专题12 导数——【高考三轮冲刺】2023年新高考数学考前提分冲刺（原卷版+解析版）

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从近两年的新高考试题来看,导数是高考中的重点与难点,一般有一道客观题,一道解答题（当然也有意外，如2022新高全国卷 = 1 \* ROMAN I有5道与导数有关的试题）,客观题考查的热点是用导数研究曲线的切线、用导数研究函数的极值最值与零点.解答题主要考查利用导数研究函数的性质及零点与不等式证明问题,难度一般比较大,通常位于第21或22题.
二、三年新高考真题展示
1.（2020新高考山东卷）已知函数．
（1）当时,求曲线y=f（x）在点（1,f（1））处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；
（2）若f（x）≥1,求a的取值范围．
【解析】（1）,,.
,∴切点坐标为(1,1+e),
∴函数f(x)在点(1,f(1)处的切线方程为,即,
切线与坐标轴交点坐标分别为,
∴所求三角形面积为;
（2）,
,且.
设,则
∴g(x)在上单调递增,即在上单调递增,
当时,,∴,∴成立.
当时, ,,,
∴存在唯一,使得,且当时,当时,,,
因此
>1,
∴∴恒成立；
当时, ∴不是恒成立.
综上所述,实数a的取值范围是[1,+∞).
2．（2021新高考全国卷Ⅰ）若过点可以作曲线的两条切线,则
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】函数是增函数,恒成立,
函数的图象如图,,即取得坐标在轴上方,
如果在轴下方,连线的斜率小于0,不成立．
点在轴或下方时,只有一条切线．
如果在曲线上,只有一条切线；
在曲线上侧,没有切线；
由图象可知在图象的下方,并且在轴上方时,有两条切线,可知．
故选D．
3．（2021新高考全国卷Ⅰ）函数的最小值为 1 ．
【答案】1
【解析】函数的定义域为．
当时,,
此时函数在,上为减函数,
所以；
当时,,
则,
当,时,,单调递减,
当时,,单调递增,
当时取得最小值为（1）．
,
函数的最小值为1．
4．（2021新高考全国卷Ⅰ）已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）设,为两个不相等的正数,且,证明：．
【解】（1）解：由函数的解析式可得,
,,单调递增,
,,单调递减,
则在单调递增,在单调递减．
（2）证明：由,得,
即,
由（1）在单调递增,在单调递减,
所以,且,
令,,则,为 的两根,其中．
不妨令,,则,
先证,即证,即证,
令,
则,
故函数单调递增,
（1）．,,得证．
同理,要证,即证,
令,,
则,令,
,,单调递增,
,,,单调递减,
又,,且（e）,
故,,
（1）（1）,
恒成立,
得证,
则．
5. （2021新高考全国卷Ⅱ）已知函数,函数的图象在点和点的两条切线互相垂直,且分别交y轴于M,N两点,则取值范围是_______．
【答案】
【解析】由题意,,则,
所以点和点,,
所以,
所以,
所以,
同理,
所以.
6. （2021新高考全国卷Ⅱ）已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）从下面两个条件中选一个,证明：有一个零点
①；
②．
【解析】(1)由函数的解析式可得：,
当时,若,则单调递减,
若,则单调递增；
当时,若,则单调递增,
若,则单调递减,
若,则单调递增；
当时,在上单调递增；
当时,若,则单调递增,
若,则单调递减,
若,则单调递增；
(2)若选择条件①：
由于,故,则,
而,
而函数在区间上单调递增,故函数在区间上有一个零点.
,
由于,,故,
结合函数的单调性可知函数在区间上没有零点.
综上可得,题中的结论成立.
若选择条件②：
由于,故,则,
当时,,,
而函数在区间上单调递增,故函数在区间上有一个零点.
当时,构造函数,则,
当时,单调递减,
当时,单调递增,
注意到,故恒成立,从而有：,此时：
,
当时,,
取,则,
即：,
而函数在区间上单调递增,故函数在区间上有一个零点.
,
由于,,故,
结合函数的单调性可知函数在区间上没有零点.
综上可得,题中的结论成立.
