专题05 平面向量与复数——【高考三轮冲刺】2023年新高考数学考前提分冲刺（原卷版+解析版）

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平面向量与复数均是高考必考知识点,平面向量常作为客观题考查,难度可以是容易题,也可以是中等或中等以上难度题,考查热点是向量的线性运算、数量积及坐标运算,有时也会把向量与解析几何等知识点交汇考查,命题形式一般是把题中某些条件用向量形式给出；复数常作为客观题考查,一般为容易题,考查热点是复数的概念与运算.
二、三年新高考真题展示
1.（2020新高考山东卷）已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点,则 的取值范用是（ ）
A. B.
C. D.
2.（2020新高考山东卷）（ ）
A. 1 B. −1 C. i D. −i
3．（2021新高考全国卷Ⅰ）已知为坐标原点,点,,,,,则
A．B．
C．D．
4．（2021新高考全国卷Ⅰ）已知,则
A．B．C．D．
5. （2021新高考全国卷Ⅱ）已知向量,,,_______．
6. （2021新高考全国卷Ⅱ）复数在复平面内对应的点所在的象限为（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
7.（2022新高考全国卷Ⅰ）.在中,点D在边AB上,．记,则
A. B. C. D.
8. （2022新高考全国卷Ⅰ）若,则
A. B. C. 1D. 2
9. （2022新高考全国卷Ⅱ）已知向量,若,则
A. B. C. 5D. 6
10. （2022新高考全国卷Ⅱ）
A. B. C. D.
三、知识、方法、技能
1.向量运算问题的两大处理思路
向量运算包括几何运算和坐标运算.利用几何运算就是充分利用加法和减法的几何含义,以及一些具有几何含义的式子,进行化简、转化向量的计算.利用坐标运算,实际上就是转化为代数问题,即向量问题坐标化.
树立数形转化和结合的观点,以数代形,以形观数,用代数的运算处理几何问题,特别是处理向量的相关位置关系时,要正确运用共线向量和平面向量的基本定理,去计算向量的模、两点的距离等.由于向量作为工具,它往往会与三角函数、数列、不等式、解析几何等结合起来进行综合考查,是知识的交汇点.
2．向量的运算：
（1）几何运算：
①向量加法：利用“平行四边形法则”进行,但“平行四边形法则”只适用于不共线的向量,如此之外,向量加法还可利用“三角形法则”：设,那么向量叫做与的和,即；
②向量的减法：用“三角形法则”：设,由减向量的终点指向被减向量的终点.注意：此处减向量与被减向量的起点相同.
（2）坐标运算：设,则：
①向量的加减法运算：,.
②实数与向量的积：.
③若,则,即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标.
④平面向量数量积：.
⑤向量的模：.
3.在平面向量的化简或运算中,要根据平面向量基本定理选好基底,变形要有方向不能盲目转化．
4.在用三角形加法法则时要保证“首尾相接”,结果向量是第一个向量的起点指向最后一个向量的终点所在的向量；在用三角形减法法则时要保证“同起点”,结果向量的方向是指向被减向量．如,.
5.对于平面向量的线性运算问题,要尽可能转化到三角形或平行四边形中,灵活运用三角形法则、平行四边形法则,紧密结合图形的几何性质进行运算．
6.在证明两向量平行时,若已知两向量的坐标形式,常利用坐标运算来判断；若两向量不是以坐标形式呈现的,常利用共线向量定理(当b≠0时,a∥b⇔存在唯一实数λ,使得a＝λb)来判断．
7.证明三点共线问题,可用向量共线解决,A,B,C三点共线等价于eq \(AB,\s\up6(→))与eq \(AC,\s\up6(→))共线,但应注意向量共线与三点共线的区别与联系．当两向量共线且有公共点时,才能得出三点共线． 利用两向量共线求参数．如果已知两向量共线,求某些参数的取值时,利用“若a＝(x1,y1),b＝(x2,y2),则a∥b的充要条件是x1y2＝x2y1”解题比较方便．利用两向量共线的条件求向量坐标．一般地,在求与一个已知向量a共线的向量时,可设所求向量为λa(λ∈R),然后结合其他条件列出关于λ的方程,求出λ的值后代入λa即可得到所求的向量．
8. 平面向量的数量积
（1）两个向量的夹角：对于非零向量,,作,
称为向量,的夹角,当＝0时,,同向,当＝时,,反向,当＝时,,垂直.
