第二十七章 相似（基础卷）——2022-2023学年九年级下册数学单元卷（人教版）

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第二十七章  相似（A卷·知识通关练）

核心知识1平行线分线段成比例

1．如图，在△ABC中，AM：MD＝3，BD：DC＝2：3，则AE：EC＝（　　）

A．8：5 B．5：4 C．6：5 D．7：4

【解答】解：如图，过点D作DG∥AC交BE于点G．

∵AM：MD＝3，BD：DC＝2：3，

∴，，

∵DG∥AC，

∴，，

∴CE＝DG，AE＝3DG，

∴＝．

故选：C．

2．已知两条直线被三条平行线所截，截得线段的长度如图所示，则的值为（　　）

A． B． C． D．

【解答】解：∵两条直线被三条平行线所截，

∴＝．

故选：A．

3．已知AB、CD相交于点O，下列条件中能判断AC∥BD的是（　　）

A．AC：BD＝OD：OC B．AC：BD＝OC：OD 

C．OA：OB＝OD：OC D．OA：OD＝OC：OB

【解答】解：A、AC与BD，OD与OC不是对应线段，不能判定AC∥BD，故本选项不符合题意；

B、AC：BD＝OC：OD，能判定CD∥AB，故本选项符合题意；

C、OA与OB，OD与OC不是对应线段，不能判定CD∥AB，故本选项不符合题意；

D、OA：OD＝OC：OB不能判定CD∥AB，故本选项不符合题意．

故选：B．

4．如图，已知AB∥CD∥EF，那么下列结论正确的是（　　）

A．＝ B．＝ C．＝ D．＝

【解答】解：A．∵AB∥CD∥EF，

∴＝，故本选项符合题意；

B．∵AB∥CD∥EF，

∴＝≠，，故本选项不符合题意；

C．∵AB∥CD∥EF，

∴≠，故本选项不符合题意；

D．∵AB∥CD∥EF，

∴≠，故本选不项符合题意；

故选：A．

5．如图，AB∥CD∥EF，＝，且BC＝9，则BE的长为（　　）

A．6 B．13 C．15 D．17

【解答】解：∵AB∥CD∥EF，

∴，

∴，BC＝9，

∴，

∴CE＝6，

∴BE＝BC+CE＝15，

故选：C．

6．如图，已知直线a∥b∥c，若AB＝2，BC＝3，EF＝2.5，则DE＝（　　）

A． B． C． D．

【解答】解：∵a∥b∥c，

∴，

∵AB＝2，BC＝3，EF＝2.5，

∴，

解得DE＝．

故选：B．

7．如图，在△ABC中，点E在BC上，且BE＝3EC．D是AC的中点，AE、BD交于点F，则AF：EF的值为（　　）

A．3：2 B．4：3 C．5：3 D．5：4

【解答】解：过E点作EH∥AC交BD于H，如图，

∵EH∥CD，

∴，

∵BE＝3EC，

∴，

∵D是AC的中点，

∴AD＝CD，

∴，

∵EH∥AD，

∴＝＝．

故选：B．

核心知识2．相似三角形的性质

8．已知△ABC∽△DEF，AG和DH是它们的对应边上的高，若AG＝4，DH＝6，则△ABC与△DEF的面积比是（　　）

A．2：3 B．4：9 C．3：2 D．9：4

【解答】解：∵△ABC∽△DEF，AG和DH是它们的对应边上的高，

∴＝（）2＝（）2＝，

故选：B．

9．如图，△DEF∽△ABC，D，E，F分别是OA，OB，OC的中点，则△DEF与△ABC的相似比是（　　）

A．1：2 B．1：4 C．2：1 D．4：1

【解答】解：∵D，E，F分别是OA，OB，OC的中点，

∴DE：AB＝1：2，

∴△DEF与△ABC的相似比是1：2．

故选：A．

10．若两个相似三角形的对应边之比为3：5，则这两个相似三角形的周长之比为（　　）

A．3：5 B．9：5 C．9：25 D．6：10

【解答】解：∵两个相似三角形的对应边之比为3：5，

∴这两个相似三角形的周长之比为3：5．

故选：A．

11．已知△ABC∽△A'B'C'，如果AC＝6，A'C'＝2.4，那么△A'B'C'与△ABC的周长比为（　　）

A．3：2 B．3：4 C．2：5 D．5：2

【解答】解：∵△ABC∽△A'B'C'，

∴△A'B'C'与△ABC的周长比＝AC：A′C′＝6：2.4＝5：2．

故选：D．

