2023乌鲁木齐第101中学高二下学期开学考试数学试题含答案

乌鲁木齐市第101中学 2022-2023学年

高二下学期开学考试 数学试题

（考试范围：选择性必修一全册）

总分150分 考试时间120分钟

一、单项选择题（12小题每题5分共60分）

1．已知空间向量，化简的结果为（    ）

A． B． C． D．

2．已知空间的三个不共面的单位向量，，，对于空间的任意一个向量，（    ）

A．将向量，，平移到同一起点，则它们的终点在同一个单位圆上

B．总存在实数x，y，使得

C．总存在实数x，y，z，使得

D．总存在实数x，y，z，使得

3．平面经过，且垂直于法向量为的一个平面，则平面的一个法向量是（    ）

A． B． C． D．

4．下面给出的几个命题，正确命题的个数是（    ）

①侧面是全等的长方形的直四棱柱是正四棱柱；

②若直线平面，平面平面，则平面；

③在正方体中，为的中点，则直线与所成的角为；

A．0 B．1 C．2 D．3

5．直线（不同时为0），则下列选项正确的是（    ）

A．无论取任何值，直线都存在斜率 B．当，且时，直线只与轴相交

C．当，或时，直线与两条坐标轴都相交 D．当，且，且时，直线是轴所在直线

6．已知圆方程为，将直线：绕逆时针旋转到的位置，则在整个旋转过程中，直线与圆的交点个数（    ）

A．始终为0 B．是0或1

C．是1或2 D．是0或1或2

7．已知，点P满足，直线，当点P到直线l的距离最大时，此时m的值为（    ）

A． B． C． D．

8．已知圆心均在轴上的两圆外切，半径分别为，若两圆的一条公切线的方程为，则（   ）

A． B．2 C． D．3

9．已知双曲线：，点P为曲线在第三象限一个动点，以下两个命题，则（    ）

①点P到双曲线两条渐近线的距离为，，则为定值.

②已知A、B是双曲线上关于原点对称不同于P的两个点，若PA、PB的斜率存在且分别为，，则为定值.

A．①真②真 B．①假②真

C．①真②假 D．①假②假

10．在写生课上，离身高1.5m的絮语同学不远的地面上水平放置着一个半径为0.5m的正圆，其圆心与絮语同学所站位置距离2m.若絮语同学的视平面平面，平面，，且平面于点，，则絮语同学视平面上的图形的离心率为（    ）

A． B． C． D．

11．已知椭圆：，椭圆与椭圆的离心率相等，并且椭圆的短轴端点就是椭圆的长轴端点，据此类推：对任意的且，椭圆与椭圆的离心率相等，并且椭圆的短轴端点就是椭圆的长轴端点，由此得到一个椭圆列：，，，，则椭圆的焦距等于（    ）

A． B． C． D．

12．“天问一号”是执行中国首次火星探测任务的探测器，该名称源于屈原长诗《天问》，寓意探求科学真理征途漫漫，追求科技创新永无止境．图（1）是“天问一号”探测器环绕火星的椭圆轨道示意图，火星的球心是椭圆的一个焦点．过椭圆上的点P向火星被椭圆轨道平面截得的大圆作两条切线，则就是“天问一号”在点P时对火星的观测角．图（2）所示的Q，R，S，T四个点处，对火星的观测角最大的是（    ）

A．Q B．R C．S D．T

二、填空题（共4小题，每题5分共20分）

13．设，若，则______.

14．以向量，为邻边的平行四边形对角线______（填坐标）.

15．已知圆，若过定点有且仅有一条直线被圆截得弦长为2，则可以是__________.（只需要写出其中一个值，若写出多个答案，则按第一个答案计分.）

16．已知抛物线的焦点为，圆与交于两点，其中点在第一象限，点在直线上运动，记.

①当时，有；

②当时，有；

③可能是等腰直角三角形；

其中命题中正确的有__________.

三、解答题（6题共70分，请根据答题卡题号及分值在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效。）

17．已知圆的直径，圆所在平面，，点是圆周上不同于、的一点.

(1)证明：；

(2)已知，点是棱上一点，若与平面所成角的余弦值为，且，求的值.

18．如图，在斜三棱柱中，向量，三个向量之间的夹角均为，点、分别在、上，且，，，，.

(1)将向量用向量、表示，并求；

(2)将向量用、、表示.

19．已知，，为的三个顶点，圆Q为的内切圆，点P在圆Q上运动.

(1)求圆Q的标准方程；

(2)求以，，为直径的圆的面积之和的最大值、最小值；

(3)若，，求的最大值.

