21 带点粒子在磁场、组合场和叠加场中的运动 ——【冲刺2023】高考物理考试易错题（全国通用）（原卷版+解析版）

易错点21带点粒子在磁场、组合场和叠加场中的运动

例题1. (多选)质量为m、电荷量为q的微粒以速度v与水平方向成θ角从O点进入方向如图所示的正交的匀强电场和匀强磁场组成的混合场区，该微粒在静电力、洛伦兹力和重力的共同作用下，恰好沿直线运动到A，下列说法中正确的是(重力加速度为g)(　　)

A．该微粒一定带负电荷

B．微粒从O到A的运动可能是匀变速运动

C．该磁场的磁感应强度大小为

D．该电场的电场强度大小为

例题2. 如图所示，一带电液滴在相互垂直的匀强电场和匀强磁场中刚好做匀速圆周运动，其轨道半径为R，已知该电场的电场强度为E，方向竖直向下；该磁场的磁感应强度为B，方向垂直纸面向里，不计空气阻力，设重力加速度为g，则(　　)

A．液滴带正电

B．液滴比荷＝

C．液滴沿顺时针方向运动

D．液滴运动速度大小v＝

一、带电粒子在匀强磁场中的圆周运动

1．圆心的确定

圆心位置的确定通常有以下两种基本方法：

(1)已知入射方向和出射方向时，可以过入射点和出射点作垂直于入射方向和出射方向的直线，两条直线的交点就是圆弧轨道的圆心(如图甲所示，P为入射点，M为出射点)．

(2)已知入射方向和出射点的位置时，可以过入射点作入射方向的垂线，连线入射点和出射点，作其中垂线，这两条垂线的交点就是圆弧轨道的圆心(如图乙所示，P为入射点，M为出射点)．

2．半径的确定

半径的计算一般利用几何知识解直角三角形．做题时一定要作好辅助线，由圆的半径和其他几何边构成直角三角形．由直角三角形的边角关系或勾股定理求解．

3．粒子在匀强磁场中运动时间的确定

(1)粒子在匀强磁场中运动一周的时间为T，当粒子运动轨迹的圆弧所对应的圆心角为α时，其运动时间t＝T(或t＝T)．

确定圆心角时，利用好几个角的关系，即圆心角＝偏向角＝2倍弦切角．

(2)当v一定时，粒子在匀强磁场中运动的时间t＝，l为带电粒子通过的弧长．

二、带电粒子在组合场中的运动

1．组合场：电场与磁场各位于一定的区域内，并不重叠，一般为两场相邻或在同一区域电场、磁场交替出现．

2．解题时要弄清楚场的性质、场的方向、强弱、范围等．

3．要正确进行受力分析，确定带电粒子的运动状态．

(1)仅在电场中运动

①若初速度v0与电场线平行，粒子做匀变速直线运动；

②若初速度v0与电场线垂直，粒子做类平抛运动．

(2)仅在磁场中运动

①若初速度v0与磁感线平行，粒子做匀速直线运动；

②若初速度v0与磁感线垂直，粒子做匀速圆周运动．

4．分析带电粒子的运动过程，画出运动轨迹是解题的关键．

特别提醒　从一个场射出的末速度是进入另一个场的初速度，因此两场界面处的速度(大小和方向)是联系两运动的桥梁，求解速度是重中之重．

三、带电粒子在叠加场中的运动

1． 带电粒子在叠加场中无约束情况下的运动情况分类

(1)磁场力、重力并存

①若重力和洛伦兹力平衡，则带电体做匀速直线运动．

②若重力和洛伦兹力不平衡，则带电体将做复杂的曲线运动，因洛伦兹力不做功，故机械能守恒，由此可求解问题．

(2)电场力、磁场力并存(不计重力的微观粒子)

①若电场力和洛伦兹力平衡，则带电体做匀速直线运动．

②若电场力和洛伦兹力不平衡，则带电体将做复杂的曲线运动，因洛伦兹力不做功，可用动能定理求解问题．

(3)电场力、磁场力、重力并存

①若三力平衡，一定做匀速直线运动．

②若重力与电场力平衡，一定做匀速圆周运动．

③若合力不为零且与速度方向不垂直，将做复杂的曲线运动，因洛伦兹力不做功，可用能量守恒或动能定理求解问题．

2． 带电粒子在叠加场中有约束情况下的运动

带电体在复合场中受轻杆、轻绳、圆环、轨道等约束的情况下，常见的运动形式有直线运动和圆周运动，此时解题要通过受力分析明确变力、恒力做功情况，并注意洛伦兹力不做功的特点，运用动能定理、能量守恒定律结合牛顿运动定律求出结果．

3．处理带电粒子在叠加场中的运动的基本思路

(1)弄清叠加场的组成．

(2)进行受力分析，确定带电粒子的运动状态，注意运动情况和受力情况的结合．

(3)画出粒子运动轨迹，灵活选择不同的运动规律．

当带电粒子在叠加场中做匀速直线运动时，根据受力平衡列方程求解．

当带电粒子在叠加场中做匀速圆周运动时，一定是电场力和重力平衡，洛伦兹力提供向心力，应用平衡条件和牛顿运动定律分别列方程求解．

当带电粒子做复杂曲线运动时，一般用动能定理或能量守恒定律求解．

易混点：

一、带电粒子在匀强磁场中的运动

1．若v∥B，带电粒子以速度v做匀速直线运动，其所受洛伦兹力F＝0.

