专题07 数列——【高考三轮冲刺】2023年新高考数学考前提分冲刺（原卷版+解析版）

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从近两年的新高考试题来看,对于数列问题每套新高考试卷通常有一道客观题（也可能没有客观题，如202全国卷 = 1 \* ROMAN I）,一道解答题,客观题大多具有小巧活的特点,可能是基础题也可能是难度较大的压轴题,解答题主要考查数列的通项与求和,一般位于解答题第17题或第18题的位置上,属于得分题.
二、三年新高考真题展示
1.（2020新高考山东卷）将数列{2n–1}与{3n–2}的公共项从小到大排列得到数列{an},则{an}的前n项和为________．
2.（2020新高考山东卷）已知公比大于的等比数列满足．
（1）求的通项公式；
（2）记为在区间中的项的个数,求数列的前项和．
3．（2021新高考全国卷Ⅰ卷）某校学生在研究民间剪纸艺术时,发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折．规格为的长方形纸,对折1次共可以得到,两种规格的图形,它们的面积之和,对折2次共可以得到,,三种规格的图形,它们的面积之和,以此类推．则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为 5 ；如果对折次,那么 ．
4．（2021新高考全国卷Ⅰ）已知数列满足,
（1）记,写出,,并求数列的通项公式；
（2）求的前20项和．
5. （2021新高考全国卷Ⅱ）设正整数,其中,记．则（ ）
A. B.
C. D.
6. （2021新高考全国卷Ⅱ）记是公差不为0的等差数列的前n项和,若．
（1）求数列的通项公式；
（2）求使成立的n的最小值．
7.（2022新高考全国卷Ⅰ）记为数列的前n项和,已知是公差为的等差数列．
（1）求的通项公式；
（2）证明：．
8.（2022新高考全国卷Ⅱ）图1是中国古代建筑中的举架结构,是桁,相邻桁的水平距离称为步,垂直距离称为举,图2是某古代建筑屋顶截面的示意图．其中是举,是相等的步,相邻桁的举步之比分别为．已知成公差为0.1的等差数列,且直线的斜率为0.725,则
A. 0.75B. 0.8C. 0.85D. 0.9
9. （2022新高考全国卷Ⅱ）已知为等差数列,是公比为2的等比数列,且．
（1）证明：；
（2）求集合中元素个数．
三、知识、方法、技能
1. 给出数列的前几项求通项时，主要从以下几个方面来考虑：
(1)熟悉一些常见数列的通项公式，如{n}，{2n}，{(－1)n}，{2n}，{n2}，{2n－1}等．
(2)分式形式的数列，分子、分母分别求通项，较复杂的还要考虑分子、分母的关系．
(3)若第n项和第n＋1项正负交错，那么用符号 (－1)n或(－1)n＋1来适配．
(4)对于较复杂数列的通项公式，可使用添项、通分、分割等方法，将数列的各项分解成若干个常见数列对应项的“和”“差”“积”“商”后再进行归纳．
(5)注意： = 1 \* GB3 ①通项公式的形式不一定是惟一的，如数列1，0，1，0，…的通项公式可写成an＝eq \f(1＋（－1）n＋1,2)或an＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(sin\f(nπ,2)))，甚至分段形式an＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(1，n是奇数，,0，n是偶数))等．
= 2 \* GB3 ②给出数列前有限项求通项，结论不唯一，如数列的通项可以为，也可以为.
2.记住两个结论：⑴；⑵
3. 任何一个数列，它的前n项和Sn与通项an都存在关系：an＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(S1（n＝1），,Sn－Sn－1（n≥2）.)) 若a1适合Sn－Sn－1，则应把它们统一起来，否则就用分段函数表示．另外一种快速判断技巧是利用S0是否为0来判断：若S0＝0，则a1适合Sn－Sn－1，否则不符合，这在解小题时比较有用．
4.已知数列的递推关系，求数列的通项时，当出现时，可构造等比数列，设，再根据确定t.
5.解决数列的单调性问题可用以下三种方法
①用作差比较法，根据an＋1－an的符号判断数列{an}是递增数列、递减数列或是常数列．
②用作商比较法，根据eq \f(an＋1,an)(an＞0或an＜0)与1的大小关系进行判断．
③结合相应函数的图象直观判断．
6．求数列的最值一般是利用数列的单调性来求.
若eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(an≥an＋1，,an≥an－1，)) 则an最大；若eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(an≤an＋1，,an≤an－1，)) 则an最小．
7. 数列周期性：若an＋k＝an(n∈N*，k为非零正整数)，则{an}为周期数列，k为{an}的一个周期．解决数列周期性问题的方法：先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值．
8.等差数列的有关概念：
（1）等差数列的判断方法：定义法或.
（2）等差数列的通项：或.
（3）等差数列的前和：,.
（4）等差中项：若成等差数列,则A叫做与的等差中项,且.
9.等差数列的性质：
（1）当公差时,等差数列的通项公式是关于的一次函数,且斜率为公差；前和是关于的二次函数且常数项为0.
（2）若公差,则为递增等差数列,若公差,则为递减等差数列,若公差,则为常数列.
（3）当时,则有,特别地,当时,则有.
(4) 若、是等差数列,则、 (、是非零常数)、、 ,…也成等差数列,而成等比数列；若是等比数列,且,则是等差数列.
（5）在等差数列中,当项数为偶数时,；项数为奇数时,,（这里即）；.
（6）若等差数列、的前和分别为、,且,则.
(7)“首正”的递减等差数列中,前项和的最大值是所有非负项之和；“首负”的递增等差数列中,前项和的最小值是所有非正项之和.法一：由不等式组确定出前多少项为非负（或非正）；法二：因等差数列前项是关于的二次函数,故可转化为求二次函数的最值,但要注意数列的特殊性.上述两种方法是运用了哪种数学思想？（函数思想）,由此你能求一般数列中的最大或最小项吗？
10. 构造等差（比）数列求通项是是一种常用方法：①已知，求；②已知=1，，求；③，已知=，求；④已知=，求；
11.等比数列的有关概念：
（1）等比数列的判断方法：定义法,其中或.
（2）等比数列的通项：或.
（3）等比数列的前和：当时,；当时,..
特别提醒：等比数列前项和公式有两种形式,为此在求等比数列前项和时,首先要判断公比是否为1,再由的情况选择求和公式的形式,当不能判断公比是否为1时,要对分和两种情形讨论求解.
（4）等比中项：若成等比数列,那么A叫做与的等比中项.提醒：不是任何两数都有等比中项,只有同号两数才存在等比中项,且有两个.
12.等比数列的性质：
(1)当时,则有,特别地,当时,则有.
(2) 若是等比数列,则、、成等比数列；若成等比数列,则、成等比数列； 若是等比数列,且公比,则数列 ,…也是等比数列.当,且为偶数时,数列 ,…是常数数列0,它不是等比数列.
(3)若,则为递增数列；若, 则为递减数列；若 ,则为递减数列；若, 则为递增数列；若,则为摆动数列；若,则为常数列.
(4) 当时,,这里,但,这是等比数列前项和公式的一个特征,据此很容易根据,判断数列是否为等比数列.
(5)如果数列既成等差数列又成等比数列,那么数列是非零常数数列,故常数数列仅是此数列既成等差数列又成等比数列的必要非充分条件.
13.注意等比数列中任意一项及公比均不为零.
14.是成等差数列的充要条件；是成等比数列的既不充分也不必要条件.
15. 三数成等差数列，可设为;四数成等差数列可设为;三数等等比数列，可设为，四数成等比数列，若设为，可能会失根(为什么？)
16.数列的通项的求法：
⑴公式法：
①等差数列通项公式；
②等比数列通项公式.⑵已知（即）求,用作差法：.
⑶已知求,用作商法：.
⑷若求用累加法：
.
⑸已知求,用累乘法：.⑹已知递推关系求,用构造法（构造等差、等比数列）.特别地,（1）形如、（为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为的等比数列后,再求.如(21)已知,求；（2）形如的递推数列都可以用倒数法求通项.
注意：（1）用求数列的通项公式时,你注意到此等式成立的条件了吗？（,当时,）；（2）一般地当已知条件中含有与的混合关系时,常需运用关系式,先将已知条件转化为只含或的关系式,然后再求解.
