专题06 解三角形——【高考三轮冲刺】2023年新高考数学考前提分冲刺（原卷版+解析版）

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在新高考全国卷中,解三角形作为解答题形式考查,通常位于17题-19题位置,难度为中等或中等偏易,属于得分题,常与三角恒等变换交汇考查.
二、三年新高考真题展示
1.（2020新高考山东卷）在①,②,③这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,若问题中的三角形存在,求的值；若问题中的三角形不存在,说明理由．
问题：是否存在,它的内角的对边分别为,且,,________?
注：如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分．
【解析】解法一：
由可得：,
不妨设,
则：,即.
选择条件①的解析：
据此可得：,,此时.
选择条件②的解析：
据此可得：,
则：,此时：,则：.
选择条件③的解析：
可得,,
与条件矛盾,则问题中的三角形不存在.
解法二：∵,
∴,
∴,∴,∴,∴,
若选①,,∵,∴,∴c=1;
若选②,,则,;
若选③,与条件矛盾.
2．（2021新高考全国卷Ⅰ）记的内角,,的对边分别为,,．已知,点在边上,．
（1）证明：；
（2）若,求．
【解析】（1）解法一：证明：由正弦定理知,,
,,
,,即,
．；
解法二：证明：由正弦定理知,
（2）解法一：由（1）知,
,,,
在中,由余弦定理知,,
在中,由余弦定理知,,
,
,即,得,
,,或,
在中,由余弦定理知,,
当时,（舍；当时,；
综上所述,．
解法二：在中①
由余弦定理得②,
联立①②得,
,,或,
在中,由余弦定理知,,
当时,（舍；当时,；
综上所述,．
3. （2021新高考全国卷Ⅱ）在中,角、、所对的边长分别为、、,,.．
（1）若,求的面积；
（2）是否存在正整数,使得为钝角三角形?若存在,求出的值；若不存在,说明理由．
【解析】：（1）因为,则,则,故,,
,所以,锐角,则,
因此,；
（2）显然,若为钝角三角形,则为钝角,
由余弦定理可得,
解得,则,
由三角形三边关系可得,可得,,故.
4.（2022新高考全国卷Ⅰ）记的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知．
（1）若,求B；
（2）求的最小值．
【解析】（1）因为,
即,
而,所以；
（2）由（1）知,,所以,
而,
所以,,．
所以
．
当且仅当时取等号,所以的最小值为．
5.（2022新高考全国卷 = 2 \* ROMAN II）记的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,分别以a,b,c为边长的三个正三角形的面积依次为,已知．
（1）求的面积；
（2）若,求b．
【解析】（1）由题意得,
则,
即,由余弦定理得,
所以,则,又,
所以,,
则.
（2）由正弦定理得,
所以,则,.
三、知识、方法、技能
1.求角问题
（1）内角和定理：三角形三角和为.任意两角和与第三个角总互补,任意两半角和与第三个角的半角总互余.
（2） 正弦定理：(R为三角形外接圆的半径).
正弦定理的变式：,；
（3）余弦定理：,,；
（4）利用面积公式：,,.
2.求边问题
（1）边与边关系：a + b > c,b + c > a,c + a > b,a－b < c,b－c < a,c－a > b；
（2）正弦定理的变式；
（3）余弦定理:.变形式：
；
（4）利用面积公式：;
（5）射影定理：.
3.求三角形的面积
（1）＝aha＝bhb＝（ha、hb、hc分别表示a、b、c上的高）；
（2）＝＝＝；
（3）＝（其中为三角形内切圆半径）,；
（4）.(与向量的数量积联系)
4.求三角形的综合问题
（1） 求解三角形中的问题时,一定要注意这个特殊性：
；
；
；
.
（2）求解三角形中含有边角混合关系的问题时,常运用正弦定理、余弦定理实现边角互化,达到角的统一或边的统一.
（3）在△ABC中,熟记并会证明：∠A,∠B,∠C成等差数列的充分必要条件是∠B=60°；△ABC是正三角形的充分必要条件是∠A、∠B、∠C成等差数列且成等比数列.
（4）锐角三角形三内角都是锐角三内角的余弦值为正值任两角和都是钝角任意两边的平方和大于第三边的平方；
钝角角三角形三内角一个为钝角一个角的余弦值为负值两锐角的和仍为锐角两个锐角对应的两边的平方和小于第三边的平方.
（5）三角形内常见的不等关系
①;
②锐角中,,;
③钝角中,设为钝角,则,.
6.求解三角形中含有边角混合关系的问题时,常运用正弦定理、余弦定理实现边角互化,达到角的统一或边的统一.
7.在△ABC中,熟记并会证明：∠A,∠B,∠C成等差数列的充分必要条件是∠B=60°；△ABC是正三角形的充分必要条件是∠A、∠B、∠C成等差数列且成等比数列.