12．如图，△ABC∽△A1B1C1，若，A1B1＝4，则AB的长度为（　　）

A．1 B．2 C．8 D．16

【解答】解：∵△ABC∽△A1B1C1，，

∴面积比为4：1，

∴相似比为2：1，

∵A1B1＝4，

∴AB＝2A1B1＝8，

故选：C．

13．两三角形的相似比是3：5，则其面积之比是（　　）

A．： B．3：5 C．6：10 D．9：25

【解答】解：因为相似三角形的面积比等于相似比的平方，两三角形的相似比是3：5，

∴立方三角形的面积比＝9：25．

故选：D．

14．用一个2倍放大镜照一个△ABC，下面说法中错误的是（　　）

A．△ABC放大后，各内角大小不变 

B．△ABC放大后，各边长的长度不变 

C．△ABC放大后，周长发生变化 

D．△ABC放大后，面积发生变化

【解答】解：用一个2倍放大镜照一个△ABC，△ABC放大后，各内角大小不变，面积发生变化，周长发生变化，

故A，C，D正确，不符合题意．

故选：B．

核心知识3．相似三角形的判定

15．如图，在△ABC中，P为AB上一点，在下列四个条件中，不能判定△APC和△ACB相似的条件是（　　）

A．∠ACP＝∠B B．∠APC＝∠ACB 

C．AC2＝AP•AB D．AC•CP＝AP•CB

【解答】解：当∠ACP＝∠B时，∵∠A＝∠A，

∴△ACP∽∠ABC；

当∠APC＝∠ACB时，∵∠A＝∠A，

∴△ACP∽∠ABC；

当AC2＝AP•AB时，即，

∵A＝∠A，

∴△ACP∽∠ABC；

当AB•CP＝AP•CB时，即，

∵A＝∠A，

∴不能判定△APC和△ACB相似，

故选：D．

16．下列各组条件中，一定能推得△ABC与△DEF相似的是（　　）

A．且∠B＝∠E B．且∠A＝∠E 

C．且∠A＝∠D D．且∠A＝∠E

【解答】解：选项A，∵＝，∠B＝∠E，

∴△ABC∽△FED，

故选项A符合题意．

选项B，C，D不符合题意．

故选：A．

17．已知在△ABC中，∠A＝78°，AB＝4，AC＝6，下列阴影部分的三角形与原△ABC不相似的是（　　）

A． B． 

C． D．

【解答】解：A、由有两组角对应相等的两个三角形相似，可证阴影部分的三角形与原△ABC相似，故选项A不符合题意；

B、不能证明阴影部分的三角形与原△ABC相似，故选项B符合题意；

C、由有两组角对应相等的两个三角形相似，可证阴影部分的三角形与原△ABC相似，故选项C不符合题意；

D、由两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，故选项D不符合题意；

故选：B．

18．已知，如图，在⊙O中，直径AB⊥CD，G是弧AC上一点，连接GA，GB，GC，GD，BC，GB与CD相交于点F，则下列表述不正确的是（　　）

A．∠CGB＝∠DGB B．∠CBA＝∠AGD 

C．△CGF∽△CDG D．若GD∥BC，则CF＝BF

【解答】解：∵AB⊥CD，

∴＝，＝，

∴∠CGB＝∠DGB，∠CBA＝∠AGD，故A、B正确，不合题意；

只有点C为的中点时，才有∠CGF＝∠CDG，由∠FCG＝∠GCD可得出△CGF∽△CDG，

所以C不正确，符合题意；

∵GD∥BC，

∴∠CBF＝∠BGD，

∵∠BGD＝∠BCF，

∴∠CBF＝∠BCF，

∴CF＝BF，故D正确，不合题意；

故选：C．

19．如图，点P是△ABC的AC边上一点，连接BP，添加下列条件，不能判定△ABC∽△APB的是（　　）

A．∠C＝∠ABP B．∠ABC＝∠APB C．＝ D．＝

【解答】解：A、∵∠A＝∠A，∠C＝∠ABP，

∴△ABC∽△APB，故本选项错误；

B、∵∠A＝∠A，∠ABC＝∠APB，

∴△ABC∽△APB，故本选项错误；

C、∵∠A＝∠A，，

∴△ABP∽△ACB，故本选项错误；

D、根据和∠A＝∠A不能判断△ABP∽△ACB，故本选项正确；

故选：D．

20．如图，在△ABC中，高BD、CE相交于点F．图中与△AEC一定相似的三角形有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【解答】解：∵∠A＝∠A，∠AEC＝∠ADB＝90°，