（2）平面向量的数量积：如果两个非零向量,,它们的夹角为,我们把数量叫做与的数量积（或内积或点积）,记作：,即＝.规定：零向量与任一向量的数量积是0,注意数量积是一个实数,不再是一个向量.
（3）向量数量积的性质：设两个非零向量,,其夹角为,则：
①；
②当,同向时,＝,特别地,；当与反向时,＝－；当为锐角时,＞0,且不同向,是为锐角的必要非充分条件；当为钝角时,＜0,且不反向,是为钝角的必要非充分条件；
③非零向量,夹角的计算公式：；④.
9．向量平行(共线)的充要条件：＝0.
10．向量垂直的充要条件： .特别地.
11.两个结论：
(1)若P为线段AB的中点,O为平面内任一点,则eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→)))．
(2)eq \(OA,\s\up6(→))＝λeq \(OB,\s\up6(→))＋μeq \(OC,\s\up6(→))(λ,μ为实数),若点A,B,C共线,则λ＋μ＝1.
12.以下命题均为假命题：
⑴若∥,∥,则∥；
⑵若∥,则存在使得=；
⑶若,都是非零向量,且.>0,则,夹角为钝角.
⑷(.)2=2.2;⑸若.=.,则=.
13.设O为△ABC所在平面内一点.(1)O为△ABC重心＋＋=2＋2＋2取得最小值=(＋＋).
(2)O为△ABC外心2=2=2（+）∙=（＋）∙=（＋）∙；
(3)O为△ABC垂心∙=∙=∙2＋2=2＋2=2＋2.
(4)O为△ABC内心a＋b＋c=∙（+）=∙（+）=∙（+）=0.
14.设P为△ABC所在平面内的动点.
(1)若=(+)(≥0)或=(+)(≥0)或=(+)(≥0)则点P轨迹经过△ABC的重心.
(2)若=(+)(≥0),则点P轨迹经过△ABC的内心.
(3)=(+)(≥0),则点P轨迹经过△ABC的垂心.
15.△ABC的面积.
16.复数基本概念：
⑴且；
⑵复数是实数的条件：①；②；③.（3）复数是纯虚数的条件: ①是纯虚数且； ②是纯虚数；③是纯虚数.
17.复数运算公式：
设,,,
, .
18.几个重要的结论：
⑴；⑵；⑶若为虚数,则.
19.常用计算结论：
⑴；⑵,；⑶；
⑷；,,,.
20.复数是实数的条件：①；②；③.
21.复数是纯虚数的条件: ①是纯虚数且； ②是纯虚数；③是纯虚数.
22. 对复数几何意义的理解及应用
(1)复数z、复平面上的点及向量相互联系,即 () ；
(2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系,因此可把复数、向量与解析几何联系在一起,解题时可运用数形结合的方法,使问题的解决更加直观．
23.解决复数概念问题的方法及注意事项
(1)复数的分类及对应点的位置都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题,只需把复数化为代数形式,列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．
(2)解题时一定要先看复数是否为a＋bi(a,b∈R)的形式,以确定实部和虚部．
24.熟练掌握复数部分的一系列概念,对于求解复数题至关重要．以下三点请注意：
(1)对于复数m＋ni,如果m,n∈C(或没有明确界定m,n∈R),则不可想当然地判定m,n∈R.
(2)易误认为y轴上的点与纯虚数一一对应(注意原点除外)．
(3)对于a＋bi(a,b∈R)为纯虚数的充要条件,只注意了a＝0而漏掉了b≠0.
25.复数代数形式运算问题的常见类型及解题策略
(1)复数的乘法．复数的乘法类似于多项式的四则运算,可将含有虚数单位i的看作一类同类项,不含i的看作另一类同类项,分别合并即可．
(2)复数的除法．除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数,解题中要注意把i的幂写成最简形式.