17.数列求和的常用方法：
（1）公式法：①等差数列求和公式；②等比数列求和公式,特别声明：运用等比数列求和公式,务必检查其公比与1的关系,必要时需分类讨论.（2）分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时,常将“和式”中“同类项”先合并在一起,再运用公式法求和.（3）倒序相加法：若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联,则常可考虑选用倒序相加法,发挥其共性的作用求和（这也是等差数列前和公式的推导方法）. （4）错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成,那么常选用错位相减法（这也是等比数列前和公式的推导方法）. （5）裂项相消法：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式,且相邻项分裂后相关联,那么常选用裂项相消法求和.常用裂项形式有：
①； ②；
③,；
（6）通项转换法：先对通项进行变形,发现其内在特征,再运用分组求和法求和.
18. 是等比数列前n项和，一定是等比数列吗？（不一定）.
19．分类讨论思想在等比数列中应用较多，常见的分类讨论有
①已知Sn与an的关系，要分n＝1，n≥2两种情况．
②等比数列中遇到求和问题要分公比q＝1，q≠1讨论．
③项数的奇、偶数讨论．
④等比数列的单调性的判断注意与a1，q的取值的讨论．
20．用错位相减法求和时，应注意：
(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；
(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式；
(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解．
四、新高考地区最新模拟试题精选
一、单选题
1．(2023届河北省张家口市部分学校高三上学期期中)已知等差数列的前n项和为，若，且，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
2．（2023届福建省泉州第五中学高三上学期期中）已知等差数列的前n项和为，若，，则（ ）
A．77B．88C．99D．110
3．（2023届山东省济南市2高三下学期开学考试）已知等比数列的公比为，其前项和为，若对任意的恒成立，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
4．（2023届湖南省长沙市高三上学期适应性考试）裴波那契数列，因数学家莱昂纳多·裴波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，该数列满足，且．卢卡斯数列是以数学家爱德华·卢卡斯命名，与裴波那契数列联系紧密，即，且，则（ ）
A．B．
C．D．
5．（2023届广东省肇庆市高三第二次教学质量检测）设数列的前项和为，且.若对任意的正整数，都有成立，则满足等式的所有正整数为（ ）
A．1或3B．2或3C．1或4D．2或4
二、多选题
6．（2023届重庆市巴蜀中学校高三上学期高考适应性月考）已知等差数列的前项和为，则（ ）
A．是递减数列
B．
C．取最大值时，
D．使成立的最小的正整数为14
7．（2023届河北省邯郸市高三上学期期末）在等差数列中，，公差，则使其前n项和取得最小值的正整数n是（ ）
A．4B．5C．6D．7
8．（2023届福建省龙岩市一级校联盟（九校）联考高三上学期期中）已知数列{}的前n项和为，，则下列选项正确的是（ ）
A．B．存在，使得
C．D．是单调递增数列，{}是单调递减数列
三、填空题
9．（2023届山东省新高考联合质量测评高三上学期12月联考）在数列中，，则数列的前20项和为________．
10．（2023届湖北省十七所重点中学高三下学期2月第一次联考）冰雹猜想是指：一个正整数x，如果是奇数就乘以3再加1，如果是偶数就析出偶数因数，这样经过若干次，最终回到1．问题提出八十多年来，许多专业数学家前仆后继，依然无法解决这个问题．已知正整数列满足递推式请写出一个满足条件的首项，使得，而_____________．
11．（2023届广东省六校高三第四次联考）数列中，表示自然数的所有因数中最大的那个奇数，例如：20的因数有1，2，4，5，10，20，，21的因数有1，3，7，21，，那么数列前项的和______
四、解答题
12．（2023届江苏省南通市高三下学期第一次调研测试）在①成等比数列，②，③这三个条件中任选两个，补充在下面问题中，并完成解答.
已知数列是公差不为0的等差数列，其前项和为，且满足__________，__________.
(1)求的通项公式；
(2)求.
注：如果选择多个方案分别解答，按第一个方案计分.
13．（2023届辽宁省高三上学期期末）在等比数列中
(1)求的通项公式；
(2)设，求的前n项和．
14．（2023届海南省琼海市嘉积中学高三上学期期中）已知数列满足，．
(1)求证：数列是等比数列．
(2)求出数列的前项和．
15．（2023届重庆市南开中学校高三上学期期末）已知数列的前n项和为，且，.
(1)证明：数列为等比数列，并求数列的通项公式；
(2)证明：.
