卷04——【上海专用】2023年高考数学模拟卷（原卷版+解析版）

【赢在高考·黄金8卷】备战2023年高考数学模拟卷（上海卷专用）

黄金卷04

（考试时间：120分钟  试卷满分：150分）

注意事项：

1．本试卷分选择题和非选择题两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．

3．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．

4．测试范围：高考全部内容

5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

一、填空题：本大题共12小题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12每题5分．

1．若正实数x，y满足，则的最小值是______．

【答案】25

【详解】因为正实数x，y满足，

，

当且仅当且，即时，等号成立，

所以的最小值是25.

故答案为：25.

2．关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为_______.

【答案】

【详解】由题意，关于的不等式的解集为，

即是一元二次方程的两根，

可得 解得，且，

则关于的不等式可化为，即，

即，解得，

所以不等式的解集为.

故答案为：.

3．在复平面内，复数对应的点位于直线上，则________．

【答案】

【详解】解：因为，所以在复平面内所对应的点的坐标为，

又复数对应的点位于直线上，所以，解得；

故答案为：

4．的展开式中含项的系数为____________.

【答案】

【详解】展开式的通项为，

令或，得（舍去），，

所以展开式中含的项为.

故答案为：

5．已知边长为3的正的三个顶点都在球（为球心）的表面上，且与平面所成的角为，则球的体积为___________．

【答案】

【详解】设正的外接圆圆心为，易知，

在中，，即球的半径，

故球的体积为.

故答案为：

6．某校为了了解高三年级学生的身体素质状况，在开学初举行了一场身体素质体能测试，以便对体能不达标的学生进行有针对性的训练，促进他们体能的提升，现从整个年级测试成绩中抽取100名学生的测试成绩，并把测试成绩分成六组，绘制成频率分布直方图（如图所示）.其中分数在这一组中的纵坐标为，则该次体能测试成绩的分位数约为___________分.

【答案】92

【详解】由频率分布直方图知，

由得：.

因为，

所以该次体能测试成绩的分位数落在内，设其为，

则由，解得.

故答案为：92.

7．已知等差数列的前n项和为，若，则______．

【答案】35

【详解】解：等差数列的前n项和为，，

，

故答案为：35.

8．若抛物线C：存在以点为中点的弦，请写出一个满足条件的抛物线方程为_______.

【答案】（答案不唯一）

【详解】抛物线存在以点为中点的弦，则该点在抛物线开口内，即当时，.

可取，则满足条件的抛物线方程为.

故答案为：（答案不唯一）

9．已知为奇函数，则________．

【答案】

【详解】由题意可得满足且，

则有，即，

故，即，

因为时，定义域为，

满足，函数为偶函数，不合题意，

故，则的自变量x可取到0，且函数定义域关于原点对称，

则不恒等于0，故，

当时，定义域为R,满足,

即为奇函数，

故答案为：

10．已知是圆心为O，半径为R的圆的内接三角形，M是圆O上一点，G是的重心．若，则___________．

【答案】

【详解】∵，则

∵，则

∴

同理可得：，

∴

∵G是的重心，则即

∴

故答案为：．

11．已知是的最小正周期，若，是的一个极大值点，则当取得最小值时，______．

【答案】

【详解】由题意可知，，则，

由得，，

所以，

又因为，

所以，

由是的一个极大值点得，，，

所以，，

又因为，

所以的最小值为1，

此时，

故.

故答案为：.

12．已知抛物线的焦点为，圆与交于两点，其中点在第一象限，点在直线上运动，记.

①当时，有；

②当时，有；

③可能是等腰直角三角形；

其中命题中正确的有__________.

【答案】①②

【详解】由圆与，联立方程，解得或（舍），当时，，

所以，

从而，

即，因为点在直线上运动，所以，

则，

①当时，点三点共线，由于，

所以，所以，

由题意知，所以，故①正确；

②当时，即，所以，

即，

解得，又，得，所以②正确；

③若是等腰直角三角形，

则或或为直角，

因为，

当时，则，得，

此时，不是等腰直角三角形，

由对称性可知当时，也不是等腰直角三角形，；

当时，因为首先是等腰三角形，由抛物线的对称性可知点在轴上，

此时，，,

,即，故不是等腰直角三角形，

综上所述，不可能是等腰直角三角形，所以③错误，

故答案为：①②.

二、选择题：本大题共4小题，满分18分，第13~14每题4分，第15~16每题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

13．“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【详解】由，得，；

由，得，，即，．

所以“”是“”的充分不必要条件．

故选：A．

14．若复数z满足，则z的实部是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】由题意知:，

则z的实部为，

故选：C．

15．已知抛物线C：的焦点为F，直线交抛物线C于A，B两点，且点A在第一象限，若为等腰直角三角形，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】解：法一  由抛物线的对称性知∠AFB为直角，且.易知焦点，

所以直线AF的方程为.

联立方程，得，且，得，

所以，

由抛物线的定义得，

法二  由抛物线的对称性知∠AFB为直角，且.

设直线与x轴交于点M，则，.

将代入抛物线方程，可得，所以，

得，

所以，

故选：A.

16．已知等差数列中，，公差，若，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】因为，故，

所以.

因为为等差数列，故，

故由可得：

.

设，故

又，故为上的减函数，

而，故，

因为，故，结合可得，

故A错误，B正确.

由可得，故，

故，

而，

故，故CD错误.

故选：B.

三、解答题：本大题共有5题，满分78分．

17．（14分）已知函数.