8.锐角三角形三内角都是锐角三内角的余弦值为正值任两角和都是钝角任意两边的平方和大于第三边的平方；
钝角角三角形三内角一个为钝角一个角的余弦值为负值两锐角的和仍为锐角两个锐角对应的两边的平方和小于第三边的平方.
9．余弦定理的重要应用
三角形的余弦定理作为解决三角形问题的利剑,必须熟练掌握应用.为此,就其常见的几种变形形式,介绍如下.
①联系完全平方式巧过渡:
由则.
②联系重要不等式求范围：
由,则当且仅当等号成立.
③联系数量积的定义式妙转化：
在中,由.
10.如何恰当选择正弦定理与余弦定理解题
利用正弦定理解三角形时,可将正弦定理视为方程或方程组,利用方程思想处理已知量与未知量的关系.熟记正弦定理同三角形外接圆半径、三角形面积之间的关系等结论,对于相关问题是十分有益的.利用正弦定理可解决以下两类问题：一是已知两角和一角的对边,求其他边角；二是已知两边和一边对应的角,求其他边角,由于此时的三角形不能确定,应对它进行分类讨论.利用正弦定理解题一般适应的特点（1）如果所给的等式两边有齐次的边的形式或齐次的角的正弦的形式,可以利用正弦定理进行边角互换,这是高考中常见的形式；（2）根据所给条件构造（1）的形式,便于利用正弦定理进行边角互换,体现的是转化思想的灵活应用.
余弦定理与平面几何知识、向量、三角函数有着密切的联系,常解决一下两类问题：一是已知两边和它们的夹角,求其他边角；二是已知三边求三角.由于这两种情形下三角形是唯一确定的,所以其解也是唯一.
11.正、余弦定理的适用条件
(1)“已知两角和一边”或“已知两边和其中一边的对角”应采用正弦定理．
(2)“已知两边和这两边的夹角”或“已知三角形的三边”应采用余弦定理．
【特别提醒】 应用定理要注意“三统一”,即“统一角、统一函数、统一结构”．
12.正、余弦定理的实际应用
(1)实际问题经抽象概括后,已知量与未知量全部集中在一个三角形中,可用正弦定理或余弦定理求解．
(2)实际问题经抽象概括后,已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形,这时需作出这些三角形,先解够条件的三角形,然后逐步求解其他三角形,有时需设出未知量,从几个三角形中列出方程(组),解方程(组)得出所要求的解．
13．在解实际问题时,需注意的两个问题
(1)要注意仰角、俯角、方位角等名词,并能准确地找出这些角；
(2)要注意将平面几何中的性质、定理与正、余弦定理结合起来,发现题目中的隐含条件,才能顺利解决．
四、新高考地区最新模拟试题精选
1．(2023届河北省石家庄市部分学校高三下学期开学考试)已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a,b,c,且,
(1)求角A的大小：
(2)若,求△ABC的面积．
【解析】（1）根据题意,得
由正弦定理可得,即
得,
又,所以,所以,所以.
（2）由,得,又,
由余弦定理可得解得,,
所以.
2．（2023届福建省厦门市高三上学期月考）如图所示,在平面四边形中,,设.
(1)若,求的长；
(2)当为何值时,△的面积取得最大值,并求出该最大值.
【解析】（1）在中,由余弦定理得,
所以
在,由正弦定理得,
所以
（2）由第(1)问知,在中,
所以,所以,
在,由正弦定理得,
所以
因为
所以
因为所以所以当即时,
此时△的面积取得最大值为.
3．（2023届山东省泰安高三上学期期中）在△中,内角的对边分别为,且满足.
(1)求；
(2)已知为边上一点,平分,△的面积是△的面积的2倍,若,求.
【解析】（1）∵,∴,
即,∵,∴,∴,∴,
（2）∵AD平分,,∴,
∵的面积是的面积的2倍,设△底边BC上的高为h,
则,∴,,
又∵,∴,
在△中,,解得,
∴,∴,∴,∴.
4．（2023届湖北省高中名校联盟高三下学期第三次联合测试）在中,,点D在边上,.
(1)若,求的值,
(2)若,且点D是边的中点,求的值.
【解析】（1）在中,由余弦定理得：,
所以,解得或,
经检验均符合要求；
（2）在中,过D作的平行线交于E,
因为点D是边的中点,所以点E为AC的中点,
在中,,
又,所以.
由余弦定理得：,
所以,所以或（舍去）,
故.
5．（2023届湖南省邵阳市高三上学期一模）如图,为内的一点,记为,记为,且,在中的对边分别记为m,n,,,.
(1)求；
(2)若,,,记,求线段的长和面积的最大值.
【解析】（1）已知,由正弦定理可得
,由,
所以,即,
所以.
因为,,,
所以,则,所以.
（2）在中,由余弦定理得知：
,
即,因为,所以.
因为,所以.
,.
因为,,
所以,当,即时,面积有最大值.
