专题03 立体几何（理）——【备考2023】高考数学大题精练 （全国通用）（原卷版+解析版）

专题03  立体几何（理科）  

立体几何大题在高考中位于18或者19题位置，并且长时间位于第19题位置，是高考中占据重要位置的“过关”型大题，考察知识点的重点难点很稳定，以中等偏难为主。理科立体几何大题，主要考察以空间向量方法为主，证明求解空间角，空间距离，面积，体积等度量关系，解题思路也是遵循“作图---证明---求解”，强调作图建系，与证明和计算相结合。

利用法向量求解特别是涉及到平面的关键在于：构建恰当的空间直角坐标系；准确求解相关点的坐标；求出平面的法向量；．

常考题型：求点到面的距离，异面直线所成的角，直线和平面所成的角，平面和平面所成的角，空间动点位置的求解，翻折所得几何体的求解

一、求点到面距离

例题、在三棱锥中，，，M为棱BC的中点.

(1)证明：；

(2)若平面平面ABC，，，E为线段PC上一点，，求点E到平面PAM的距离.

利用向量计算点到平面的距离公式（棱锥等的高）

已知三棱锥中，平面，，M为中点，过点M分别作平行于平面的直线交于点E，F．

(1)求直线与平面所成角正弦值的大小；

(2)证明：平面，并求直线到平面的距离．

1.（吉林省长春市长春吉大附中实验学校2022-2023学年高三上学期第五次摸底考试数学试题）如图，矩形和梯形，，，平面平面，且，，过的平面交平面于．

(1)求证：；

(2)当为中点时，求点到平面的距离；

2.（浙江省台州市2023届高三上学期11月第一次教学质量评估数学试题）如图，在四棱锥中，，与均为等腰直角三角形，，，且平面平面.

(1)求证：；

(2)若，求点到平面的距离.

1.（普通高等学校招生考试数学（理）试题（江西卷））如图，在长方体中，，，点E在棱AB上移动．

(1)求证：；

(2)当点E为棱AB的中点时，求点E到平面的距离；

(3)当AE为何值时，平面与平面所成的角为？

2.（普通高等学校招生考试数学（文）试题（天津卷））已知正四棱柱，E为中点，F为中点．

(1)证明：为与的公垂线；

(2)求点到面的距离．

二、异面直线所成的角

例题、如图，在直三棱柱中，D，E，F分别是的中点，．

(1)证明：平面；

(2)若，求异面直线与所成角的余弦值．

异面直线夹角，也是平移角，范围是锐角和直角）

1.如图所示，设有底面半径为的圆锥．已知圆锥的侧面积为，为中点，．

(1)求圆锥的体积；

(2)求异面直线与所成角．

2.（天津市滨海七校2022届高三下学期二模数学试题）如图所示，在几何体ABCDEF中，四边形ABCD为直角梯形，AD∥BC，AB⊥AD，AE⊥底面ABCD，AE∥CF，AD=3，AB=BC=AE=2，CF=1．

(1)求证：BF∥平面ADE；

(2)求直线BE与直线DF所成角的余弦值；

(3)求点D到直线BF的距离．

1.（天津市滨海新区塘沽第一中学2023届高三上学期线上统练摸底考试数学试题）如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平而ABCD， E为CD的中点，M在AB上，且

(1)求证：EM∥平面PAD；

(2)求平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值；

(3)点F是线段PD上异于两端点的任意一点，若满足异面直线EF与AC所成角为45°，求AF的长.

2.（贵州省黔东南州2023届高三模拟考试数学（理）试题）如图，平面，平面，，，且均在平面的同侧．

(1)证明：平面平面．

(2)若四边形为梯形，，且异面直线与所成角的余弦值为，求四棱锥的体积．

（普通高等学校招生考试数学（文）试题（湖南卷））如图，已知两个正四棱锥与的高都是2，．

(1)证明：平面；

(2)求异面直线与所成的角的余弦值；

(3)求点到平面的距离．

三、直线与平面所成的角

例题、在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，二面角为直二面角.

(1)求证：；

(2)当吋，求直线与平面所成角的正弦值.

直线与平面所成的角，也称之为射影角，）

（安徽省宿州市2023届高三下学期第一次教学质量检测数学试题）如图，四棱锥中，底面ABCD，，，，，为棱靠近点的三等分点.

(1)证明：平面；

(2)求与平面所成的角的正弦值.

1.（上海市2023届高三二模暨秋考模拟7数学试题）如图，在正三棱柱中，，分别为，的中点.

(1)证明：平面；

(2)求直线与平面所成角的大小.

2.（2023年普通高等学校招生全国统一考试数学预测卷（九））如图1，在平面四边形ABCD中，，，于点E，于点F，且与AB交于点G，，将沿DG折起，使得平面平面BCDG，得到四棱锥，如图2，P，Q分别为CD，AF的中点．

(1)求证：平面ABP；

(2)若，求直线DQ与平面QBP所成角的正弦值．

1.（2022年新高考浙江数学高考真题）如图，已知和都是直角梯形，，，，，，，二面角的平面角为．设M，N分别为的中点．

(1)证明：；

(2)求直线与平面所成角的正弦值．

2.（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）在四棱锥中，底面．

(1)证明：；

(2)求PD与平面所成的角的正弦值．

四、平面与平面所成的角

如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，，，侧面是等腰三角形，.

(1)求证：；

(2)若侧面底面，侧棱与底面所成角的正切值为，为侧棱上的动点，且.是否存在实数，使得平面与平面的夹角的余弦值为？若存在，求出实数若不存在，请说明理由.

