2021-2022学年河南省郑州四中八年级（下）期中数学试卷(1)

这是一份2021-2022学年河南省郑州四中八年级（下）期中数学试卷(1)，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）下列关于防范“新冠肺炎”的标志中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．戴口罩讲卫生B．勤洗手勤通风
C．有症状早就医D．少出门少聚集
2．（3分）已知x＞y，下列变形正确的是（ ）
A．x﹣3＜y﹣3B．﹣x＜﹣yC．2x+1＜2y+1D．
3．（3分）下列各式从左到右是分解因式的是（ ）
A．10x3y4＝2xy•5x2y3B．x2+3x﹣5＝（x﹣1）（x+4）﹣1
C．（a﹣b）（a+b）＝a2﹣b2D．4a2﹣4ab+b2＝（b﹣2a）2
4．（3分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．
C．D．
5．（3分）用反证法证明命题“钝角三角形中必有一个内角小于45°”时，首先应该假设这个三角形中（ ）
A．有一个内角小于45°
B．每一个内角都小于45°
C．有一个内角大于等于45°
D．每一个内角都大于等于45°
6．（3分）下列命题是真命题的是（ ）
A．有一个角为60°的三角形是等边三角形
B．底边相等的两个等腰三角形全等
C．有一个角是40°，腰相等的两个等腰三角形全等
D．两直线平行，内错角相等的逆命题是真命题
7．（3分）下列约分计算结果正确的是（ ）
A．B．
C．D．
8．（3分）若以A（﹣0.5，0）、B（2，0）、C（0，1）三点为顶点要画平行四边形，则第四个顶点不可能在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
9．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于点D，则下列说法中正确的个数是（ ）
①AD是∠BAC的平分线；②∠ADC＝60°；③点D在AB的中垂线上；④S△DAC：S△ABC＝1：3．
A．1B．2C．3D．4
10．（3分）如图，边长为a的等边△ABC中，BF是AC上中线且BF＝b，点D在BF上，连接AD，在AD的右侧作等边△ADE，连接EF，则△AEF周长的最小值是（ ）
A．B．C．a+bD．a
二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分）
11．（3分）分解因式4x2y﹣9y＝ ．
12．（3分）如图，平行四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，OE⊥BD交AD、BC于E、F，若△ABE的周长为7，则四边形ABCD的周长是 ．
13．（3分）若不等式组无解，则实数a的取值范围是 ．
14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，3），△OAB沿x轴向右平移后得到△O′A′B′，点A的对应点A′在直线y＝x上，则点B与其对应点B′间的距离为 ．
15．（3分）如图，正方形ABCD的边长是8，点E在边AB上，AE＝，点F是边BC上不与点B，C重合的一个动点，把△EBF沿EF折叠，点B落在B′处．若△CDB′恰为等腰三角形，则DB′的长为 ．
三、解答题（共7小题，满分55分）
16．（7分）下面是小明同学在作业中计算a﹣+2的过程，请仔细阅读后解答下列问题：
（1）小明的作业是从第 步开始出现错误的，错误的原因是 ；
（2）已知a2+a﹣2＝0，求a﹣+2的值．
17．（7分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°．
（1）用尺规在边BC上求作一点P，使PA＝PB（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）连接AP，当∠B为 度时，AP平分∠BAC；
（3）在（2）的条件下，若AC＝4，求BC的长．
18．（6分）在如图①所示的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，a，b，c均为顶点都在格点上的三角形（每个小方格的顶点叫做格点）．
（1）在图①中，a经过一次 变换（填“平移”“旋转”或“轴对称”）可以得到b；
（2）在图①中，c是可以由b经过一次旋转变换得到的，其旋转中心是点 （填“A”“B”或“C”）；
（3）在图②中画出a绕点A顺时针旋转90°后的d．