∴△AEC∽△ADB，

∴∠ACE＝∠ABD，

又∵∠AEC＝∠BEC＝90°，

∴△AEC∽△FEB，

∵∠ACE＝∠ACE，∠AEC＝∠ADB＝90°，

∴△AEC∽△FDC，

故选：C．

21．如图，在平行四边形ABCD中，E为AB边上一点，连接CE，F为CE上一点，且∠DFC＝∠B．

求证：△DCF∽△CEB．

【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴DC∥AB，

∴∠DCE＝∠BEC，

又∵∠DFC＝∠B，

∴△DCF∽△CEB．

22．如图，在△ABC中，点F，D在边AB上，E是AC边上一点，FE∥CD，AF＝3，AD＝5，AE＝4，AB＝，求证：△ADE∽△ABC．

【解答】解：∵FE∥CD，

∴＝，

∴＝，

∴AC＝，

∴＝＝＝，

又∵∠A＝∠A，

∴△ADE∽△ABC．

核心知识4．相似三角形的应用

23．图1是伸缩折叠不锈钢晾衣架的实物图，图2是它的侧面示意图，AD和CB相交于点O，点A，B之间的距离为1.2米，AB∥CD，根据图2中的数据可得点C，D之间的距离为（　　）

A．0.8米 B．0.86米 C．0.96米 D．1米

【解答】解：∵AB∥CD，

∴△AOB∽△DOC，

∴，

∴＝，

∴CD＝0.96，

答：点C，D之间的距离为0.96米，

故选：C．

24．西周数学家商高总练了用“矩”（如图1）测量物高的方法：把矩的两边放置成如图2的位置，从矩的一端A（人眼）望点E，使视线通过点C，记人站立的位置为点B，量出BG长，即可算得物高EG．令G＝x（m），EG＝y（m），若a＝30cm，b＝60cm，AB＝1.6m，则y关于x的函数表达式为（　　）

A． B． C．y＝2x+1.6 D．

【解答】解：由图2可得，

AF＝BG＝xm，EF＝EG﹣FG，FG＝AB＝1.6m，EG＝ym，

∴EF＝（y﹣1.6）m，

∵CD⊥AF，EF⊥AF，

∴CD∥EF，

∴△ADC∽△AFE，

∴，

即，

∴，

化简，得y＝x+1.6，

故选：B．

25．地质勘探人员为了估算某条河的宽度，在河对岸选定一个目标点O，再在他们所在的这一侧选取点A，B，D，使得AB⊥AO，DB⊥AB，然后找到DO和AB的交点C，如图所示，测得AC＝16m，BC＝8m，DB＝7m，则可计算出河宽AO为（　　）

A．16m B．15m C．14m D．13m

【解答】解：∵∠OCA＝∠DCB，∠A＝∠B＝90°，

∴△OCA∽△DCB．

∴＝．

∴OA＝＝＝14（m）．

即这条河的宽为14m．

故选：C．

26．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上，已知纸板的两条直角边DE＝40cm，EF＝20cm，测得边DF离地面的高度AC＝1.5m，CD＝9m，则树高AB为（　　）

A．4m B．4.5m C．5m D．6m

【解答】解：∵∠D＝∠D，∠DEF＝∠DCB，

∴△DEF∽△DBC，

∴＝，

即＝，

解得：BC＝4.5，

∵AC＝1.5m，

∴AB＝AC+BC＝1.5+4.5＝6（m），

即树高6m．

故选：D．

27．图1是装了液体的高脚杯示意图（数据如图），用去一部分液体后如图2所示，此时液面AB为（　　）

A．3cm B．3.75cm C．4cm D．4.25cm

【解答】解：如图：过O作OM⊥CD，垂足为M，过O'作O'N⊥AB，垂足为N，

∵CD∥AB，

∴△CDO∽ABO'，即相似比为，

∴＝，

∵OM＝15﹣7＝8（cm），O'N＝12﹣7＝5（cm），

∴＝，

∴AB＝3.75，

故选：B．

28．小明在测量楼高时，先测出楼房落在地面上的影长BA为16米（如图），然后在A处树立一根高3米的标杆，测得标杆的影长AC为4米，则楼高为（　　）

A．10米 B．12米 C．15米 D．22.5米

【解答】解：∵＝，

即＝，

∴楼高＝12米．

故选：B．

29．如图中国古代在利用“计里画方”（比例缩放和直角坐标网格体系）的方法制作地图时，会利用测杆、水准仪和照板来测量距离．在如图所示的测量距离AB的示意图中，记照板“内芯”的高度为EF．观测者的眼睛（图中用点C表示）与BF在同一水平线上，则下列结论正确的是（　　）

A． B． C． D．

【解答】解：∵∠ABC＝∠EFC＝90°，∠C＝∠C，

∴△ABC∽△EFC，

∴，

故选：D．