2．若v⊥B，此时初速度方向、洛伦兹力的方向均与磁场方向垂直，粒子在垂直于磁场方向的平面内运动．

(1)洛伦兹力与粒子的运动方向垂直，只改变粒子速度的方向，不改变粒子速度的大小．

(2)带电粒子在垂直于磁场的平面内做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力．

二、复合场

1． 复合场的分类

(1)叠加场：电场、磁场、重力场共存，或其中某两场共存．

(2)组合场：电场与磁场各位于一定的区域内，并不重叠或相邻或在同一区域，电场、磁场交替出现．

2． 三种场的比较

三、带电粒子在复合场中的运动形式

1． 静止或匀速直线运动

当带电粒子在复合场中所受合外力为零时，将处于静止状态或做匀速直线运动．

2． 匀速圆周运动

当带电粒子所受的重力与电场力大小相等，方向相反时，带电粒子在洛伦兹力的作用下，在垂直于匀强磁场的平面内做匀速圆周运动．

3． 较复杂的曲线运动

当带电粒子所受合外力的大小和方向均变化，且与初速度方向不在同一直线上，粒子做非匀变速曲线运动，这时粒子运动轨迹既不是圆弧，也不是抛物线．

4． 分阶段运动

带电粒子可能依次通过几个情况不同的组合场区域，其运动情况随区域发生变化，其运动过程由几种不同的运动阶段组成．

1. 如图所示，在竖直平面内建立直角坐标系xOy，其第一象限存在着正交的匀强电场和匀强磁场，电场强度的方向水平向右，磁感应强度的方向垂直纸面向里．一带电荷量为＋q、质量为m的微粒从原点出发，以某一初速度沿与x轴正方向的夹角为45°的方向进入复合场中，正好做直线运动，当微粒运动到A(l，l)时，电场方向突然变为竖直向上(不计电场变化的时间)，微粒继续运动一段时间后，正好垂直于y轴穿出复合场．不计一切阻力，重力加速度为g，求：

(1)电场强度E的大小；

(2)磁感应强度B的大小；

(3)微粒在复合场中的运动时间．

2. 如图所示，直角坐标系xOy所在竖直平面内分布着场强大小相等的匀强电场，第一、二象限中场强方向沿y轴正方向，第三、四象限中场强方向沿x轴正方向；第一、四象限还分布着垂直于平面向里的匀强磁场．一质量为0.02 kg、带正电的微粒自坐标为(0，－0.4 m)的A点出发，与y轴成45°角以2 m/s的速度射入第四象限，并能在第四象限内做匀速直线运动，已知重力加速度g取10 m/s2.求：

(1)微粒第一次通过y轴正半轴时的纵坐标；

(2)微粒运动轨迹与初速度方向所在的直线第一次相交时，所需要的时间(结果可用根式表示)；

(3)微粒从射出到第(2)问所说的时刻，动能的增加量．

3. (2022·山东日照市高三模拟)如图甲所示，水平放置的平行金属板P和Q，间距为d，两板间存在周期性变化的电场或磁场．P、Q间的电势差UPQ随时间的变化规律如图乙所示，磁感应强度B随时间变化的规律如图丙所示，磁场方向垂直纸面向里为正方向．t＝0时刻，一质量为m、电荷量为＋q的粒子(不计重力)，以初速度v0由P板左端靠近板面的位置，沿平行于板面的方向射入两板之间，q、m、d、v0、U0为已知量．

(1)若仅存在交变电场，要使粒子飞到Q板时，速度方向恰好与Q板相切，求交变电场周期T；

(2)若仅存在匀强磁场，且满足B0＝，粒子经一段时间恰能垂直打在Q板上(不考虑粒子反弹)，求击中点到出发点的水平距离．

1．（2022·辽宁·鞍山市矿山高级中学三模）在平面坐标系第Ⅰ像限内有沿x轴负方向的匀强电场，虚线PQ为在同一平面内的竖直直线边界，在第Ⅱ、Ⅲ像限内虚线PQ与y轴之间有垂直坐标平面向里的大小为B的匀强磁场。C、D两个水平平行金属板之间的电压为U。一质量为m、电荷量为e的带正电的粒子（不计粒子重力）从靠近D板的S点由静止开始做加速运动，从x轴上处的A点垂直于x轴射入电场，粒子进入磁场时速度方向与y轴正方向，不计粒子的重力。要使粒子不从PQ边界射出，求：