19．（7分）共享电动车是一种新理念下的交通工具：主要面向3～10km的出行市场，现有A、B两种品牌的共享电动车，收费与骑行时间之间的函数关系如图所示，其中A品牌收费方式对应y1，B品牌的收费方式对应y2．
（1）B品牌10分钟后，每分钟收费 元；
（2）写出A品牌的函数关系式为 ；
（3）如果小明每天早上需要骑行A品牌或B品牌的共享电动车去工厂上班，已知两种品牌共享电动车的平均行驶速度均为20km/h，小明家到工厂的距离为6km，那么小明选择哪个品牌的共享电动车更省钱呢？
（4）直接写出两种收费相差1.4元时x的值是 ．
20．（7分）已知：如图，在▱ABCD中，AB＝2AD，M为AB的中点，连接DM，MC．求证：DM⊥MC．
21．（10分）为了丰富我校学生的课外活动，学校在开学初购进了A、B两种品牌的足球，购买A品牌足球花费了2500元，购买B品牌足球花费了2000元，且购买A品牌足球数量是购买B品牌足球数量的2倍．已知购买一个B品牌足球比购买一个A品牌足球多花30元．
（1）求购买一个A品牌、一个B品牌的足球各需多少元？
（2）初八（1）班同学为了训练更加方便，决定集体购买A、B两种品牌足球共50个，恰逢商店足球按第一次购买时售价的9折出售，如果八（1）班此次购买A，B两种品牌足球用不超过3260元，那么八（1）班此次最多可购买多少个B品牌足球？
（3）若商店销售A、B两种品牌足球进价分别为40元、65元，在（2）的条件下，商店销售完这50个A、B两种品牌的足球时，商店的最大利润是多少？并写出利润最大时的采购方案．
22．（11分）在△OAB中，OA＝OB，∠AOB＝n°，C为平面内一点，连接OC，将OC绕点O逆时针旋转n°得到线段OD，连接AC、BD交于点M．
（1）如图1，若n＝35，填空：
①AC与BD的数量关系为 ；
②∠AMB的度数为 ；
（2）如图2，若n＝90：
①判断AC与BD之间存在怎样的数量关系？并说明理由；
②求∠AMB的度数；
（3）在（2）的条件下，当∠CAB＝30°，且点C与点M重合时，请直接写出OD与OA之间存在的数量关系．
2021-2022学年河南省郑州四中八年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（3分）下列关于防范“新冠肺炎”的标志中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．戴口罩讲卫生B．勤洗手勤通风
C．有症状早就医D．少出门少聚集
【分析】直接利用轴对称图形和中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C、既是中心对称图形也是轴对称图形，故此选项符合题意；
D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
故选：C．
【点评】本题考查中心对称图形和轴对称图形的知识，关键是掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180°后与原图重合．
2．（3分）已知x＞y，下列变形正确的是（ ）
A．x﹣3＜y﹣3B．﹣x＜﹣yC．2x+1＜2y+1D．
【分析】根据不等式的性质逐个判断即可．
【解答】解：A．∵x＞y，
∴x﹣3＞y﹣3，故本选项不符合题意；
B．∵x＞y，
∴﹣x＜﹣y，故本选项符合题意；
C．∵x＞y，
∴2x＞2y，
∴2x+1＞2y+1，故本选项不符合题意；
D．∵x＞y，
∴＞，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了不等式的性质，能灵活运用不等式的性质进行变形是解此题的关键，注意：①不等式的性质1：不等式的两边都加或减同一个数（或式子），不等号的方向不变；②不等式的性质2：不等式的两边都乘或除以同一个正数，不等号的方向不变；③不等式的性质3：不等式的两边都乘或除以同一个负数，不等号的方向改变．
3．（3分）下列各式从左到右是分解因式的是（ ）
A．10x3y4＝2xy•5x2y3B．x2+3x﹣5＝（x﹣1）（x+4）﹣1
C．（a﹣b）（a+b）＝a2﹣b2D．4a2﹣4ab+b2＝（b﹣2a）2
【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案．
【解答】解：A、是整式的乘法，故A不符合题意；
B、没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故B不符合题意；
C、是整式的乘法，故C不符合题意；
D、把一个多项式转化成几个整式积的形式，故D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了因式分解的意义，利用因式分解的意义是解题关键．