二面角（法向量的方向角，）

（安徽省淮北市2023届高三下学期一模数学试题）如图，已知四棱锥的底面是平行四边形，侧面PAB是等边三角形，，，．

(1)求证：面面ABCD；

(2)设Q为侧棱PD上一点，四边形BEQF是过B，Q两点的截面，且平面BEQF，是否存在点Q，使得平面平面PAD？若存在，确定点Q的位置；若不存在，说明理由．

1.（湖南省名校2023届普通高等学校招生全国统一考试考前演练一数学试题）如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，，，侧面是等腰三角形，.

(1)求证：；

(2)若侧面底面，侧棱与底面所成角的正切值为，为侧棱上的动点，且.是否存在实数，使得平面与平面的夹角的余弦值为？若存在，求出实数若不存在，请说明理由.

2.（2023年全国新高考数学仿真模拟卷（一）数学试题）在四棱锥中，，，，，平面平面.

(1)证明：；

(2)若是棱上一点，且二面角的余弦值为，求的大小.

1.（2022年新高考天津数学高考真题）直三棱柱中，，D为的中点，E为的中点，F为的中点．

(1)求证：平面；

(2)求直线与平面所成角的正弦值；

(3)求平面与平面所成二面角的余弦值．

2.（2022年新高考全国II卷数学真题）如图，是三棱锥的高，，，E是的中点．

(1)证明：平面；

(2)若，，，求二面角的正弦值．

五、探索性动点型

在平面五边形ABCDE中（如图1），ABCD是梯形，，，，，是等边三角形．现将沿AD折起，连接EB，EC得四棱锥（如图2）且．

(1)求证：平面平面ABCD；

(2)在棱EB上有点F，满足，求二面角的余弦值．

探索性动点型，关键点在于设复合条件运动范围的点的坐标，一般情况下多是点在直线上，所以可以通过向量共线方式来引入参数设，对应向量式子可以求出动点的含参数坐标

如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，正方形ABCD的边长为2，E是PA的中点.

(1)求证：平面BDE.

(2)若直线BE与平面PCD所成角的正弦值为，求PA的长度.

(3)若PA=2，线段PC上是否存在一点F，使AF⊥平面BDE？若存在，求出PF的长度；若不存在，请说明理由.

1.（广西桂林崇左市2023届高三上学期联合调研考试（一调）数学（理）试题）在三棱锥中，底面是边长为的等边三角形，点在底面上的射影为棱的中点，且与底面所成角为，点为线段上一动点．

(1)求证：；

(2)是否存在点，使得二面角的余弦值为，若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由．

2.（上海市虹口区2023届高考一模数学试题）如图，在三棱柱中，底面ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，侧面为菱形，点在底面上的投影为AC的中点，且．

(1)求证：；

(2)求点到侧面的距离；

(3)在线段上是否存在点，使得直线DE与侧面所成角的正弦值为？若存在，请求出的长；若不存在，请说明理由．

（普通高等学校招生考试数学（理）试题（江西卷））如图,在三棱锥中,侧面是全等的直角三角形,是公共的斜边,且,另一个侧面是正三角形.

(1)求证:;

(2)求二面角的平面角余弦值大小;

(3)在直线上是否存在一点F,使与平面成角？若存在,确定F的位置;若不存在,说明理由.

六、翻折型

如图，在中，是边上的高，以为折痕，将折至的位置，使得.

(1)证明：平面；

(2)若，求二面角的正弦值.

翻折题型，翻折前在同一个平面内，点、线之间相对位置关系不变。

解答翻折题时，要先研究翻折前的平面图形，然后对应平线图形研究翻折后的立体图形，寻找折叠前后图形中的不变量是解决问题的关键之一。要通过表面，截面，展开，射影等等手段，将空间中能够的条件尽量集中在同一平面中

（甘肃省兰州市第五十八中学2022-2023学年高三上学期第一次模拟考试数学（理科）试题）在直角梯形 (如图1)，，，AD＝8，AB＝BC＝4，M为线段AD中点．将△ABC沿AC折起，使平面ABC⊥平面ACD，得到几何体B－ACD(如图2)．

(1)求证：CD⊥平面ABC；

(2)求AB与平面BCM所成角的正弦值．

1.（安徽省黄山市2022-2023学年高三上学期第一次质量检测数学试题）如图1，在直角梯形中， ，点E、F分别是边的中点，现将 沿边折起，使点C到达点P的位置（如图2所示），且.

(1)求证：平面平面；

(2)求平面与平面夹角的余弦值.

2.（山东省淄博市部分学校2023届高三阶段性检测数学（理）试题）已知正方形的边长为4，E、F分别为AD、BC的中点，以EF为棱将正方形ABCD折成如图所示的60°的二面角，点M在线段AB上．

(1)若M为AB的中点，且直线MF与由A，D，E三点所确定平面的交点为O，试确定点O的位置，并证明直线平面EMC；

(2)是否存在点M，使得直线DE与平面EMC所成的角为；若存在，求此时二面角的余弦值，若不存在，说明理由．

1.（2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ））图1是由矩形ADEB，Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB=1，BE=BF=2，∠FBC=60°，将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连结DG，如图2.

（1）证明：图2中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC⊥平面BCGE；

（2）求图2中的二面角B−CG−A的大小.

2.（2018年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标I卷））如图，四边形为正方形，分别为的中点，以为折痕把折起，使点到达点的位置，且.

（1）证明：平面平面；

（2）求与平面所成角的正弦值.