模拟卷04——【新高考专用】2023年高考数学考前冲刺模拟卷（含答案）

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1．C 2．B 3．C 4．A 5．D 6．A 7．B 8． A
9．ACD 10．BC 11．AB 12.ACD ．
13．10 14． 15． 16．
17．【答案】(1)(2)
【解析】（1）由题意得，故， ，
即；
（2）由已知，得n为奇数时，；
当n为偶数时，
，
则
．
18．【答案】（1） （2）
【解析】（1）由，，
可得，．
在中，由正弦定理得；
在中，由正弦定理得；
在中，由正弦定理得，
所以．
（2）由，得．
设，则，，
所以，，
，则，
故．
设，则．
因为，所以，则．
设，，则．
因为当时，，所以函数在区间上单调递增．
因为，，所以，
故的取值范围为．
19．【答案】(1)列联表见解析，有99.9％的把握认为该县2019年家庭年收入超过1.5万元与地区有关；
(2)分布列见解析，数学期望.
【解析】（1）由频率分布直方图可知，收入超过1.5万元的家庭的频率为，
所以收入超过1.5万元的家庭的户数有户，
又因为平原地区家庭与山区家庭的户数之比为，抽取了100户，
故平原地区的共有60户，山区地区的共有40户，
又样本中家庭年收入超过1.5万元的有10户居住在山区，
所以超过1.5万元的有40户居住在平原地区，不超过1.5万元的有20户住在平原地区，有30户住在山区地区，
故2019年家庭年收入与地区的列联表如下：
则
，
所以有99.9％的把握认为该县2019年家庭年收入超过1.5万元与地区有关．
（2）由（1）可知，选1户家庭在平原的概率为，山区的概率为，
X的可能取值为0，1，2，3，4，
所以，
，
，
，
，
所以X的分布列为：
因为X服从二项分布，
所以X的数学期望．
20．【答案】（1）证明见解析 （2）
【解析】（1）连接与相交于,连接，故是中点，
因为是中点，所以
又 ,故,
因此四边形为平行四边形，故,
又AC=4AN，所以为中点，又为中点,
所以 平面 平面,所以平面
（2）则平面内过点作，垂足为，连接，
因为平面平面，且平面平面,
所以平面,
易得是等边三角形，
因此四棱柱的体积为，
所以，即为的中点，，因而可知两两垂直，
故建立如图所示的空间直角坐标系；
则,
因为，则，
故
设平面的法向量为，
则 ，取，则 ，
设平面的法向量为，
则 ，取，则 ，
设二面角的平面角为，由图可知二面角的平面角为锐角，故 ，
故二面角的余弦值为
21．【答案】（1） （2）证明见解析
【解析】（1）设，则由题意得，
解得，
所以抛物线的方程为
（2）直线过定点，证明如下：
设，直线的方程：，
将代入得，
则，得，
由韦达定理可得，
所以，
因为，所以，即，
即，
即，所以，
所以直线过定点.
22．【答案】（1）证明见解析； （2）3个.
【解析】（1）函数的定义域为，求导得，
令，则，当时，，
函数在上单调递增，在上无极值点，
当时，在上都递减，即在上递减，
而，则存在唯一，，
当时，，当时，，
因此函数在上单调递增，在上单调递减，则为在上的极大值点，
所以在区间上存在唯一的极大值点；
（2）当时，，则恒成立，函数在上无零点，
当时，，则恒成立，函数在上无零点，
当时，，则恒成立，函数在上单调递减，
而，因此函数在内有唯一零点，
当时，，即0是函数的一个零点，由（1）知在上单调递增，
而，则存在唯一，使得，
当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，
有，又，因此函数在上有唯一零点，在上无零点，
当时，由（1）知，函数在上单调递增，在上单调递减，
因为，则存在唯一，使得，
当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，
又，因此函数在上无零点，
综上得，函数共有3个零点.超过1.5万元
不超过1.5万元
总计
平原地区
40
20
60
山区
10
30
40
总计
50
50
100
X
0
1
2
3
4
P