4．（3分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分，然后把不等式的解集表示在数轴上即可
【解答】解：，
解得，
即：﹣1＜x＜3，
在数轴上表示不等式组的解集：．
故选：A．
【点评】把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．
5．（3分）用反证法证明命题“钝角三角形中必有一个内角小于45°”时，首先应该假设这个三角形中（ ）
A．有一个内角小于45°
B．每一个内角都小于45°
C．有一个内角大于等于45°
D．每一个内角都大于等于45°
【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立．
【解答】解：用反证法证明“钝角三角形中必有一个内角小于45°”时，
应先假设这个三角形中每一个内角都不小于45°，即每一个内角都大于或等于45°．
故选：D．
【点评】此题考查了反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
6．（3分）下列命题是真命题的是（ ）
A．有一个角为60°的三角形是等边三角形
B．底边相等的两个等腰三角形全等
C．有一个角是40°，腰相等的两个等腰三角形全等
D．两直线平行，内错角相等的逆命题是真命题
【分析】利用等边三角形的判定、全等三角形的判定及平行线的性质及判定分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：A、有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形，故原命题错误，是假命题；
B、底边相等的两个等腰三角形的对应角不一定相等，故原命题错误，是假命题；
C、有一个角是40°，腰相等的两个等腰三角形不一定全等，因为这个40°的角是底角还是顶角不确定，故原命题错误，是假命题；
D、两直线平行，内错角相等的逆命题是真命题，正确，是真命题，
故选：D．
【点评】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解等边三角形的判定、全等三角形的判定及平行线的性质及判定，难度不大．
7．（3分）下列约分计算结果正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】直接利用分式的性质分别化简得出答案．
【解答】解：A、该分式是最简分式，无法约分，故本选项不符合题意．
B、该分式是最简分式，无法约分，故本选项不符合题意．
C、原式＝﹣＝﹣1，故本选项符合题意．
D、原式＝a6﹣2＝a4，故本选项不符合题意．
故选：C．
【点评】此题主要考查了约分，由约分的概念可知，要首先将分子、分母转化为乘积的形式，再找出分子、分母的最大公因式并约去，注意不要忽视数字系数的约分．
8．（3分）若以A（﹣0.5，0）、B（2，0）、C（0，1）三点为顶点要画平行四边形，则第四个顶点不可能在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【分析】令点A为（﹣0.5，0），点B（2，0），点C（0，1），①以BC为对角线作平行四边形，②以AC为对角线作平行四边形，③以AB为对角线作平行四边形，从而得出点D的三个可能的位置，由此可判断出答案．
【解答】解：根据题意画出图形，如图所示：
分三种情况考虑：①以CB为对角线作平行四边形ABD1C，此时第四个顶点D1落在第一象限；
②以AC为对角线作平行四边形ABCD2，此时第四个顶点D2落在第二象限；
③以AB为对角线作平行四边形ACBD3，此时第四个顶点D3落在第四象限，
则第四个顶点不可能落在第三象限．
故选：C．
【点评】本题考查了平行四边形的性质及坐标的性质，利用了数形结合的数学思想，学生做题时注意应以每条边为对角线分别作平行四边形，不要遗漏．
9．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于点D，则下列说法中正确的个数是（ ）
①AD是∠BAC的平分线；②∠ADC＝60°；③点D在AB的中垂线上；④S△DAC：S△ABC＝1：3．
A．1B．2C．3D．4
【分析】①根据作图的过程可以判定AD是∠BAC的角平分线；
②利用角平分线的定义可以推知∠CAD＝30°，则由直角三角形的性质来求∠ADC的度数；
③利用等角对等边可以证得△ADB的等腰三角形，由线段的垂直平分线的性质可以证明点D在AB的中垂线上；
④利用30度角所对的直角边是斜边的一半、三角形的面积计算公式来求两个三角形的面积之比．