(1)求函数的定义域和值域；

(2)已知锐角的三个内角分别为A，B，C，若，求的最大值.

【答案】(1)；；(2)2

【详解】（1） ，

所以要使有意义，

只需，即，

所以，解得

所以函数的定义域为，

由于，所以，

所以函数的值域为；

（2）由于，所以，

因为，所以，所以即，

由锐角可得，所以，

由正弦定理可得 ，

因为，所以所以，

所以的最大值为2.

18．（14分）已知函数的图像与直线l：相切于点．

(1)求函数的图像在点处的切线在x轴上的截距；

(2)求c与a的函数关系；

(3)当a为函数g（a）的零点时，若对任意，不等式恒成立．求实数k的最值．

【答案】(1)

(2)

(3)最大值为3，最小值为．

【详解】（1），，，．

函数的图像在点处的切线方程是：.

令y＝0得，所以该切线在x轴上的截距等于．

（2），，函数的图像在x＝1处的切线方程是：，即，

两端乘以b变作：①．

又已知函数的图像在点处的切线方程是：②．

直线①与直线②重合，则③，④，联立③④消去b得，所以c与a的函数关系为：．

（3）函数的零点为a＝1，a＝1时．

对，恒成立，转化为对，不等式恒成立．

①当x＝0时，对恒成立，此时．

②当0＜x≤2时，恒成立．

设，求得．

0＜x≤2时，由得，由得，

所以在区间上单调递减，在区间上单调递增．

所以当时，取得极小值，，此时．

③当时，恒成立．

与②同，设，．

令，则，在上单调递增．

所以，时，得，在上单调递减．

所以，时，取得最大值，此时．

整合①②③三种情形，得，且等号都取得到．

所以，实数k的最大值为3，最小值为．

19．（14分）在国家大力发展新能源汽车产业政策下，我国新能源汽车的产销量高速增长．某地区年底新能源汽车保有量为辆，年底新能源汽车保有量为辆，年底新能源汽车保有量为辆．

(1)根据以上数据，试从（，且），，（，且），三种函数模型中选择一个最恰当的模型来刻画新能源汽车保有量的增长趋势（不必说明理由），设从年底起经过年后新能源汽车保有量为辆，求出新能源汽车保有量关于的函数关系式；

(2)假设每年新能源汽车保有量按（1）中求得的函数模型增长，且传统能源汽车保有量每年下降的百分比相同，年底该地区传统能源汽车保有量为辆，预计到年底传统能源汽车保有量将下降．试估计到哪一年底新能源汽车保有量将超过传统能源汽车保有量．（参考数据：，）

【答案】(1)应选择的函数模型是（，且），函数关系式为；

(2)年底.

【详解】

（1）

解：根据该地区新能源汽车保有量的增长趋势知，应选择的函数模型是

（，且），

由题意得，解得，所以.

（2）

解：设传统能源汽车保有量每年下降的百分比为，

依题意得，，解得，

设从年底起经过年后的传统能源汽车保有量为辆，

则有，

设从年底起经过年后新能源汽车的数量将超过传统能源汽车，则有

化简得，所以，

解得，

故从年底起经过年后，即年底新能源汽车的数量将超过传统能源汽车.

20．（16分）已知椭圆 交x轴于与G交于y轴．

(1)求G的标准方程

(2)若与G有两个不同的交点，求的取值范围

(3)设直线交G于（l的倾斜角正弦值的绝对值小于等于），以为邻边作平行四边形在椭圆G上，O为坐标原点．证明：的最小值与的某三角函数值相等

【答案】(1).

(2).

(3)证明见解析.

【详解】（1）由题意椭圆交x轴于，设椭圆长半轴为a，则，

与G交于y轴，即交点为，设椭圆短半轴为b，则，

故G的标准方程为.

（2）联立 ，可得 ，

解得，

当时，，此时与G有两个不同的交点，

故的取值范围为.

（3）证明：由题意直线交G于（l的倾斜角正弦值的绝对值小于等于），

设l的倾斜角为 ，则 ，

故或，则或，即，

当 时，关于y轴对称，直线l与y轴交点设为C，则，

此时以 为邻边作平行四边形， ,

故，由题意在椭圆C上，即，解得 ，

∴ ；

当时，联立 ，消去y，化简整理得︰ ，

需满足 ，

设点的坐标分别为 ，

由韦达定理可知∶

则以 为邻边作平行四边形，则 ,

∴ ,

由于点P在椭圆C上，所以 ，即 ，

化简得： ，经检验满足，

又

  ，

由于 ，∴，则 ，

故，故，

 综合上述可知 ，即的最小值与的正切值相等.

21．（18分）对于无穷数列，设集合，若为有限集，则称为“数列”．

(1)已知数列满足，，判断是否为“数列”，并说明理由；

(2)已知，数列满足，若为“数列”，求首项的值；

(3)已知，若为“数列”，试求实数的取值集合．

【答案】(1)是“数列”；理由见解析.

(2)；

(3).

【详解】（1）由题意得，，，，……

因此.            

所以为有限集，

因此是“数列”；

（2）

所以在上单调递减，在上单调递增，

所以.

当时，（*），

因此当时，，，

即，此时为“数列”，

当时，，

由（*）得，，

因此，显然不是“数列”，

综上所述：；

（3）当为有理数时，必存在，使得，

则，

因此集合中元素个数不超过，为有限集；

当为无理数时，对任意，下用反证法证明，

若，即，

则或，其中，

则或，矛盾，

所以，

因此集合必为无限集.

综上，的取值集合是全体有理数，即．