于H，如图，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°，
∵点O是△ABC的∠B和∠C的角平分线的交点，
∴OB＝OC＝AO＝2，∠ABO＝∠OBC＝∠OCB＝30°
∴∠BOC＝120°，即∠BOE+∠COE＝120°，
又∵∠DOE＝120°，即∠BOE+∠BOD＝120°，
∴∠BOD＝∠COE，
在△BOD和△COE中，
，
∴△BOD≌△COE（ASA），
∴BD＝CE，OD＝OE，
又∵∠DOE＝120°，OH⊥DE，
∴∠ODH＝∠OED＝30°，
∴OH＝OD，DH＝OH＝OD，
∴△ODE周长＝OD+OE+DE＝2OD+OD，
∴当OD取最小值时，△ODE周长有最小值，
∴当DO⊥AB时，OD的最小值为1，
∴△ODE周长的最小值为2+，
故答案为2+．
【点评】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
15．（3分）如图所示，等腰三角形ABC的底边为8cm，腰长为5cm，一动点P（与B、C不重合）在底边上从B向C以1cm/s的速度移动，当P运动 1.75或4 秒时，△ACP是直角三角形．
【分析】过A作AD⊥BC于D，根据等腰三角形的性质得到BD＝CD＝BC＝4（cm），由勾股定理得到AD＝＝＝3（cm），分两种情况：①当点P运动t秒后有PA⊥AC时，如图1，根据勾股定理得到t＝1.75s；②当AP⊥BC时，如图2，根据等腰三角形的性质得到t＝4s．
【解答】解：过A作AD⊥BC于D，
∵AB＝AC＝5cm，
∴BD＝CD＝BC＝4（cm），
∴AD＝＝＝3（cm），
分两种情况：
①当点P运动t秒后有PA⊥AC时，如图1，
则PB＝t，PC＝8﹣t，
∵AP2＝PC2﹣AC2＝PD2+AD2，
∴（8﹣t）2﹣52＝（4﹣t）2+32，
解得：t＝1.75s；
②当AP⊥BC时，如图2，
∵AB＝AC，
∴PB＝PC＝BC＝4（cm），
∴t＝4s，
综上所述，当P运动1.75s或4s秒时，△ACP是直角三角形，
故答案为：1.75或4．
【点评】此题考查了等腰三角形的性质和勾股定理的运用，此题难度适中，解题的关键是分类讨论思想、方程思想与数形结合思想的应用．
三、解答题（8题，共75分）
16．（9分）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
【分析】首先把两条不等式的解集分别解出来，再根据大大取大，小小取小，比大的小比小的大取中间，比大的大比小的小无解的原则，把不等式的解集用一条式子表示出来．
【解答】解：
由①式得x≥﹣1
由②得x≤3
所以﹣1≤x≤3．
【点评】本题考查不等式组的解法和在数轴上的表示法，如果是表示大于或小于号的点要用空心，如果是表示大于等于或小于等于号的点用实心．
17．（8分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别是A（2，4）、B（1，2）、C（5，3）．
（1）作出△ABC关于点O对称的图形△A1B1C1；
（2）以点B为旋转中心，将△ABC顺时针旋转90°，得到△A2B2C2，在坐标系中画出△A2B2C2．
【分析】（1）分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可．
（2）分别作出A，B，C的对应点A2，B2，C2即可．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求作．
（2）如图，△A2B2C2即为所求作．
【点评】本题考查作图﹣旋转变换，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
18．（9分）阅读材料：已知△ABC中，AD平分∠BAC，AD是△ABC的中线，求证：AB＝AC．
小明根据已知条件发现若AD平分∠BAC可得∠BAD＝∠CAD，又AD是△ABC的中线，可得BD＝CD，加上公共边的条件AD＝AD，有两条边和一个角对应相等，就下结论得到△ABD和△ACD是全等的，从而得到结论∠B＝∠C，可证出AB＝AC成立．
小芳的方法是用角平分线的性质得到DE＝DF，再用中线分三角形的面积为相等两部分，再用等面积的方法可以得到结论．
请你回答小明和小芳的证明思路谁正确的？请任选择一个方法进行完整的证明．（可以与小明和小芳的方法不同）
【分析】对小明和小芳的证明思路分别分别进行判断即可．
【解答】解：∵∠BAD＝∠CAD，BD＝CD，AD＝AD，不能证明△ABD和△ACD全等，