【解答】解：①根据作图的过程可知，AD是∠BAC的平分线．
故①正确；
②如图，∵在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，
∴∠CAB＝60°．
又∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠1＝∠2＝∠CAB＝30°，
∴∠3＝90°﹣∠2＝60°，即∠ADC＝60°．
故②正确；
③∵∠1＝∠B＝30°，
∴AD＝BD，
∴点D在AB的中垂线上．
故③正确；
④∵如图，在直角△ACD中，∠2＝30°，
∴CD＝AD，
∴BC＝CD+BD＝AD+AD＝AD，S△DAC＝AC•CD＝AC•AD．
∴S△ABC＝AC•BC＝AC•AD＝AC•AD，
∴S△DAC：S△ABC＝AC•AD：AC•AD＝1：3．
故④正确．
综上所述，正确的结论是：①②③④，共有4个．
故选：D．
【点评】本题考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的性质以及作图﹣基本作图．解题时，需要熟悉等腰三角形的判定与性质．
10．（3分）如图，边长为a的等边△ABC中，BF是AC上中线且BF＝b，点D在BF上，连接AD，在AD的右侧作等边△ADE，连接EF，则△AEF周长的最小值是（ ）
A．B．C．a+bD．a
【分析】首先证明点E在射线CE上运动（∠ACE＝30°），作点A关于直线CE的对称点M，连接FM交CE 于E′，此时AE′+FE′的值最小．
【解答】解：如图，∵△ABC，△ADE都是等边三角形，
∴AB＝AC＝a，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝∠ABC＝60°，
∴∠BAD＝∠CAE，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠ABD＝∠ACE，
∵AF＝CF＝a，BF＝b，
∴∠ABD＝∠CBD＝∠ACE＝30°，BF⊥AC，
∴点E在射线CE上运动（∠ACE＝30°），
作点A关于直线CE的对称点M，连接FM交CE 于E′，此时AE′+FE′的值最小，
∵CA＝CM，∠ACM＝60°，
∴△ACM是等边三角形，
∴AM＝AC，
∵BF⊥AC，
∴FM＝BF＝b，
∴△AEF周长的最小值＝AF+FE′+AE′＝AF+FM＝a+b，
故选：B．
【点评】本题考查轴对称最短问题、等边三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是证明点E在射线CE上运动（∠ACE＝30°），本题难度比较大，属于中考填空题中的压轴题．
二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分）
11．（3分）分解因式4x2y﹣9y＝ y（2x+3）（2x﹣3） ．
【分析】先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可解答．
【解答】解：4x2y﹣9y
＝y（4x2﹣9）
＝y（2x+3）（2x﹣3），
故答案为：y（2x+3）（2x﹣3）．
【点评】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．
12．（3分）如图，平行四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，OE⊥BD交AD、BC于E、F，若△ABE的周长为7，则四边形ABCD的周长是 14 ．
【分析】根据OB＝OD，又由OE⊥BD，可得BE＝DE，继而可求得△ABE的周长为AB+AD＝7，根据三角形的周长求得平行四边形的周长即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD，AB＝CD，AD＝BC，
∵OE⊥BD，
∴BE＝DE，
∵△ABE的周长为7，
∴AB+AE+BE＝AB+AE+DE＝AB+AD＝7，
∴平行四边形ABCD的周长是2（AB+AD）＝14，
故答案为：14．
【点评】此题考查了平行四边形的性质以及线段垂直平分线的性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．
13．（3分）若不等式组无解，则实数a的取值范围是 a≤﹣1 ．
【分析】先把a当作已知条件求出不等式的解集，再根据不等式组无解即可得出a的取值范围．
【解答】解：，由①得，x≥﹣a，由②得，x＜1，
∵不等式组无解，
∴﹣a≥1，解得a≤﹣1．