（1）粒子运动到A点的速度大小；

（2）匀强电场的场强大小E；

（3）虚线PQ与y轴之间磁场的最小宽度d。

2．（2022·海南·乐东黎族自治县乐东中学模拟预测）如图所示，一半径为R的圆与x轴相切于原点O，圆内有直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大为B。与x轴垂直的竖直虚线与磁场最右端相切，其右侧的第Ⅰ象限内存在沿-y方向的匀强电场。现有一束比荷为的带正电粒子沿着+y方向从原点O射入磁场，粒子离开磁场时方向沿x轴正方向，进入电场后，经电场偏转打到x轴上坐标为（3R，0）的点，不计粒子的重力，求：

（1）粒子射入磁场时的速度；

（2）电场强度的大小；

（3）若仅使从O点射入的带电粒子初速度方向与-x轴方向成30°角，求粒子从O点出发到再次打到x轴上所用的时间。

3．（2023·浙江杭州·一模）东方超环，俗称“人造小太阳”，是中国科学院自主研制的磁约束核聚变实验装置。该装置需要将加速到较高速度的离子束变成中性粒子束，没有被中性化的高速带电离子需要利用“偏转系统”将带电离子从粒子束中剥离出来。假设“偏转系统”的原理如图所示，均匀分布的混合粒子束先以相同的速度通过加有电压的两极板间，再进入偏转磁场Ⅱ中，中性粒子继续沿原方向运动，被接收器接收；未被中性化的带电粒子一部分打到下极板被吸收后不可再被利用，剩下的进入磁场Ⅱ后发生偏转，被吞噬板吞噬后可以再利用。 已知粒子带正电、电荷量为q，质量为m，两极板间电压U可以调节，间距为d，极板长度为，吞噬板长度为2d，极板间施加一垂直于纸面向里的匀强磁场Ⅰ，磁感应强度为B1，带电粒子和中性粒子的重力可忽略不计，不考虑混合粒子间的相互作用。

（1）当电压 U=0 时，恰好没有粒子进入磁场Ⅱ，求混合粒子束进入极板间的初速度v0等于多少？若要使所有的粒子都进入磁场Ⅱ，则板间电压 U0为多少？

（2）若所加的电压在U0~（1+k）U0内小幅波动，k>0 且k≪1，此时带电粒子在极板间的运动可以近似看成类平抛运动。则进入磁场Ⅱ的带电粒子数目占总带电粒子数目的比例至少多少？

（3）在（2）的条件下，若电压小幅波动是随时间线性变化的，规律如图乙所示，变化周期为T，偏转磁场边界足够大。要求所有进入磁场Ⅱ的粒子最终全部被吞噬板吞噬，求偏转磁场Ⅱ的磁感应强度B2满足的条件？已知粒子束单位时间有N个粒子进入两极板间，中性化的转化效率为50%，磁场Ⅱ磁感应强度B2取最大情况下，取下极板右端点为坐标原点， 以向下为正方向建立x坐标，如甲图所示，求一个周期T内吞噬板上不同位置处吞噬到的粒子数密度λ（单位长度的粒子数）。

4．（2015·黑龙江·高考模拟）如图所示，在y>0的区域内有沿y轴正方向的匀强电场，在y<0的区域内有垂直于坐标平面向里的匀强磁场。一质量为m、电荷量为e的电子从y轴上A点以沿x轴正方向的初速度v0开始运动。当电子第一次穿越x轴时，恰好到达C点；当电子第二次穿越x轴时，恰好到达坐标原点；当电子第三次穿越x轴时，恰好到达D点。C、D两点均未在图中标出。已知A、C两点到坐标原点的距离分别为d、2d，不计电子的重力，求：

（1）电场强度E的大小；

（2）磁感应强度B的大小；

（3）电子从A运动到D经历的时间t。

5．（2022·河南安阳·模拟预测）如图所示，从离子源产生的甲，乙两种离子，由静止经电压为U的加速电场加速后在纸面内运动，自点与磁场边界成角射入磁感应强度大小为B方向垂直于纸面向里的匀强磁场。已知甲种离子从磁场边界的N点射出；乙种离子从磁场边界的M点射出；OM长为L，MN长为3L，不计重力影响和离子间的相互作用。求：