16．（2023届河北省保定市唐县高三上学期11月期中）已知正项等比数列{an}，满足a2a4=1，a5是12a1与5a3的等差中项.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设，求数列{bn}的前n项和Sn.
17．（2023届福建省泉州第五中学高三上学期期中）已知数列满足2，．
(1)求，并求数列的通项公式；
(2)若记为满足不等式的正整数的个数，求数列的前n项和为，求关于n的不等式的最大正整数解．
18．（2023届山东省日照市高三上学期期末）已知数列的各项均为非零实数，其前项和为，且.
(1)若，求的值；
(2)若，，求证：数列是等差数列，并求其前项和.
五、延伸拓展
（一）裂项求和大全
1.
=.
2.
=.
3.
=.
4.
=.
5.
=
=
=.
6.
=
7.
=-+-+ +-
=1-.
8.
=
9.
=
10.
=
=
11.
=
=
12．
=
=
13.
=
=
14. ++++
=+++
=
15.
推广：若是等差数列，是公比不为1的等比数列，求的前n项和可以用错位相减法，也可以裂项求和.
16.若是各项均不为零，且公差的等差数列，则
==
（二）斐波那契数列
人教版新课标教材在数列一章中，介绍了斐波那契数列，这是一个非常有趣也非常有用的数列，该数列在十三世纪初叶就已经提出了，从那时到现在吸引了许多数学爱好者、学者去研究它，发现了斐波那契数列的许多性质及应用，现在斐波那契数列在现代物理、准晶体结构、化学、生物、金融﹑美术等领域都有直接的应用.本文在中学数学知识范围内介绍斐波那契数列有趣的性质及应用.
一、斐波那契数列的来源及探索历程
十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契在一本名叫《算盘书》的数学著作中提到一个有趣的数学问题：
“如果一对兔子每月能生1对小兔子，而每对小兔在它出生后的第3个月里，又能开始生1对小兔子，假定在不发生死亡的情况下，由1对初生的兔子开始，1年后能繁殖成多少对兔子？”
通过计算可以得到下表
经过月数：1 2 3 4 5 6 7 8 9...
兔子对数：1 1 2 3 5 8 13 21 34 ...
若用表示第n个月的兔子的对数，则{}：1，1，2，3，5，8，13，21，34，...称为斐波那契数列，斐波那契数列曾引起很多人的兴趣，1634年数学家奇拉特发现斐波那契数列之间有如下递推关系：，后来人们继续对这个数列进行探讨，又发现了它的许多有趣的性质，比如项数之间更一般的关系为，1680年卡西尼又发现了该数列的又一个重要关系式：，十八世纪初又有人给出了斐波那契数列的通项表达式= 有趣的是：这样一个完全是自然数的数列，通项公式居然是用无理数来表达的.
再后来人们又发现了这个数列的很多性质，下面列举斐波那契数列的一些基本性质，供有兴趣的同学参考：
1.=；
2.；
3.；
4.；
5.；
6.；
7.；
8..
此外，人们还发现了斐波纳契数列的另一个重要的性质即斐波拉契数列与黄金分割有着密切的关系：相邻两个斐波拉契数的比值是随序号的增加而逐渐趋于黄金分割比0.6180339887……,即由于斐波拉契数都是整数，两个整数相除之商是有理数，所以只是逐渐逼近黄金分割比这个无理数.但是当我们继续计算出后面更大的斐波拉契数时，就会发现相邻两数之比确实是非常接近黄金分割比的.不仅斐波拉契数列是这样,随便选两个整数,然后按照斐波拉契数的规律排下去,相邻两个数的比值也是会逐渐逼近黄金分割比的．1946年，美国证券分析家拉尔夫•.纳尔逊•.艾略特以斐波那契数列与黄金分割率为基础，提出了一套相关的市场分析理论，这就是久负盛名的艾略特 波浪理论，如今该理论已成为投资者最常用的分析系统之一.
二、斐波那契数列通项公式的推导
斐波那契数列通项公式的推导有多种方法，下面给出一种高中学生能接受的一种方法：
由于==1，，设-α=β(-α)
则α+β=1，αβ=-1，所以α、β是方程x2-x-1=0的两个根，,解得α=,β=或α=,β=
当α=,β,时由-α=β(-α)可得
-=（-）（）n-1 ①
当α=,β=时由-α=β(-α)可得
-=（-）（）n-1 ②
由① ②消去得=
三、与斐波那契数列相关的数学问题
斐波拉契数列无处不在，在数学中有很多问题与斐波那契数列相关，试看下面几个问题：
⒈有一段楼梯有n级台阶,规定每一步只能跨一级或两级,要登上第n级台阶有几种不同的走法?