故答案为：a≤﹣1．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”是解答此题的关键．
14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，3），△OAB沿x轴向右平移后得到△O′A′B′，点A的对应点A′在直线y＝x上，则点B与其对应点B′间的距离为 4 ．
【分析】根据平移的性质知BB′＝AA′．由一次函数图象上点的坐标特征可以求得点A′的坐标，所以根据两点间的距离公式可以求得线段AA′的长度，即BB′的长度．
【解答】解：如图，连接AA′、BB′．
∵点A的坐标为（0，3），△OAB沿x轴向右平移后得到△O′A′B′，
∴点A′的纵坐标是3．
又∵点A的对应点在直线y＝x上一点，
∴3＝x，解得x＝4．
∴点A′的坐标是（4，3），
∴AA′＝4．
∴根据平移的性质知BB′＝AA′＝4．
故答案为4．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、坐标与图形变化﹣﹣平移．根据平移的性质得到BB′＝AA′是解题的关键．
15．（3分）如图，正方形ABCD的边长是8，点E在边AB上，AE＝，点F是边BC上不与点B，C重合的一个动点，把△EBF沿EF折叠，点B落在B′处．若△CDB′恰为等腰三角形，则DB′的长为 8或2 ．
【分析】根据翻折的性质，可得B′E的长，根据勾股定理，可得CE的长，根据等腰三角形的判定，可得答案．
【解答】解：（i）如图1所示：当B′D＝B′C时，过B′点作GH∥AD，则∠B′GE＝90°，
当B′C＝B′D时，AG＝DH＝DC＝4，
由AE＝，AB＝8，得BE＝，
由翻折的性质，得B′E＝BE＝，
∴EG＝AG﹣AE＝4﹣，
∴B′G＝，
∴B′H＝GH﹣B′G＝8﹣6＝2，
∴DB′＝；
（ii）如图2所示：当DB′＝CD时，则DB′＝8；
（iii）当CB′＝CD时，
∵EB＝EB′，CB＝CB′，
∴点E、C在BB′的垂直平分线上，
∴EC垂直平分BB′，
由折叠可知点F与点C重合，不符合题意，舍去．
综上所述，DB′的长为8或2．
故答案为：8或2．
【点评】本题考查了翻折变换、勾股定理、等腰三角形的判定，分类讨论是解题的关键．
三、解答题（共7小题，满分55分）
16．（7分）下面是小明同学在作业中计算a﹣+2的过程，请仔细阅读后解答下列问题：
（1）小明的作业是从第 二 步开始出现错误的，错误的原因是 计算时不应去分母 ；
（2）已知a2+a﹣2＝0，求a﹣+2的值．
【分析】（1）根据分式的混合运算法则判断；
（2）把a2+a﹣2＝0变形为a2＝2﹣a，根据分式的混合运算法则
【解答】解：（1）小明的作业是从第二步开始出现错误的，错误的原因是计算时不应去分母，
故答案为：二；计算时不应去分母；
（2）∵a2+a﹣2＝0，
∴a2＝2﹣a，
a﹣+2
＝a+2﹣
＝﹣
＝
＝﹣，
当a2＝2﹣a时，原式＝﹣＝﹣1．
【点评】本题考查的是分式的混合运算，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
17．（7分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°．
（1）用尺规在边BC上求作一点P，使PA＝PB（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）连接AP，当∠B为 30 度时，AP平分∠BAC；
（3）在（2）的条件下，若AC＝4，求BC的长．
【分析】（1）作AB的垂直平分线交AB于P；
（2）由PA＝PB，∠B＝∠PAB，若AP平分∠BAC，所以∠B＝∠PAB＝∠PAC＝30°，
（3）先利用含30度的直角三角形三边的关系得到AB＝4，然后利用勾股定理计算BC的长．
【解答】解：（1）如图，点P点为所作；
（2）∵PA＝PB，
∴∠B＝∠PAB，
当AP平分∠BAC，则∠PAB＝∠PAC，
∴∠B＝∠PAB＝∠PAC，
∵∠C＝90°，
∴∠B＝∠PAB＝∠PAC＝30°，
即当∠B为30度时，AP平分∠BAC；
故答案为30；
（3）在Rt△ABC中，∵∠B＝30°，
∴AB＝2AC＝8，
∴BC＝＝＝4．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
18．（6分）在如图①所示的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，a，b，c均为顶点都在格点上的三角形（每个小方格的顶点叫做格点）．
（1）在图①中，a经过一次 平移 变换（填“平移”“旋转”或“轴对称”）可以得到b；