7. （2022新高考全国卷Ⅰ）设,则
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】解法一：设,因为,
所以在上单调递增, ,即,故,所以,故,设,则,令,,当时单调递减,又,所以当时,,,单调递增,所以,即,所以,故选C.
解法二：易得时,所以且 时,即,所以,所以,设,则,所以,即,取,得,故选C.
8. （2022新高考全国卷Ⅰ）已知函数,则
A. 有两个极值点B. 有三个零点
C. 点是曲线的对称中心D. 直线是曲线的切线
【答案】AC
【解析】由得,令得或,
令得,所以在上单调递减,在,上单调递增,所以是极值点,故A正确；
因,,,
所以,函数在上有一个零点,
当时,,即函数在上无零点,
综上所述,函数有一个零点,故B错误；
令,则 ,
则是奇函数,是的对称中心,
将的图象向上移动一个单位得到的图象,
所以点是曲线的对称中心,故C正确；
令,可得,又,
当切点为时,切线方程为,当切点为时,切线方程为,
故D错误故选AC.
9. （2022新高考全国卷Ⅰ）已知函数及其导函数的定义域均为,记,若,均为偶函数,则
A. B. C. D.
【答案】BC
【解析】因为为偶函数,所以,令,得,C正确；
由得,所以,两边求导得,令得,又均为偶函数,所以,
所以,所以,所以,
构造函数,则,则不成立,不成立,A,D错误,故选BC.
10. （2022新高考全国卷Ⅰ）若曲线有两条过坐标原点的切线,则a的取值范围是______．
【答案】
【解析】∵,∴,
设切点为,则,切线斜率,
切线方程为：,
∵切线过原点,∴,
整理得：,
∵切线有两条,∴,解得或,
∴的取值范围是
11. （2022新高考全国卷Ⅰ）已知函数和有相同的最小值．
（1）求a；
（2）证明：存在直线,其与两条曲线和共有三个不同的交点,并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．
【解析】（1）的定义域为,且,
若,则,单调递增,无最小值,故.
当时,,当时,,
所以在上为减函数,在上为增函数,
故.
的定义域为,且.
当时,,当时,,
在上为减函数,在上为增函数,
故.
因为和有相同的最小值,
所以,整理得到,其中,
设,则,
故为上的减函数,而,
故的唯一解为,故的解为.综上,.
（2）由（1）可得和的最小值为.
当,、各有一个实根,不满足题意,
当时,、均无实根,不满足题意
当时,设,则,
当时,,当时,,
故在上为减函数,在上为增函数,
所以,
而,,
设,其中,则,
故在上为增函数,故,
故,故有两个不同的零点,即的根的个数为2.
设,,
当时,,当时,,
故在上为减函数,在上为增函数,
所以,
而,,
有两个不同的零点,即的根的个数为2.
设,其中,故,
设,,则,
故在上为增函数,故即,
所以,所以在上为增函数,
而,,
故在上有且只有一个零点,,
且当时,即即,
当时,即即,
因此若存在直线与曲线、有三个不同的交点,
故,
此时有两个不同的零点,
此时有两个不同的零点,
故,,,
所以即即,
故为方程的解,同理也为方程的解
又可化为即即,
故为方程的解,同理也为方程的解,
所以,而,
故即.
12.（2022新高考全国卷Ⅱ）已知函数的图像关于点中心对称,则
A. 在区间单调递减
B. 在区间有两个极值点
C. 直线是曲线的对称轴
D. 直线是曲线的切线
【答案】AD
【解析】由题意得,所以,,
即,又,所以时,,故．
对A,当时,,由正弦函数单调性知在上是单调递减,A正确；
对B,当时,,由正弦函数单调性知在区间只有1个极值点,由,解得,即为函数的唯一极值点,B错误；
对C,当时,,,直线不是对称轴,C错误；
对D,由得,解得或,从而得或,
所以函数在点处的切线斜率为,
切线方程为即,D正确；故选AD．
13.（2022新高考全国卷Ⅱ）曲线过坐标原点的两条切线的方程为_____,_____．
【答案】 ,
【解析】因为,当时,设切点为,由,所以,所以切线方程为,又切线过坐标原点,所以,解得,所以切线方程为,即；
当时,设切点为,由,所以,所以切线方程为,又切线过坐标原点,所以,解得,所以切线方程为,即.
