专题一——【广东专用】2023年高考数学大题限时训练学案（原卷版+解析版）

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专题01 大题限时练一1．在等比数列中，，，分别是下表第一，第二，第三行中的某一个数，且，，中的任何两个数不在下表的同一列． 第一列第二列第三列第一行323第二行465第三行9128（1）写出，，，并求数列的通项公式；（2）若数列满足，求数列的前项和．【答案】（1），，，；（2）【详解】（1）根据等比数列的定义和表格中数据，得到，，，即数列是首项为2，公比为2的等比数列，故．（2）因为，当为偶数时，，当为奇数时，，综上所述，．2．的内角，，的对边分别为，，，已知的面积为．（1）证明：；（2）若，求．【答案】（1）见解析；（2）【详解】（1）证明：由题设，，又，所以，由正弦定理可得，所以，又，所以，即．解：（2）方法一：由（1）及题设，，且，所以，则，故，又，可得，若，则，而，故不合题设；所以，所以．方法二：由，由余弦定理，则，有，由余弦定理．3．2021年10月16日，神舟十三号载人飞船与天宫空间站组合体完成自主快速交会对接，航天员翟志刚、王亚平、叶光富顺利进驻天和核心舱，由此中国空间站开启了有人长期驻留的时代．为普及航天知识，某航天科技体验馆开展了一项“摸球过关”领取航天纪念品的游戏，规则如下：不透明的口袋中有3个红球，2个白球，这些球除颜色外完全相同．参与者每一轮从口袋中一次性取出3个球，将其中的红球个数记为该轮得分，记录完得分后，将摸出的球全部放回袋中．当参与完成第轮游戏，且其前轮的累计得分恰好为时，游戏过关，可领取纪念品，同时游戏结束，否则继续参与游戏．若第3轮后仍未过关，则游戏也结束．每位参与者只能参加一次游戏．（1）求随机变量的分布列及数学期望；（2）若甲参加该项游戏，求甲能够领到纪念品的概率．【答案】见解析【详解】（1）由题意可得，随机变量所有可能的值为1，2，3，，，，故的分布列为：1230.30.60.1故．（2）由（1）可知，参与者每轮得1分，2分，3分的概率依次为0.3，0.6，0.1，记参与者第轮的得分为，则其前轮的累计得分为，若参与者取球1次后可领取纪念品，即参与者得2分，则，若参与者取球2次后可领取纪念品，即参与者获得的分数之和为4分，有“”，“ ”的情形，则，若参与者取球3次后可领取纪念品，即参与者获得的分数之和为6分，由“”，“ ”的情形，则，故甲能够领到纪念品的概率．4．如图，在四棱锥中，，，在以为直径的半圆上（不包括端点），平面平面，，分别为，的中点．（1）求证：平面；（2）当四棱锥体积最大时，求二面角的余弦值．【答案】（1）见解析；（2）【详解】（1）证明：取中点，连接，，，，分别为，的中点，，，，，，平面平面，平面，平面；（2）当四棱锥体积最大时，是中点，此时，以为坐标原点，为轴，为轴，过作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系，如图，设，则，，0，，，，，，，，，，，，0，，，，，，，，设平面的法向量，，，则，取，得，0，，平面的法向量，0，，设二面角的平面角为，则．二面角的余弦值为．（2）法二；过向作垂线，垂足为，过向作垂线，垂足为，则是二面角的平面角，设，分别为的中点．可得是的八等分点靠近的分点，可得是的八等分点靠近的分点，可求得，，可得二面角的正切值为.5．已知椭圆的离心率为，短轴长为4．（1）求的方程；（2）过点作两条相互垂直的直线和，直线与相交于两个不同点，，在线段上取点，满足，直线交轴于点，求面积的最小值．【答案】（1）；（2）1【详解】（1）由题可得，，椭圆的方程为；（2）由题可知直线的斜率存在且不为0，设直线的方程为，，，，，，，由可得，由△，可得，或，，由及，，，四点共线，知，，则，和相互垂直，则的方程为，令，得，，，面积为，当且仅当，即等号成立，所以面积的最小值为1．6．已知函数．（1）若，求的单调区间；（2）若，，证明：．【答案】（1）函数的单调递减区间为，无单调递增区间；（2）见解析【详解】（1）因为函数的定义域为，因为，所以，，令，则，当时，，在上单调递增；当时，，在上单调递减；所以（1），所以函数的单调递减区间为，无单调递增区间．证明：（2）要证明：，需证明：，即证明：．令，则由得：，故只需要证明，即证明：．由（1）可知：在区间上单调递减，所以当时，（1），即．由于，，则，所以成立，所以．