专题十——【广东专用】2023年高考数学大题限时训练学案（原卷版+解析版）

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专题10 大题限时练十1．已知数列是等比数列，且，．（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和，并证明：．【答案】（1），；（2）见解析【详解】（1）解：由题意，设等比数列的公比为，则，即，，，即，解得，，．（2）证明：由（1），可得，故，不等式对恒成立．2．已知在中，角，，的对边分别为，，，．（1）求角的大小；（2）若，求周长的最大值．【答案】（1）；（2）【详解】（1）中，因为，由正弦定理得，由余弦定理得，又，所以；（2）由，，根据正弦定理得，所以，，所以，又，所以当时，周长取得最大值为．3．袋中装着标有数字1，2，3，4不同的小球各3个，从袋中任取3个小球，每个小球被取出的可能性都相等．（1）求取出的3个小球上的数字互不相同的概率；（2）用表示取出的3个小球上所标的最大数字，求随机变量的分布列和数学期望．【答案】见解析【详解】（1）“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为，则；（2）由题意所有可能的取值为：1，2，3，4，，，，，所以随机变量的分布列为：1234随机变量的均值为：．4．如图所示，为半圆锥顶点，为圆锥底面圆心，为底面直径，为弧中点．是边长为2的等边三角形，弦上点使得二面角的大小为，且．（1）求的值；（2）对于平面内的动点总有平面，请指出的轨迹，并说明该轨迹上任意点都使得平面的理由．【答案】（1）；（2）见解析【详解】（1）由题意知，平面，且，又平面，平面，，，所以以为坐标原点，，，为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，所以，0，，，0，，，，，，1，，，0，，设，，，所以，，，，1，，由．得到，，，1，，，，所以，，，，，，所以，，，，1，，，2，，设平面的一个法向量为，，，所以，令，，，所以平面的一个法向量为，，，又平面的一个法向量为，0，，，解得（舍去）；（2）取的中点，的中点，连接，，，由三角形中位线定理得到，，，，所以由面面平行的判定易知，平面平面，且平面平面，所以点的轨迹是直线，因为平面平面，平面，所以对任意点直线，都有平面，如图所示5．已知动点到点和直线的距离相等．（1）求动点的轨迹方程；（2）设点的轨迹为曲线，点在直线上，过的两条直线，与曲线相切，切点分别为，，以为直径作圆，判断直线和圆的位置关系，并证明你的结论．【答案】（1）；（2）见解析【详解】（1）设动点，由抛物线定义可知点的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线，所以动点的轨迹方程为．（2）直线和圆的位置关系是相切．证明：依题可设，，，，，．由，即：，求导得：，所以切线，的斜率分别是，．所以的方程是，点，的坐标代入，得：，即．同理可得．于是，是方程的两根．所以，，由，得，即：．由，可得，所以，即：点在圆上．所以直线和圆相切．6．已知．（1）求的单调区间；（2）证明：方程在，上无实数解【答案】（1）的单调递减区间为，单调递增区间为；（2）见解析【详解】（1）的定义域为，，令，即，解得，令，即，解得，综上所述，的单调递减区间为，单调递增区间为．（2）证明：令，，，，因为当，时，，所以在，单调递减，所以，所以函数在，上无零点，即方程在，上无实根．