20．已知过圆上一点的直线与该圆另一交点为为原点，记.

(1)当时，求的值和的方程；

(2)当时，，求的单调递增区间.

21．已知，为椭圆E：的上、下焦点，为平面内一个动点，其中.

(1)若，求面积的最大值；

(2)记射线与椭圆E交于，射线与椭圆E交于，若，探求，，之间的关系.

22．如图，椭圆、双曲线中心为坐标原点，焦点在轴上，且有相同的顶点，，的焦点为，，的焦点为，，点，，，，恰为线段的六等分点，我们把和合成为曲线，已知的长轴长为4.

(1)求曲线的方程；

(2)若为上一动点，为定点，求的最小值；

(3)若直线过点，与交于，两点，与交于，两点，点、位于同一象限，且直线，求直线的方程.

高二数学开学考试答案：

13．

【解析】，

由于，所以，

所以，

解得.

故答案为：

14．

【解析】由题意．

故答案为：．

15．1或

【解析】依题意，该直线过圆心或垂直于，圆心到直线距离为或，

，所以或.

故答案为：1或

16．①②

【解析】由圆与，联立方程，解得或（舍），当时，，

所以，

从而，

即，因为点在直线上运动，所以，

则，

①当时，点三点共线，由于，

所以，所以，

由题意知，所以，故①正确；

②当时，即，所以，

即，

解得，又，得，所以②正确；

③若是等腰直角三角形，

则或或为直角，

因为，

当时，则，得，

此时，不是等腰直角三角形，

由对称性可知当时，也不是等腰直角三角形，；

当时，因为首先是等腰三角形，由抛物线的对称性可知点在轴上，

此时，，,

,即，故不是等腰直角三角形，

综上所述，不可能是等腰直角三角形，所以③错误，

故答案为：①②.

17．(1)证明见解析

(2)或

【解析】（1）证明：平面，平面，.

点是圆周上不同于、的一点，且为圆的一条直径，.

又，、平面，平面.

又平面，.

（2）解：如图，连接，，为的中点，则，

又因为平面，以点为原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，

则、、、，

所以，，，，则，

所以，，

设平面的法向量为，则，

令，则.

设与平面所成的角为，由已知，则，

则.

整理可得，因为，解得或.

18．(1)，

(2)

【解析】（1），

因为，

所以，

所以.

（2）因为，所以为的中点，

所以.

19．(1)

(2)最大值为，最小值为

(3)

【解析】（1）因为，，，所以为直角三角形，如图：

设的内切圆的半径为，

由得，

由图可知，圆心为，所以圆.

（2）设，，

，

，

，

，

因为，所以，

所以以，，为直径的圆的面积之和的最大值、最小值分别为，.

（3）设，则，

根据对称性，只研究P点在x轴上方，即的情况，

当垂直x轴时，，，

当垂直x轴时，，，

当和都不垂直轴时，，，

，

因为为点与的斜率，

如图：

由图可知，当直线与圆相切时，取得最小值，

设直线：，即，

则，结合，得，

所以，，

因为，所以，

由于，所以当取最大值时，取最大值，取最大值，

所以.

20．(1)，的方程为或；

(2)单调递增区间为.

【解析】（1）点在圆上，

.

，

，

，

∴，

由条件得到的距离为，

不与轴垂直，

设的方程为，即，

，

解得：，或，

所以的方程为或；

（2）当时，，

由得

.

当且仅当，

即时，单调递增，

所以的单调递增区间为.

（备注：也是对的）.

21．(1)

(2)

【解析】（1）由题可知椭圆E：的上、下焦点，

又因为,所以,

则点为椭圆上一点，且，

则，于是面积的最大值为.

（2）射线的方程为，

射线的方程为，

联立

解得，①

又，则，②

将②代入①，得.

22．(1)，.

(2)的最小值为.

(3)直线l的方程为或

【解析】（1）设，，

由题意知，，，，，

，，

因此曲线，.

（2）若是上的动点，显然当为椭圆的上顶点时，最短，此时，

若是上的动点，以为圆心为半径作圆，当圆与相切时，切点为，此时最小，且，

圆，代入，整理得，当圆与曲线相切，

由，，，

，所以为上一动点，为定点，的最小值为.

（3）设直线，，，

由对称性可知，，

由，整理得，解得， ，

由，整理得，解得，，

当时，，由(1)知，，

所以，，将坐标代入得，

整理得，两边平方化简得，，

所以直线l的方程为或..