6．（2023届广东省惠州市高三第三次调研）条件①,
条件②,
条件③．
请从上述三个条件中任选一个,补充在下列问题中,并解答．
已知的内角、、所对的边分别为、、,且满足________,
(1)求；
(2)若是的角平分线,且,求的最小值．
【解析】（1）解：选①：因为,由正弦定理可得,
即,
所以,
而,,故,因为,所以；
选②：因为,由正弦定理,
即,由余弦定理,
因为,所以；
选③：因为,
正弦定理及三角形内角和定理可得,
即,
因为、,则,所以,,,
所以,所以,即.
（2）解：由题意可知,,
由角平分线性质和三角形面积公式得,
化简得,即,
因此,
当且仅当时取等号,所以的最小值为．
7．（2023届江苏省南京市秦淮中学高三下学期检测一）已知的内角所对的边分别为,且满足．
(1)求角B的大小；
(2)若,设的面积为S,满足,求b的值．
【解析】（1）由,得,
根据正弦定理,得．
因为,
所以,
所以．
因为,所以,所以,则．
（2）由,得．
又由正弦定理得,
所以,解得．
8．（2023届辽宁省鞍山市第一中学高三上学期二模）的内角A,B,C的对边分别为a,b,c．已知
(1)求角A；
(2)若为锐角三角形,且的面积为S,求的取值范围．
【解析】（1）,所以,
所以,
又,所以,
因为,所以．
（2）由（1）可知,．
则．
因为锐角三角形,所以,整理得．
因为,所以．
令,则函数在上单调递减,在上单调递增,所以,即,
故的取值范围为.
9．（2023届辽宁省沈阳市东北育才双语学校高三上学期模拟）如图,设中角A,B,C所对的边分别为a,b,c,AD为BC边上的中线,已知且,．
(1)求b边的长度；
(2)求的面积；
(3)设点E,F分别为边AB,AC上的动点（含端点）,线段EF交AD于G,且的面积为面积的,求的取值范围．
【解析】（1）
由已知条件可知：
在中,由正弦定理
得
在中,由余弦定理
得
,又
（2）
设
为BC边上中线
则
①
或
由①,得
（3）
设,,（）
,
根据三点共线公式,得
（,为∠BAC）
10．（2023届海南省琼海市嘉积中学高三上学期月考）在中,角A,B,C所对的边为a,b,c,,若,
（1）求角C的大小；
（2）若,求的值．
【解析】（1）,则,
.
由余弦定理得,故有.
（2）,
,即.
11．（2023届河北衡水中学高三模拟）已知,D为边AC上一点,,.
(1)若,,求；
(2)若直线BD平分,求与内切圆半径之比的取值范围.
【解析】（1）如图1,,,
所以,
因为,,
所以,
故,则,即,
又,则,故,
不妨记,,则,
因为,
所以,解得,则,
因为,所以,
所以.
.
（2）如图2,不妨设与内切圆的半径分别为与,
因为直线BD平分,
所以由角平分线性质定理得,记,则,
记,则,
因为,
所以,
因为,即,则,
所以,即,
因为（为顶点到的距离）,
又,,
所以,则,
令,则,,
所以,
因为,所以,则,故,
所以,即,
所以,故,
所以与内切圆半径之比的取值范围为.
.
12．（2023届福建省厦外石狮分校、泉港一中两校联考高三上学期月考）在中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且.
(1)证明：；
(2)若,且,求.
【解析】（1）因为,所以,
由正弦定理可得,
由余弦定理可得,
整理得.
（2）由得D为的中点,所以,
所以,
又,所以,
因为,由（1）的解题过程可知,
所以,即,
解得（负值舍去）,
所以由正弦定理可得.
五、延伸拓展
三角形中的求角问题
在三角形中根据所给条件求三角形一个内角的大小,常出现在解答题第1问中,此类问题比较灵活,或利用正余弦定理进行边角代换,或利用三角恒等变换进行等价转换.本文详细归纳了此类问题的17个常见题目,共同学们参考.
已知△ABC中角所对的边分别为,由各小题条件求：
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
【解析】
1.由得,所以；
2.由得,所以；
3.由及正弦定理得
,
所以,及,
所以,所以；
4.由及正弦定理得,
整理得,
所以,所以；
5.由得,
所以,
所以,所以或；
6.由得,
即,
整理得,
所以,所以；
7.因为,设,
则,所以；
8.由及正弦定理得
,
设,
则,
所以,所以；
9.由及正弦定理得,
因为,所以或；
10.由及正弦定理得,
即,
所以；
11.由及正弦定理得,
所以,
因为,所以；
12.由及正弦定理得,
即,
因为,
所以；
13.由及余弦定理得,
整理得；
14.由及正弦定理得,
即,所以,
所以；
15.由及正弦定理得,
即,
因为,所以,
整理得,所以；
16.由得,
所以,
因为,所以；
17.由及得,
即,
因为,当且仅当时取等号,
所以.