(3)复数的运算与复数概念的综合题．先利用复数的运算法则化简,一般化为a＋bi(a,b∈R)的形式,再结合相关定义解答．
(4)复数的运算与复数几何意义的综合题．先利用复数的运算法则化简,一般化为a＋bi(a,b∈R)的形式,再结合复数的几何意义解答．
(5)复数的综合运算．分别运用复数的乘法、除法法则进行运算,要注意运算顺序,要先算乘除,后算加减,有括号要先算括号里面的．
26.注意问题：复数这个热点一般出现在试卷的前三道题目中,难度较低,但是解题时需加小心,千万不能因为不重视而导致失分.例如复数的实部和虚部要分清楚,例如的实部是-1,虚部为1,运算时要注意.
经验分享：学会必要的检验,例如将求解的复数代入验证,若复数为纯虚数时,实部等于0,要验证虚部不为0,利用复数相等进行复核等方法,确保万无一失.
四、新高考地区最新模拟试题精选
一、单选题
1．（2023届河北省沧衡八校联盟高三上学期期中）已知复数z满足,则z=（ ）
A．B．C．D．
2．（2023届福建省宁德市高三上学期期末）若复数为纯虚数,则实数（ ）
A．B．C．2D．3
3．（2023届山东省济南市高三下学期开学考试）已知向量,满足,,则向量,的夹角为（ ）
A．B．C．D．
4．（2023届湖北省十一校高三上学期12月联考）复数满足,则（ ）
A．B．C．D．5
5．（2023届湖南省邵阳市高三上学期一模）已知复数满足,则（ ）
A．B．C．D．
6．（2022届海南省琼海市高三三模）已知复数z满足,则（ ）
A．2B．C．D．
7.（2023届辽宁省名校联盟高考模拟）已知向量,夹角的余弦值为,且,,则（ ）
A．－36B．－12C．6D．36
8．（2023届湖南省益阳市高三上学期期末）如图所示的矩形中,满足,为的中点,若,则的值为（ ）
A．B．C．D．2
9．（2022届湖南省长沙市宁乡市高三下学期5月模拟）已知（为虚数单位）,则复数在复平面上对应的点一定在（ ）
A．实轴上B．虚轴上
C．第一、三象限的角平分线上D．第二、四象限的角平分线上
10．（2023届广东省广州市三校高三上学期期中联考）如图,在平行四边形中,分别为上的点,且,连接交于点,若,则的值为（ ）
A．B．C．D．
11．（2023届江苏省镇江市高三下学期期初模拟）已知平面向量满足,且,则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
12．（2023届河北省唐山市高三上学期期末）已知为虚数单位,复数,下列结论正确的有（ ）
A．
B．
C．若,则
D．若,则
13．（2023届湖北省武汉市华中师范大学附中高三上学期期中）设为复数,,,则下列说法正确的是（ ）
A．若,则的实部和虚部分别为和
B．设为的共轭复数,则
C．
D．若,,则在复平面内对应的点位于第一象限或第四象限
14．（2023届福建省部分地市高三第一次质量检测）平面向量满足,对任意的实数t,恒成立,则（ ）
A．与的夹角为B．为定值
C．的最小值为D．在上的投影向量为
15．（2023届山东省济宁市兖州区高三上学期期中）窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸,是中国古老的传统民间艺术之一,图1是一个正八边形窗花隔断,图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．已知正八边形ABCDEFGH的边长为1,P是正八边形ABCDEFGH边上任意一点,则（ ）
A．与能构成一组基底B．
C．在向量上的投影向量的模为D．的最大值为
三、填空题
16．（2023届湖南省常德市高三上学期月考）复数满足：（其中是虚数单位）,则__________.
17．（2023届江苏省南京市六校联合体高三1月联考）记复数z的共轭复数为,若,则______.
18．（2023届辽宁省沈阳市高三上学期期末）在中,,点是外接圆上任意一点,则的最大值为___________.