14.（2022新高考全国卷Ⅱ）已知函数．
（1）当时,讨论的单调性；
（2）当时,,求a的取值范围；
（3）设,证明：．
【解析】（1）当时,,则,
当时,,当时,,
所以在上单调递减,在上单调递增.
（2）设,则,
又,设,
则,
若,则,
故存在,使得,总有,
故在为增函数,故时,
故在为增函数,故时,与题设矛盾.
若,则,
设,故,
故在上为减函数,故,即时成立.
所以,
故总成立,即在上为减函数,
所以.
当时,,所以,
所以在上为减函数,所以.
综上,a的取值范围是.
（3）取,则,总有成立,
令,则,
故即对任意的恒成立.
所以对任意的,有,
整理得,
故
,故不等式成立.
三、知识、方法、技能
1. 导数的概念
如果函数y＝f(x)的自变量x在x0处有增量Δx,那么函数y相应地有增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0),比值eq \f(Δy,Δx)就叫函数y＝f(x)从x0到x0＋Δx之间的平均变化率,即eq \f(Δy,Δx)＝eq \f(f（x0＋Δx）－f（x0）,Δx).如果当Δx→0时,eq \f(Δy,Δx)有极限,我们就说函数y＝f(x)在点x0处可导,并把这个极限叫做f(x)在点x0处的导数,记作 或y′|x＝x0,即f′(x0)＝eq \f(Δy,Δx)＝eq^\(,\s\d4(Δx→0)) eq \f(f（x0＋Δx）－f（x0）,Δx).
2.基本初等函数的导函数
3.导数的运算法则
若f′(x),g′(x)存在,则有
(1)[f (x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；
(2)[f (x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f (x)g′(x)；
(3) (g(x)≠0)．
4.复合函数的导函数
复合函数y＝f (g(x))的导数和函数y＝f (u),u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′,即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．
5.可导偶函数的导数是奇函数,可导奇函数的导数是偶数
6.利用导数运算法则构造函数解不等式的基本策略：
(1)给出可构造函数
(2)给出可构造函数；
(3)给出可构造函数或
函数y＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势,其正负号反映了变化的方向,其大小|f′(x)|反映了变化的快慢,|f′(x)|越大,曲线在这点处的切线越“陡”．
7. 求函数在某点处的切线的步骤
8.求函数过某点的切线
求曲线过某点的切线,一般是设出切点(x0,y0),解方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y0＝f（x0），,\f(y1－y0,x1－x0)＝f′（x0），))得切点(x0,y0),进而确定切线方程．
9. 求曲线切线的条数一般是设出切点,由已知条件整理出关于t的方程,把切线条数问题转化为关于t的方程的实根个数问题. 研究曲线的公切线,一般是分别设出两切点,写出两切线方程,然后再使这两个方程表示同一条直线.若其中一个函数为二次函数,也可利用求解.
10.公切线问题
研究曲线的公切线,一般是分别设出两切点,写出两切线方程,然后再使这两个方程表示同一条直线.若其中一个函数为二次函数,也可利用求解.
11.在处的切线为x轴,这一点很多学生有误解,另外在处不可导,但其在有切线,切线为y轴.
12.函数的单调性
在某个区间(a,b)内,如果f′(x)>0,那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果f′(x)0,解集在定义域内的部分为单调递增区间．
(4)解不等式f′(x)0(f′(x)0.
(3)当Δ≤0时,①若a>0,则f(x)在R上是增函数;②若a0时,①若a>0,则f(x)的增区间为(-∞,x1)和(x2,+∞),减区间为(x1,x2),f(x1)为极大值,f(x2)为极小值;②若a0)
f′(x)＝axlna
f (x)＝lnx
f′(x)＝eq \f(1,x)
f (x)＝lgax(a>0,a≠1)
f′(x)＝eq \f(1,xlna)