解析：用表示登上第n级台阶不同走法数，易得所以该数列就是一个斐波那契数列.该问题经常出现在各类竞赛试卷及高考模拟试卷中.
2.在杨辉三角中隐藏着斐波那契数列
观察杨辉三角：
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
……
解析：过第一行的“1”向左下方做45°的斜线，之后做直线的平行线，将每条直线所过的数加起来，即得一数列1、1、2、3、5、8、……，这也是斐波那契数列.
3.一段长为144㎝的细绳，现在将其截成段，每段的长度均不小于1㎝，要使其中任意三小段都不能构成三角形，求的最大值.
解析：将细绳截成共n段，其中
不妨任取，要使它们不能构成三角形，则，满足临界条件就能使这3段不能构成三角形.为了使取到最大值，我们连续将细绳截成这样的序列：前后相邻两段之和等于后面一段的长度.又因为每段长度不小于1cm，为了使取到最大值，第一段和第二段均为1cm，这样形成了一个斐波那契数列：1,1,2,3,5……，其前项和=，当时，，故的最大值为10.
四、斐波那契数列在自然科学与生活中的应用
斐波那契数列在自然科学与生活中也有许多应用,请看以下几例:
1.假定现在有一些氢气原子, 一个电子最初所处的位置是最低的能级, 属于稳定状态.它能获得一个能量子或二个能量子而使它上升到第一能级或者第二能级.但是在第一能级的电子如失掉一个能量子就会下降到最低能级, 它如获得一个能量子就会上升到第二级来.现在研究气体吸收和放出能量的情形, 假定最初电子是处在稳定状态即零能级, 然后让它吸收能量, 这电子可以跳到第1 能级或第2 能级.然后再让这气体放射能量, 这时电子在1 级能级的就要下降到0 能级, 而在第2 能级的可能下降到0 能级或者第1 能级的位置去.可以看出: 在吸收、放出、吸收、放出、吸收、放出这六个过程中, 电子所处的状态可能的情形是: 1、2、3、5、8、13、21 ，这就是斐波那契数列的一部份.如果我们依据上述推导的性质进行预测, 就可以很容易地掌握氢气原子的变化规律.
2.树木的生长，由于新生的枝条，往往需要一段“休息”时间，供自身生长，而后才能萌发新枝.所以，一株树苗在一段间隔，例如一年，以后长出一条新枝；第二年新枝“休息”，老枝依旧萌发；此后，老枝与“休息”过一年的枝同时萌发，当年生的新枝则次年“休息”.这样，一株树木各个年份的枝桠数，便构成斐波那契数列.这个规律，就是生物学上著名的“鲁德维格定律”.
3.自然界中一些花朵的花瓣数目在大多数情况下符合于斐波拉契数列，观察延龄草,野玫瑰,南美血根草,大波斯菊,金凤花,耧斗菜,百合花,蝴蝶花的花瓣.可以发现它们花瓣数目具有斐波那契数:3,5,8,13,21……这些植物懂得斐波那契数列吗？应该并非如此，它们只是按照自然的规律才进化成这样.这似乎是植物排列种子的“优化方式”，它能使所有种子具有差不多的大小却又疏密得当，不至于在圆心处挤了太多的种子而在圆周处却又稀稀拉拉.叶子的生长方式也是如此，对于许多植物来说，每片叶子从中轴附近生长出来，为了在生长的过程中一直都能最佳地利用空间（要考虑到叶子是一片一片逐渐地生长出来，而不是一下子同时出现的），每片叶子和前一片叶子之间的角度应该是222.5°，这个角度称为“黄金角度”，因为它和整个圆周360°之比是黄金分割数1.618033989……的倒数，而这种生长方式就决定了斐波那契螺旋的产生.按照这一角度排列的叶片, 能很好地镶嵌又互不重叠, 也是植物接受阳光最大照射量的角度, 这一发现对人工干预植物培养与生长有着重大的科学意义.