∴小明的证明思路不正确，
小芳的证明思路正确，理由如下：
过点D作DE⊥AB于点E，作DF⊥AC于点F，如图所示：
∵AD是∠BAC的角平分线，
∴DE＝DF，
∵AD是△ABC的中线，
∴S△ABD＝S△ACD，
∴AB×DE＝AC×DF，
∴AB＝AC．
【点评】本题考查了全等三角形的判定、角平分线的性质以及三角形面积等知识；熟练掌握全等三角形的判定和角平分线的性质是解题的关键．
19．（9分）为了节能减排，我区某校准备购买某种品牌的节能灯，已知4只A型节能灯和5只B型节能灯共需55元，2只A型节能灯和1只B型节能灯共需17元．
（1）求1只A型节能灯和1只B型节能灯的售价各是多少元？
（2）学校准备购买这两种型号的节能灯共300只，要求A型节能灯的数量不超过B型节能灯的数量的2倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．
【分析】（1）设1只A型节能灯的售价是x元，1只B型节能灯的售价是y元，根据题意可以列出相应的二元一次方程组，从而可以解答本题；
（2）根据题意可以得到费用与购买A型号节能灯的关系式，然后根据一次函数的性质即可解答本题．
【解答】解：（1）设1只A型节能灯的售价是x元，1只B型节能灯的售价是y元，
根据题意得：，
解得，
答：1只A型节能灯的售价是5元，1只B型节能灯的售价是7元；
（2）设购买A型号的节能灯a只，则购买B型号的节能灯（300﹣a）只，费用为w元，
w＝5a+7（300﹣a）＝﹣2a+2100，
∵a≤2（300﹣a），
∴a≤200，
∴当a＝200时，w取得最小值，此时w＝1700，300﹣a＝100，
答：当购买A型号节能灯200只，B型号节能灯100只时最省钱．
【点评】本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和不等式的性质解答．
20．（9分）教科书中这样写道：“我们把多项式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等．
例如：分解因式x2+2x﹣3＝（x2+2x+1）﹣4＝（x+1）2﹣4＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1）；求代数式2x2+4x﹣6的最小值．
2x2+4x﹣6＝2（x2+2x+1）﹣2﹣6＝2（x+1）2﹣8．可知当x＝﹣1时，2x2+4x﹣6有最小值，最小值是﹣8，根据阅读材料用配方法解决下列问题：
（1）分解因式：x2+4x﹣5＝ （x+5）（x﹣1） ；
（2）当x为何值时，多项式﹣2x2﹣4x+3有最大值，并求出这个最大值．
【分析】（1）将多项式加4再减4，利用配方法可得；
（2）将多项式配方后可得结论．
【解答】解：（1）原式＝x2+4x+4﹣4﹣5＝（x+2）2﹣9＝（x+2+3）（x+2﹣3）＝（x+5）（x﹣1）；
（2）﹣2x2﹣4x+3＝﹣2（x2+2x）+3＝﹣2（x2+2x+1）+2+3＝﹣2（x+1）2+5，
∵﹣2（x+1）2≤0，
∴当x＝﹣1时，多项式﹣2x2﹣4x+3有最大值5．
【点评】本题主要考查了配方法的应用，非负数的性质，将多项式配方，再利用非负数的性质解答是解题的关键．
21．（9分）4月23日是“世界读书日”，甲、乙两书店在这一天举行了购书优惠活动：
甲书店：所有书籍按标价8折出售；
乙书店：一次购书标价总额不超过100元的按原价计费，超过100元的部分打6折．
设小红同学当天购书标价总额为x元，去甲书店付y甲元，去乙书店购书应付y乙元，其函数图象如图所示．
（1）求y甲、y乙与x的关系式；
（2）两图象交于点A，请求出A点坐标，并说明点A的实际意义；
（3）请根据函数图象，直接写出小红选择去哪个书店购书更合算．
【分析】（1）根据题意，可以分别写出甲、乙两家书店y与x的函数关系式；
（2）根据（1）的结论解答即可；
（3）结合图象解答即可．
【解答】解：（1）由题意可得，
y甲＝0.8x；
乙书店：当0≤x≤100时，y乙与x的函数关系式为y乙＝x，当x＞100时，y乙＝100+（x﹣100）×0.6＝0.6x+40，
由上可得，y乙与x的函数关系式为y乙＝；
（2），
解得，
∴A（200，160），
点A的实际意义是当买的书标价为200元时，甲乙书店所需费用相同，都是160元；
（3）由点A的意义，结合图象可知，
当x＜200时，选择甲书店更省钱；
当x＝200，甲乙书店所需费用相同；
当x＞200，选择乙书店更省钱．
【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．