19．（2023届重庆市高三上学期第四次质量检测）已知是单位向量,满足,则的最大值为________．
五、延伸拓展
与平面向量有关的最值或范围问题
与平面向量有关的最值或范围问题,频频出现在高考试卷及各地模拟试卷中,这类问题常和其他知识交汇考查,解法比较灵活,对能力要求较高,往往成为试卷中的亮点.本文总结解决这类问题的几种基本方法,供同学们参考.
一、利用求最值或范围
例1.若非零向量满足,则的最小值为 .
【解析】,
又,
所以,,
当,且方向相反时取等号,
所以的最小值为.
例2.若,求的最小值.
【解析】由,得,
即,所以,
又,所以,
所以=,
当与方向相同时取等号,
所以的最小值为.
【点评】这两道题均在平面向量与不等式知识的交汇,试题新颖,解法灵活.是数量积性质的等价转换,其应用往往被同学们忽略,注意例1是利用利用进行缩小变换,例2是利用进行放大变换,解决这类问题要紧盯目标,进行有目的的放缩.
二、建立直角坐标系求最值或范围
例3.已知平行四边形中,,分别在边上,,求的最大值与最小值
【解析】由,,以A为坐标原点,以所在直线为轴,建立如图所示的平面直角坐标系,则,,,由可得,
设,,其中,
由可得可得,
所以==
==,
所以当时取到最大值5,当时取到最大值2.
例4.已知,均为单位向量,,求证：对任意正实数m,恒有,并指出等号成立的条件.
【解析】由题意,可设,
由可得,即,
所以,
,
当时取等号.
【点评】坐标是向量代数化的媒介,通过向量的坐标表示可将向量问题转化为代数问题来解决,而坐标的获得通常要借助于直角坐标系.对于平面几何图形有关的一些向量问题,可通过建立适当的直角坐标系,使图形中复杂的几何关系转化为简单明朗的代数关系,减少推理过程,有效地降低思维量,起到事半功倍的效果（如例3）．另外,若题中由互相垂直的单位向量,也可以通过建立坐标系,把向量问题转化为代数问题,再利用函数或不等式等知识问求解（如例4）.
三、转化为三角函数求最值或范围
例5.△ABC中,△ABC的外接圆O的半径为1,若
求的取值范围.
【解析】由可得,设,则,
则即
所以
=
=,
由可得,
根据在上是减函数,可得,
所以的取值范围是.
【点评】本题若直接从这一向量表达式出发去求的最大值,显然有困难．该解法通过利用向量的数量积运算实现了用三角函数表示,进而巧妙利用三角函数的有界性求出的取值范围,体现了三角函数的工具性.本题是把含的代数式借组向量用三角函数表示,有时也可以通过引进角,把向量的数量积表示为三角函数求最值或范围,请看例6:
例6.已知△ABC的外接圆O的半径为2,,求的最小值.
【解析】设,由可知,或,
所以,,,
所以
==,
当时取等号.
四、构造几何图形求最值或范围
例7.已知单位向量a,b满足ab＝－eq \f(1,2),向量满足,求的最大值.
【解析】设向量a,b,c的起点为O,终点分别为A,B,C,
由a·b＝－eq \f(1,2)得∠AOB＝120°,由得∠ACB＝60°,
所以点C在△AOB的外接圆上,当OC经过圆心时,|c|最大,
在△AOB中,AB＝eq \r(3),由正弦定理得△AOB外接圆的直径是eq \f(\r(3),sin120°)=2.
所以的最大值为2.
【点评】该解法是利用向量的几何意义,构造共圆的四点,再利用正弦定理去求解.由于向量本身具有代数形式和几何形式双重身份,所以在解决向量问题过程中要形成见数思形、以形助数的思维习惯,以加深理解知识要点,增强应用意识．
五、利用基本不等式求最值或范围
例8.已知△ABC中,边BC中点为D,点E在中线AD上,若=4,求的最小值.
【解析】由边BC中点为D,可得,
因为点E在中线AD上,
所以=
,点E为AD中点时取等号,
所以的最小值为.
【点评】本题根据反向,把数量积转化为转化为长度之积,再利用基本不等式求最值,体现了向量与基本不等式的交汇,一般来说,要利用这种方法求最值,首先需要把数量积转化为正数的和或积,再利用,或求最值.