（2）在图①中，c是可以由b经过一次旋转变换得到的，其旋转中心是点 B （填“A”“B”或“C”）；
（3）在图②中画出a绕点A顺时针旋转90°后的d．
【分析】（1）根据平移变换的性质判断即可；
（2）根据旋转变换的性质判断即可；
（3）利用旋转变换的性质画出图形即可．
【解答】解：（1）在图①中，a经过一次平移变换可以得到b；
故答案为L平移；
（2）在图①中，c是可以由b经过一次旋转变换得到的，其旋转中心是B点．
故答案为：B．
（3）在图②中，图形d即为所求．
【点评】本题考查作图﹣旋转变换，平移变换，轴对称变换等知识，解题关键是掌握旋转变换，平移变换，轴对称变换的性质，属于中考常考题型．
19．（7分）共享电动车是一种新理念下的交通工具：主要面向3～10km的出行市场，现有A、B两种品牌的共享电动车，收费与骑行时间之间的函数关系如图所示，其中A品牌收费方式对应y1，B品牌的收费方式对应y2．
（1）B品牌10分钟后，每分钟收费 0.1 元；
（2）写出A品牌的函数关系式为 y＝0.2x ；
（3）如果小明每天早上需要骑行A品牌或B品牌的共享电动车去工厂上班，已知两种品牌共享电动车的平均行驶速度均为20km/h，小明家到工厂的距离为6km，那么小明选择哪个品牌的共享电动车更省钱呢？
（4）直接写出两种收费相差1.4元时x的值是 8或34 ．
【分析】（1）根据函数图象中的数据，可以计算出B品牌10分钟后，每分钟收费的钱数；
（2）根据函数图象中的数据，可以计算出A品牌的函数关系式；
（3）根据题目中的数据，先计算出小明从家到工厂用的时间，然后再根据图象中的数据，即可判断小明选择哪个品牌的共享电动车更省钱；
（4）根据题意和图象可知分两种情况，然后列出相应的方程求解即可．
【解答】解：（1）由图象可得，
B品牌10分钟后，每分钟收费：（4﹣3）÷（20﹣10）＝0.1（元），
故答案为：0.1；
（2）设A品牌的函数关系式为y＝kx，
∵点（20，4）在该函数图象上，
∴4＝20k，
解得k＝0.2，
即A品牌的函数关系式为y＝0.2x，
故答案为：y＝0.2x；
（3）小明从家到工厂用的时间为：6÷20×60＝18（分钟），
由图象可得，当x＜20时，y1＜y2，
∴小明选择A品牌的共享电动车更省钱；
（4）由题意可得，
3﹣1.4＝0.2x或0.2x﹣1.4＝4+（x﹣20）×0.1，
解得x＝8或x＝34，
故答案为：8或34．
【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答解答．
20．（7分）已知：如图，在▱ABCD中，AB＝2AD，M为AB的中点，连接DM，MC．求证：DM⊥MC．
【分析】由在▱ABCD中，AB＝2AD，M为AB的中点，易证得DM，CM分别平分∠ADC与∠BCD，即可求得∠CDM+∠DCM＝90°，即可证得结论．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AB∥CD，
∴∠CDM＝∠AMD，∠DCM＝∠BMC，
∵AB＝2AD，M为AB的中点，
∴AD＝AM＝BM＝BC，
∴∠ADM＝∠AMD，∠BCM＝∠BMC，
∴∠ADM＝∠CDM＝∠ADC，∠DCM＝∠BCM＝∠BCD，
∵AD∥BC，
∴∠ADC+∠BCD＝180°，
∴∠CDM+∠DCM＝90°，
∴∠DMC＝90°，
即DM⊥MC．
【点评】此题考查了平行四边形的性质以及等腰三角形的性质．注意证得DM，CM分别平分∠ADC与∠BCD是关键．
21．（10分）为了丰富我校学生的课外活动，学校在开学初购进了A、B两种品牌的足球，购买A品牌足球花费了2500元，购买B品牌足球花费了2000元，且购买A品牌足球数量是购买B品牌足球数量的2倍．已知购买一个B品牌足球比购买一个A品牌足球多花30元．
（1）求购买一个A品牌、一个B品牌的足球各需多少元？
（2）初八（1）班同学为了训练更加方便，决定集体购买A、B两种品牌足球共50个，恰逢商店足球按第一次购买时售价的9折出售，如果八（1）班此次购买A，B两种品牌足球用不超过3260元，那么八（1）班此次最多可购买多少个B品牌足球？
（3）若商店销售A、B两种品牌足球进价分别为40元、65元，在（2）的条件下，商店销售完这50个A、B两种品牌的足球时，商店的最大利润是多少？并写出利润最大时的采购方案．
【分析】（1）设购买一个A品牌足球需要x元，则购买一个B品牌足球需要（x+30）元，根据数量＝总价÷单价结合2500元购买的A品牌足球数量是2000元购买的B品牌足球数量的2倍，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设购买m个B品牌足球，则购买（50﹣m）个A品牌足球，根据总价＝单价×数量结合总价不超过3260元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大整数值即可得出结论；