（1）甲种离子比荷；

（2）乙种离子在磁场中的运动时间。

6．（2022·浙江·镇海中学模拟预测）高能粒子实验装置，是用以发现高能粒子并研究和了解其特性的主要实验工具，在物理学的研究历史上有着不可磨灭的贡献，例如：1932年，C·D·安德森用云室发现了正电子；1960年，中国科学家王淦昌发现反西格马负超子所用的探测器就是24升丙烷泡室。为了简化计算，在中学物理的范畴内，一个复杂的高能粒子实验装置可以被最简化为空间中的复合场模型，题中所给出的就是这样一个简化模型。如图甲所示，三维坐标系中yoz平面的右侧存在平行z轴方向周期性变化的磁场B（图中未画出）和沿y轴正方向竖直向上的匀强电场。现将一个质量为m、电荷量为q的带正电的高能粒子从xoy平面内的P点沿x轴正方向水平抛出，粒子第一次经过x轴时恰好经过O点，此时速度大小为v0，方向与x轴正方向的夹角为45°。己知电场强度大小，从粒子通过O点开始计时，磁感应强度随时间的变化关系如图乙所示，规定当磁场方向沿z轴负方向时磁感应强度为正。已知，重力加速度大小为g。

（1）求抛出点P的坐标；

（2）求粒子从第1次经过x轴到第2次经过x轴的时间t1；

（3）求粒子第n次经过x轴时的x坐标；

（4）若t=t0时撤去yoz右侧的匀强电场和匀强磁场，同时在整个空间加上沿y轴正方向竖直向上的匀强磁场，求粒子向上运动到离xoz平面最远时的坐标。

7．（2022·山西省翼城中学校模拟预测）如图所示，第一象限内存在水平向左的匀强电场，电场强度大小为E（E未知），第二象限内存在垂直纸面向里的匀强磁场，第三象限内存在垂直纸面向外的匀强磁场及竖直向下的匀强电场，电场强度大小为。现有一电荷量为q、质量为m的带正电粒子从x轴上的A点以初速度垂直于x轴射入电场，经y轴上的P点进入第二象限。已知第二、三象限内磁感应强度的大小均为，A点的横坐标为，P点的纵坐标为L，不计粒子重力。求：

（1）电场强度E的大小；

（2）粒子进入第二象限的磁场区域后，第一次经过x轴的位置到坐标原点的距离；

（3）粒子第一次在第三象限运动过程中与x轴的最远距离。

8．（2023·河北·模拟预测）如图所示，边长为L=0.3m正方形边界abcd中有垂直纸面向里、磁感应强度大小为B0=0.5T的匀强磁场，一质量m=8×10﹣26kg、电荷量q=8×10﹣19C的粒子（重力不计）从边界ad上某点D以某个速度射入。粒子从cd中点P孔射出，再经小孔Q进入相互正交的匀强电场和匀强磁场区域，区域宽度为2L，电场强度大小E=5×105V/m，磁感应强度大小B1=1T、方向垂直纸面向里，已知粒子经过QM正中间位置时有一段时间△t撤去了匀强电场。虚线ef、gh之间存在着水平向右的匀强磁场，磁感应强度大小为B2=0.25T（图中未画出）。有一块折成等腰直角的硬质塑料板ABC（不带电，宽度很窄，厚度不计）放置在ef、gh之间（截面图如图），CB两点恰在分别位于ef、gh上，AC=AB=0.3m，=45°。粒子恰能沿图中虚线QM进入ef、gh之间的区域，π取3。

（1）Dd距离；

（2）已知粒子与硬质塑料相碰后，速度大小不变，方向变化遵守光的反射定律。粒子从Q到gh过程中的运动时间和路程分别是多少？

9．（2022·江西景德镇·二模）如图所示，在区域I有与水平方向成30°的匀强电场，电场方向斜向左下方。在区域II有竖直向下的匀强电场和垂直纸面向里的匀强磁场，电场强度大小为，磁感应强度大小为B。质量为m、电荷量为-q的粒子从区域I的左边界P点静止释放。粒子沿水平虚线向右运动，进入区域II，区域II的宽度为d。粒子从区域II右边界的Q点（图中未画出）离开，速度方向偏转了60°，重力加速度为g。求：

（1）区域I的电场强度大小E1；

（2）粒子进入区域II时的速度大小；

（3）粒子从P点运动到Q点的时间。

10．（2021·天津市蓟州区第一中学模拟预测）如图所示，在竖直平面内建立直角坐标系xOy，其第一象限存在着正交的匀强电场和匀强磁场，电场强度的方向水平向右，磁感应强度的方向垂直纸面向里。一带电荷量为＋q、质量为m的微粒从原点出发，以某一初速度沿与x轴正方向的夹角为45°的方向进入复合场中，正好做直线运动，当微粒运动到A（l，l）时，电场方向突然变为竖直向上（不计电场变化的时间），微粒继续运动一段时间后，正好垂直于y轴穿出复合场。不计一切阻力，重力加速度为g，求：

（1）电场强度E的大小；

（2）磁感应强度B的大小；

（3）微粒在复合场中的运动时间。