22．（11分）问题探究：小江同学根据学习函数的经验，对函数y＝﹣2|x|+5的图象和性质进行了探究．下面是小刚的探究过程，请你解决相关问题：
（Ⅰ）在函数y＝﹣2|x|+5中，自变量x可以是任意实数；
（Ⅱ）如表y与x的几组对应值：
（Ⅲ）如图，在平面直角坐标系中，描出以表中各对对应值为坐标的点，
并根据描出的点，画出该函数的图象；
（1）若A（m，n），B（6，n）为该函数图象上不同的两点，则m＝ ﹣6 ；
（2）观察函数y＝﹣2|x|+5的图象，写出该图象的两条性质 图象关于y轴对称；函数最大值为5； ．
（3）直接写出，当0＜﹣2|x|+5≤3时，自变量x的取值范围是 ﹣＜x≤﹣1或1≤x＜ ．
【分析】（Ⅲ）根据题意画出函数图象；
（1）当x＝6时，根据函数解析式可求得n，将y＝﹣7代入函数解析式可求得m；
（2）根据图象特征即可写出图象的两条性质；
（3）根据题意列不等式组即可求得．
【解答】解：（Ⅲ）在平面直角坐标系中，描点、连线，画出函数图象如图所示：
（1）将x＝6代入函数解析式得n＝﹣2×|6|+5＝﹣7，
将y＝﹣7代入函数解析式的：﹣7＝﹣2|x|+5，
解得：x＝±6，
∴m＝﹣6，
故答案为：﹣6；
（2）由图知，函数y＝﹣2|x|+5的图象关于y轴对称，且函数最大值为5．
故答案为：图象关于y轴对称；函数最大值为5；
（3）原不等式变形为解得，
故自变量x的取值范围是﹣＜x≤﹣1或1≤x＜．
【点评】本题考查了一次函数的图象和性质，一次函数与一元一次不等式，数形结合是解题的关键．
23．（11分）（一）发现探究
在△ABC中AB＝AC，点P在平面内，连接AP并将线段AP绕点A顺时针方向旋转与∠BAC相等的角度，得到线段AQ，连接BQ．
【发现问题】如图1，如果点P是BC边上任意一点，则线段BQ和线段PC的数量关系是 BQ＝PC ；
【探究猜想】如图2，如果点P为平面内任意一点．前面发现的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．请仅以图2所示的位置关系加以证明（或说明）；
（二）拓展应用
【拓展应用】如图3，在△ABC中，AC＝2，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，P是线段BC上的任意一点连接AP，将线段AP绕点A顺时针方向旋转60°，得到线段AQ，连接CQ，请直接写出线段CQ长度的最小值．
【分析】【发现问题】先判断出∠BAQ＝∠CAP，进而用SAS判断出△BAQ≌△CAP，即可得出结论；
【探究猜想】同（1）证明△BAQ≌△CAP（SAS）即可得出结论；
【拓展应用】在AB上取一点E，使AE＝AC＝2，连接PE，过点E作EF⊥BC于F，由旋转的性质得出AQ＝AP，∠PAQ＝60°，证明△CAQ≌△EAP（SAS），由全等三角形的性质得出CQ＝EP，当EF⊥BC（点P和点F重合）时，EP最小，由直角三角形的性质即可得出结论．
【解答】解：【发现问题】由旋转知，AQ＝AP，
∵∠PAQ＝∠BAC，
∴∠PAQ﹣∠BAP＝∠BAC﹣∠BAP，
∴∠BAQ＝∠CAP，
∵AB＝AC，
∴△BAQ≌△CAP（SAS），
∴BQ＝CP，
故答案为：BQ＝PC；
【探究猜想】结论：BQ＝PC仍然成立，
理由：由旋转知，AQ＝AP，
∵∠PAQ＝∠BAC，
∴∠PAQ﹣∠BAP＝∠BAC﹣∠BAP，
∴∠BAQ＝∠CAP，
∵AB＝AC，
∴△BAQ≌△CAP（SAS），
∴BQ＝CP；
【拓展应用】如图3，
在AB上取一点E，使AE＝AC＝2，连接PE，过点E作EF⊥BC于F，
由旋转知，AQ＝AP，∠PAQ＝60°，
∵∠ABC＝30°，
∴∠EAC＝60°，
∴∠PAQ＝∠EAC，
∴∠CAQ＝∠EAP，
∴△CAQ≌△EAP（SAS），
∴CQ＝EP，
要使CQ最小，则有EP最小，而点E是定点，点P是AB上的动点，
∴当EF⊥BC（点P和点F重合）时，EP最小，
即：点P与点F重合，CQ最小，最小值为EP，
在Rt△ACB中，∠ABC＝30°，AC＝2，
∴AB＝4，
∵AE＝AC＝2，
∴BE＝AB﹣AE＝2，
在Rt△BFE中，∠EBF＝30°，BE＝2，
∴EF＝BE＝1，
故线段CQ长度最小值是1．
【点评】此题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，找出点P和点F重合时，EQ最小，最小值为EF的长度是解本题的关键．
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