（3）设商店销售完这50个A、B两种品牌的足球时，商店的利润是n元，根据题意得到一次函数解析式，根据一次函数的性质即可得到结论．
【解答】解：（1）设购买一个A品牌足球需要x元，则购买一个B品牌足球需要（x+30）元，
依题意，得：，
解得：x＝50，
经检验，x＝50是原方程的解，且符合题意，
∴x+30＝80．
答：购买一个A品牌足球需要50元，购买一个B品牌足球需要80元．
（2）设购买m个B品牌足球，则购买（50﹣m）个A品牌足球，
依题意，得：50×0.9（50﹣m）+80×0.9m≤3260，
解得：m≤37．
∵m为整数，
∴m的最大值为37．
答：八（1）班此次最多可购买37个B品牌足球；
（3）设商店销售完这50个A、B两种品牌的足球时，商店的利润是n元，
由题意得：n＝（50×0.9﹣40）（50﹣m）+（80×0.9﹣65）m＝250+2m，
∵7＞0，
∴n随m的增大而增大，
∴m最大时，n最大，
∵m≤37，且m取整数，
∴m＝37时最大，此时n＝250+2×37＝324（元），
50﹣37＝13（个），
∴采购方案为：A种品牌的足球采购13个、B种品牌的足球采购37个．
答：A种品牌的足球采购13个、B种品牌的足球采购37个，商店的最大利润是324元．
【点评】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用等知识；根据题意设出未知数，列出方程是解题的关键．
22．（11分）在△OAB中，OA＝OB，∠AOB＝n°，C为平面内一点，连接OC，将OC绕点O逆时针旋转n°得到线段OD，连接AC、BD交于点M．
（1）如图1，若n＝35，填空：
①AC与BD的数量关系为 AC＝BD ；
②∠AMB的度数为 35° ；
（2）如图2，若n＝90：
①判断AC与BD之间存在怎样的数量关系？并说明理由；
②求∠AMB的度数；
（3）在（2）的条件下，当∠CAB＝30°，且点C与点M重合时，请直接写出OD与OA之间存在的数量关系．
【分析】（1）①如图1中，设BD交AD于J．证明△OAC≌△OBD（SAS），推出AC＝BD，继而得到结论AC＝BD；
②证明△OAC≌△OBD（SAS），推出∠CAO＝∠DBO，继而可得结论∠AMJ＝∠BOJ＝35°；
（2）①证明△COA≌△DOB，推出；
②根据全等三角形的性质可得结论．
（3）分两种情形：如图3中，当AC在AB 上方时时，如图4中，当AC在AB的下方时，利用勾股定理求解即可．
【解答】（1）解：①如图1中，设BD交AD于J．
∵OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝35°，
∴∠DOB＝∠COA，
∴△OAC≌△OBD（SAS），
∴AC＝BD，
②∵△OAC≌△OBD，
∴∠CAO＝∠DBO，
∵∠AJM＝∠BJO，
∴∠AMJ＝∠BOJ＝35°，
∴AC＝BD，∠AMB＝35°，
故答案为：AC＝BD，35°．
（2）解：①如图2中，结论：AC＝BD．
理由：∵∠AOB＝∠COD＝90°，
∴∠AOB+∠AOD＝∠COD+∠AOD，
∴∠BOD＝∠AOC，
在△BOD和△AOC中，
，
∴△BOD≌△AOC（SAS），
∴BD＝AC；
②结论∠AMB＝90°，
∵△BOD≌△AOC，
∴∠OBD＝∠OAC，
∵∠OAB+∠OBA＝90°，∠ABO＝∠ABM+∠OBD，∠MAB＝∠MAO+∠OAB，
∴∠MAB+∠MBA＝90°，
在△AMB中，∠AMB+∠ABM+∠BAM＝180°，
∴∠AMB＝180°﹣（∠ABM+∠BAM）＝90°；
（3）解：如图3所示，∠AOB＝∠COD＝90°，OA＝OB，OC＝OD，∠CAB＝30°，
∴∠OAB＝∠OBA＝∠OCD＝∠ODC＝45°，AB＝OA，CD＝OC，
由（2）得△BOD≌△AOC（SAS），
∴∠ACO＝∠BDO＝45°，BD＝AC，
∴∠ACD＝∠ACO+∠OCD＝90°，
∴∠ACB＝90°，
∴BC＝AB，
由勾股定理得，AC＝，
∴CD＝AC﹣BC＝AB，
∴，
∴OD＝OC＝OA，
如图4，同上由勾股定理得：AC＝，
∴CD＝AC+BC＝AB，
∴，
∴OD＝OC＝OA，
综上所述，OD＝OA或OD＝OA．
【点评】本题属于几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
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